18.1.1 平行四边形的性质（第1课时 平行四边形的边、角特征）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的边、角特征 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定 义和对边相等、对角相等的两条性质.（重点） 2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.（难点） 3.经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的 思维水平. 观察下图，平行四边形在生活中无处不在. 情景导入 你还能举出其他的例子吗？ 平行四边形边、角的性质 根据上面的概念画一个□ABCD，用刻度尺度量对边 AB 与 CD 的长，BC 与 DA 的长，并用量角器度量对角∠A 与∠C，∠B 与∠D 的大小. A B C D 新知探究 据此回答下列问题: 1. 对边 AB 与 CD 的长，BC 与 DA 的长分别相等吗？ A B C D AB = CD，BC = DA. 2. 对角∠A 与∠C，∠B 与∠D 的大小分别相等吗？ ∠A =∠C，∠B =∠D. 3. 平行四边形的对边、对角具有什么性质？ 平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等. 下面我们一起来进行验证. 已知:如图，四边形 ABCD 是平行四边形. 求证: AB = CD，BC = DA ；∠B =∠D，∠BAD =∠DCB. 证明:如图，连接 AC. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD // BC，AB // CD. ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共边， ∴△ABC≌△CDA. ∴AB = CD，BC = DA，∠B =∠D. ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1＋∠4 = ∠2＋∠3，即∠BAD = ∠DCB. A B C D 4 1 3 2 归纳总结:平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等. A B C D 4 1 3 2 根据平行四边形的定义,请画一个平行四边形ABCD. D A B C 平行四边形的边、角的特征 观察 A B C D 活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗? 测得AB=DC，AD=BC. A B C D 测得∠A =∠C，∠B =∠D. 活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与 ∠D之间的数量关系吗? 猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？ 两组对边及两组对角分别相等. 怎样证明这个猜想呢？ 思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义， 证明其对角相等？ A B C D 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AB ∥ CD, ∴∠A+∠B=180°， ∠A+∠D=180°， ∴∠B=∠D. 同理可得∠A=∠C. 思考 动手做一做:剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？ A B C D 解：AD和BC的长度相等. 理由如下：由题意知AB//CD,AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC. 做一做 你能从以下图形中找出平行四边形吗？ (2) (3) (1) (4) (5) 议一议 例1 如图，□ ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为 E，F．求证：AE = CF． 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A = ∠C，AD = CB. 又∠AED = ∠CFB = 90°， ∴ △ADE ≌△CBF， ∴ AE = CF. A B E C F D 例题讲解 证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AB ∥ CD, ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又∵AC是△ABC和△CDA的公共边， ∴ △ABC≌△CDA, ∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC. ∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3， ∴∠BAD=∠BCD. A B C D 1 4 3 2 已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. 讨论 两组对边都不平行 一组对边平行， 一组对边不平行 两组对边分别平行 问题1 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？ 问题2 你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？ 问题 平行四边形的对边相等． 平行四边形的对角相等． 平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有: A B C D 概念归纳 两条平行线之间的距离 利用方格纸画出直线 a//b，A，D 为直线 a 上任意两点. 1.如图①，过点 A，D 分别画直线 c，d，使 c∥d，B，C 分别是直线 c 和 b，直线 d 和 b 的交点，用刻度尺测量点 A，B 的距离和点 D，C 的距离，它们相等吗？_____ a b c d A B D C 相等 ① 概念归纳 2. 再测量一下点 A，D 的距离和点 B，C 的距离，它们相等吗？______ a b c d A B D C 相等 归纳总结: 两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.（可结合平行四边形的概念和性质说明其中的道理） ① 3.如图②，分别过 A，D 两点作直线 b 的垂线 AB 和 DC. AB 和 DC 有什么关系？___________________ AB // DC，AB = DC 概念引入: 从上面的结论进一步可以知道: 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 图②中 AB，CD 均可表示平行线 a，b 之间的距离. 1.在 □ ABCD 中， （1）已知 AB = 5，BC = 3，求它的周长； 解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = CD = 5，BC = AD = 3， ∴它的周长 = (5+3)×2 = 16. 课堂练习 （2）已知 ∠A = 38°，求其余各内角的度数. （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠C = ∠A，∠A + ∠B = 180°，∠A+∠D = 180°. ∵∠A = 38°，∴∠C = 38°， ∴∠D = ∠B = 180°-38°= 142°. 2.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了个四边形，转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？ 解：线段 AD = BC. ∵两张纸条的对边都平行， ∴重合的部分构成的四边形是平行四边形， 平行四边形的对边相等， ∴ AD = BC. 1．[2024德州期末]如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝65°，则∠DAE等于(　　) A．15° B．25° C．35° D．65° B 分层练习 25 2. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A(－3，2)，点B(－1，－2)，点C(3，－2)，则点D的坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(1，3) D．(2，3) A 26 3．[2024海阳期末]如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A＝40°，则∠ABE的度数为(　　) A．80° B．70° C．60° D．50° B 27 4. 如图，DE∥BC，EF∥AC，DF∥AB，则图中共有________个平行四边形． 3 5．[2024南阳期末]如图，平行四边形ABCD中，对角线BD＝10，AE⊥BD于点E，且AE＝6，BC＝8，则边AD与边BC之间的距离为________． 28 29 6．[2023长沙]如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F. (1)求证：AD＝AF； 【证明】在▱ABCD中，∵AB∥CD， ∴∠CDE＝∠F.∵DF平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE. ∴∠F＝∠ADF. ∴AD＝AF. 30 (2)若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积. 【解】∵AF＝AD＝6，AB＝3， ∴BF＝AF－AB＝3. 过D作DH⊥AF交FA的延长线于H， 如图． 31 【点方法】应用平行四边形的边角性质的“两注意”： (1)注意隐含条件的挖掘：平行四边形提供了线段的数量及位置关系，也提供了角的关系，为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件． (2)在解题时，能应用平行四边形直接得到的结论，不要再通过三角形的全等去证明． 32 7. 如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【点方法】根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等． 【答案】B 33 8．[2024重庆一中期中]如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF分别交CD边于点E，F，若AD＝3，EF＝1，则AB的长为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B 34 9．[2024杭州期中]如图，四边形ABCD是平行四边形，E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC． 其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【点拨】∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF.∴∠CBE＝∠EBF，∴BE平分∠CBF，故①正确；∵BC＝EC，CF⊥ BE，∴∠ECF＝∠BCF，即CF平分∠DCB，故②正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB.∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF.∴BF＝BC，故③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴BE垂直平分CF，即点P在 CF的垂直平分线上，∴PF＝PC，故④正确．故选D. 【答案】D 35 8 36 37 11.[2023哈尔滨]已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE＝BF，BE＝BC． (1)如图①，求证△AED≌△EFB； 38 (2)如图②，若AB＝AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个角(∠BAE除外)，使写出的每个角都与∠BAE相等． 【解】∠AEB，∠DHC，∠EFC，∠DCH. 【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB∥CD.∵AB＝AD，∴AB＝BC.∵BE＝BC，∴AB＝BE. ∴∠BEA＝∠BAE.∵CH∥AE，∴∠DHC＝∠BEA＝∠BAE. ∵AB∥CD，∴∠CDH＝∠ABE，∴∠DCH＝∠BAE. ∵△AED≌△EFB，∴∠AED＝∠EFB，∴∠EFC＝∠AEB＝∠BAE.∴与∠BAE相等的角是∠AEB，∠DHC，∠EFC，∠DCH. 39 12.[2024广州期中]如图①，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E，CF⊥AD于点F，交BE于点G，且CF＝CE，连接EF. (1)若CD＝5，DF＝3，求BC的长度； 40 41 【证明】如图，延长CM交EF于H. ∵CE＝CF，CM平分∠DCF， ∴CH⊥EF，EF＝2EH. ∴∠CHE＝90°. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC. ∵CF⊥AD，∴∠CFD＝90°. ∴∠ABC＋∠DCF＝∠ADC＋∠DCF＝90°. 42 43 平行四边形的概念是什么？平行四边形的边、角有哪些性质？两条平行线之间的距离是指什么？ 全等三角形 平行四边形 概念：对边平行 平行四边形的性质：边、角 简单应用 课堂小结 【点拨】∵平行四边形ABCD中，对角线BD＝10，AE⊥BD于点E，且AE＝6，∴S▱ABCD＝2S△ABD＝2×BD×AE＝10× 6＝60.设AD与边BC之间的距离为h，则S▱ABCD＝BC·h＝8h＝60，解得h＝. ∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°. ∴∠ADH＝30°.∴AH＝AD＝3. ∴DH＝＝3. ∴△ADF的面积＝AF·DH＝×6×3＝9. 10．如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F.分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________． 【点拨】设AE交BF于点O. 由作图可知：AB＝AF＝5，AE平分∠BAD，∴∠FAE＝ ∠BAE，AE垂直平分BF.∴BO＝BF＝3.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BF垂直平分AE.∴AO＝OE＝＝4.∴AE＝8. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠ADE＝∠EBF. ∵BC＝BE，∴AD＝BE. 在△AED和△EFB中， ∴△AED≌△EFB(SAS)． 【解】∵CF⊥AD，∴CF＝＝＝4. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD. ∴∠BEC＝∠ABE. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE. ∴∠CBE＝∠BEC.∴BC＝CE. ∵CF＝CE，∴BC＝CF＝4. (2)如图②，若CM平分∠DCF交BE于点M，CN⊥BE于点N，求证：CM＋EF＝NE. ∵BE平分∠ABC，CM平分∠DCF，∴∠ABE＝∠ABC，∠ECM＝∠DCF.∵∠CEB＝∠ABE，∴∠BMC＝∠CEB＋∠ECM＝(∠ABC＋∠DCF)＝45°.∴∠EMH＝45°.∵CN⊥BE，∴∠CNM＝90°，∴△CMN和△EMH均为等腰直角三角形．∴易得CM＝MN，EH＝EM.∴EF＝EM. ∴CM＋EF＝MN＋EM＝(EM＋MN)＝NE. $$