（单元讲义）第二单元 认识三角形和四边形（知识梳理+典例精讲+培优必刷）-2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本（北师大版）

作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年四年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本 第二单元 认识三角形和四边形 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】图形分类 1、图形分类的方法。 给图形分类，不但要认识图形的类别特征，还要了解图形之间的关系。我们学过的图形可以进行以下分类： 2、四边形和三角形的特性。 三角形具有稳定性；四边形具有不稳定性，容易变形。三角形和四边形的特性在生活中有着广泛的应用。如：利用四边形的不稳定性制作活动门、可变形的挂钩等；利用三角形的稳定性修建斜拉桥、固定板凳腿等 【知识点二】三角形分类 1、三角形按角分，可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 （1）三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。 （2）有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。 （3）有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 2、三角形按边分，可以分成不等边三角形和等腰三角形。 （1）三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形。 （2）有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 （3）三条边都相等的三角形叫作等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 【知识点三】三角形内角和 1、三角形内角和等于180°。 2、三角形内角和的应用。 根据三角形的内角和是180°，当已知三角形中两个内角的度数时，可以求出第三个内角的度数，并由此判断三角形的形状。 【知识点四】三角形边的关系 1、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。 2、利用三角形边的关系，可以判断三条长度已知的线段能否围成三角形。 3、判断三条线段能否围成三角形，只要把较短的两条线段相加，再与最长的线段比较即可。 【知识点五】四边形分类 1、根据对边的特点，可以将四边形分为三大类：一类是对边都不平行的四边形；一类是只有一组对边平行的四边形；还有一类是两组对边都平行的四边形。 2、两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 3、正方形和长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形。 【考点一】图形分类 【典例一】中国剪纸是用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，在我国流传已有一千五百多年了。剪纸时，下面的图形中能剪成一个三角形和一个平行四边形的是（    ）。 A． B． C． D． 【典例二】下列图形中，是立体图形的有（ ）个。 【典例三】在不改变下面平行四边形木框形状的同时，使它变得稳定起来，画出示意图，并说说这样做的理由。 【考点二】三角形分类 【典例一】如图，在方格纸上找出第三个点C（格点），使三角形ABC是一个等腰直角三角形。这样的点一共有（    ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 【典例二】用一根长48厘米的铁丝围成一个底边长14厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰长是（ ）厘米。 【典例三】一根铁丝正好围成一个边长为8分米的等边三角形。如果用这根铁丝围成一个底边为6分米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的一条腰长是多少分米？ 【考点三】三角形内角和 【典例一】下面说法正确的是（    ）。 A．在三角形的内角中有一个钝角，那么另两个角可能是锐角，也可能是钝角。 B．在三角形的内角中，最多只能有一个直角。 C．在三角形的内角中，最多只能有一个锐角。 D．在三角形中，有两个锐角的是锐角三角形。 【典例二】三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是（ ）条。 【典例三】三角形外角是由三角形一条边与另一条边的延长线所形成的角。如图∠4、∠5、∠6都是三角形ABC外角，∠4＋∠5＋∠6的和就是三角形ABC外角和。三角形ABC外角和是多少？请写出你的推理过程。 【考点四】三角形边的关系 【典例一】如图，一辆小汽车从A地出发，先向B地行驶，再向C地行驶，最后回到A地，A，C两地之间的距离（    ）。 A．可能小于4千米 B．可能大于20千米 C．可能是10千米 【典例二】要用12cm长的细铁丝围成一个等腰三角形。如果其中一条边长度为2cm，那么另外两条边分别是（ ）cm和（ ）cm（边长取整厘米数）；想象一下这个三角形“样子”，如果按“角”分，它是（ ）三角形。（可以画图验证一下哟！） 【典例三】劳动教育是新时代党对教育的新要求，奇思和妙想想为学校的劳动教育基地设计两个三角形的标识牌。下面是奇思和妙想设计的三角形标识牌，这两个三角形标识牌的设计可行吗？请你说明理由。 【考点五】四边形分类 【典例一】小敏不小心将一块玻璃打碎成了如图的4块。为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他只带了两块碎玻璃，其编号应该是（    ）。 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 【典例二】下面的线段中，能围成等腰三角形的3条线段有（ ）种选择方法，不能围成三角形的3条线段有（ ）种选择方法。能围成平行四边形的4条线段是（ ）。 【典例三】下图是平行四边形的一部分。请你： （1）在上面方格图中把平行四边形画完整； （2）画一条线段，把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形； （3）你所分出的三角形按角分是一个（    ）三角形。 一、填空题（满分20分） 1．（2分）生活中常见的伸缩门是应用了平行四边形的（ ）性，斜拉桥的外观设计则是应用了三角形的（ ）性。 2．（2分）在一个直角三角形中，有一个锐角是55°，另一个锐角是（ ）°；如果一个三角形中有一个角是100°，则这个三角形是（ ）三角形。 3．（2分）用两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成一个（ ）（只填一个答案）。 4．（2分）在下面木棒中，用第（ ）三根木棒可以围成一个三角形。 5．（2分）一家面包店的店标是一个等腰三角形的三明治。已知这个三角形的一条边是8cm，另一条边是4cm，这个店标的周长是（ ）cm。 6．（2分）一个三角形中其中两内角之和小于第三个内角，则这个三角形一定是（ ）三角形。（填“锐角”“直角”或“钝角”） 7．（2分）小刚的一张A4纸放在书包里不小心被折起一个角，如图所示，被折的这个三角形是（ ）三角形，如果∠1＝35°，那么∠2＝（ ）°。 8．（2分）一个三角形三条边的长度分别是4厘米、4厘米、5厘米。按边划分，它是一个（ ）三角形，围成这个三角形至少需要（ ）分米长的绳子。 9．（2分）一个三角形的三个角分别是：、、，这个三角形按角分类是（ ）三角形，按边分类是（ ）三角形，所以这个三角形也叫（ ）三角形。 10．（2分）如图，一根彩绳绕A、B、C三个钉子围成一个等腰三角形，如果将三角形顶点C处的钉子去掉，并将这根彩绳重新钉成一个长方形，则所钉成的长方形的面积是（ ）平方厘米。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）一个三角形的三边长都是整厘米，其中两边长分别为10cm和7cm，第三边最长是17cm。（ ） 12．（2分）左图应用了三角形框架辅助支撑，所以具有稳定性。（ ） 13．（2分）　都是四边形。（ ） 14．（2分）在一个等腰三角形中，已知顶角是56°，它的一个底角是62°。（ ） 15．（2分）若一个等边三角形的边长是4厘米，则这个等边三角形的周长是12厘米。（ ） 三、选择题（满分10分） 16．（2分）在下面图形中画一条直线，能分成两个钝角三角形的图形是（    ）。 A． B． C． 17．（2分）一个三角形的两条边分别是5厘米和7厘米，第三条边不可能是（    ）。 A．5厘米 B．7厘米 C．12厘米 18．（2分）摄影师会将照相机放置在三脚架上拍照，三脚架运用了三角形的（    ）的特征。 A．稳定性 B．有三条边 C．易变形 19．（2分）一个等腰三角形，如果一个底角的度数是顶角度数的4倍，这个三角形的顶角是（    ）度。 A．45 B．160 C．20 20．（2分）下面图中，三角形都被长方形纸板遮住了一部分。一定是锐角三角形的是（    ）。 A． B． C． 四、计算题（满分6分） 21．（6分）求下图中∠B的度数。 五、作图题（满分6分） 22．（6分）按要求作图。 （1）在图1中找点C，使它与A、B两点围成一个等腰直角三角形，并画出这个三角形。 （2）在图2中找点D，使它与A、B、C三点围成一个梯形，并画出这个梯形。 六、解答题（满分48分） 23．（6分）某学校有一块等腰梯形的学生实践菜地，它的周长90米，其中上底9米，一条腰长25米，它的下底长多少米？ 24．（6分）把一根长18厘米的吸管剪成边长为整厘米数的三段，再用这三段吸管围成一个三角形，可以怎么剪？ 25．（6分）用一条丝带围成了一个等腰三角形，已知这个三角形的两条边分别长9厘米和11厘米。这条丝带最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 26．（6分）一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是多少度？原来这块纸片的形状是什么三角形，也是什么三角形？ 27．（6分）四边形的内角和是（    ）°，下面是同学们探索四边形内角和的方法，你看懂了吗？请你任选一种说一说是怎么证明的。 28．（6分）小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长18厘米，底边长2分米，小芳至少需要买多少厘米长的丝带？ 29．（6分）一根铁丝正好可以围成一个边长30厘米的等边三角形，如果把它改成一个腰长25厘米的等腰三角形，它的底边长多少厘米？ 30．（6分）一根60厘米长的铁丝刚好围成一个平行四边形，其中一条边长12厘米，其他三条边的长度各是多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年四年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本 第二单元 认识三角形和四边形 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】图形分类 1、图形分类的方法。 给图形分类，不但要认识图形的类别特征，还要了解图形之间的关系。我们学过的图形可以进行以下分类： 2、四边形和三角形的特性。 三角形具有稳定性；四边形具有不稳定性，容易变形。三角形和四边形的特性在生活中有着广泛的应用。如：利用四边形的不稳定性制作活动门、可变形的挂钩等；利用三角形的稳定性修建斜拉桥、固定板凳腿等 【知识点二】三角形分类 1、三角形按角分，可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 （1）三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。 （2）有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。 （3）有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 2、三角形按边分，可以分成不等边三角形和等腰三角形。 （1）三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形。 （2）有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 （3）三条边都相等的三角形叫作等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 【知识点三】三角形内角和 1、三角形内角和等于180°。 2、三角形内角和的应用。 根据三角形的内角和是180°，当已知三角形中两个内角的度数时，可以求出第三个内角的度数，并由此判断三角形的形状。 【知识点四】三角形边的关系 1、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。 2、利用三角形边的关系，可以判断三条长度已知的线段能否围成三角形。 3、判断三条线段能否围成三角形，只要把较短的两条线段相加，再与最长的线段比较即可。 【知识点五】四边形分类 1、根据对边的特点，可以将四边形分为三大类：一类是对边都不平行的四边形；一类是只有一组对边平行的四边形；还有一类是两组对边都平行的四边形。 2、两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 3、正方形和长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形。 【考点一】图形分类 【典例一】中国剪纸是用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，在我国流传已有一千五百多年了。剪纸时，下面的图形中能剪成一个三角形和一个平行四边形的是（    ）。 A． B． C． D． 【分析】三角形是由三条线段首尾顺次连接而成的平面图形，平行四边形是两组对边分别平行的四边形；根据三角形和平行四边形的特点，结合各个图形进行判断选择。 【解答】 A．梯形中有一组对边平行，所以沿上底的一个顶点作腰的平行线，即可分成一个三角形和一个平行四边形； B．正五边形中没有互相平行的两条边，不能剪成一个三角形和一个平行四边形； C．长方形两组对互相平行，不能剪成一个三角形和一个平行四边形； D．不规则四边形中没有互相平行的两条边，不能剪成一个三角形和一个平行四边形； 所以，能剪成一个三角形和一个平行四边形的是。 故答案为：A 【典例二】下列图形中，是立体图形的有（ ）个。 【分析】根据平面图形和立体图形的区别：平面图形是一个平面上的图形，而立体图形是由好多个面组成的图形；进行辨别即可。 【解答】上列图形中，是立体图形的有长方体、圆柱、正方体和球，共4个；圆和长方形是平面图形。 【典例三】在不改变下面平行四边形木框形状的同时，使它变得稳定起来，画出示意图，并说说这样做的理由。 【分析】四边形是容易变形的，要使得其比较稳定，即不变形，可以给相对的顶点加一根木条，即可得2个三角形，而三角形具有稳定性。 【解答】答：因为三角形具有稳定性。 【点评】根据四边形与三角形的特性来解答。 【考点二】三角形分类 【典例一】如图，在方格纸上找出第三个点C（格点），使三角形ABC是一个等腰直角三角形。这样的点一共有（    ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】等腰直角三角形是有一个角是直角的等腰三角形；第一种：以AB为腰（AB的长度是4个小格的长度），从A点出发，向上画一条线段（4个小格的长度），标记为点C；第二种：以AB为腰（AB的长度是4个小格的长度），从A点出发，向下画一条线段（4个小格的长度），标记为点C；第三种：以AB为腰（AB的长度是4个小格的长度），从B点出发，向上画一条线段（4个小格的长度），标记为点C；第四种：以AB为腰（AB的长度是4个小格的长度），从B点出发，向下画一条线段（4个小格的长度），标记为点C；第五种：以AB为底，从AB中间处出发，向上画一条线段（2个小格的长度），标记为点C；第六种：以AB为底，从AB中间处出发，向下画一条线段（2个小格的长度），标记为点C；据此解答。 【解答】根据解析可知，三角形ABC如下： 所以使三角形ABC是一个等腰直角三角形。这样的点一共有6个。 故答案为：D 【典例二】用一根长48厘米的铁丝围成一个底边长14厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰长是（ ）厘米。 【分析】等腰三角形的两个腰长相等，根据题意可知，围成的等腰三角形的周长是48厘米，用周长减去底边的长度再除以2，即可求出腰长，据此解答。 【解答】（48－14）÷2 ＝34÷2 ＝17（厘米） 因此，这个等腰三角形的腰长是17厘米。 【典例三】一根铁丝正好围成一个边长为8分米的等边三角形。如果用这根铁丝围成一个底边为6分米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的一条腰长是多少分米？ 【分析】等边三角形的三条边的长度都相等，等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，一根铁丝正好围成一个边长为8分米的等边三角形，那么可以用8乘3算出这根铁丝的长度。如果用这根铁丝围成一个底边为6分米的等腰三角形，那么直接用这根铁丝的长度减去底边长即可算出两条腰的长度，再除以2即可算出一条腰的长度。 【解答】8×3＝24（分米） （24－6）÷2 ＝18÷2 ＝9（分米） 答：这个等腰三角形的一条腰长是9分米。 【考点三】三角形内角和 【典例一】下面说法正确的是（    ）。 A．在三角形的内角中有一个钝角，那么另两个角可能是锐角，也可能是钝角。 B．在三角形的内角中，最多只能有一个直角。 C．在三角形的内角中，最多只能有一个锐角。 D．在三角形中，有两个锐角的是锐角三角形。 【分析】依据三角形的内角和是180°，如果在三角形中，有一个角是钝角，因为钝角大于90∘，所以另外两个内角的和为180°减去这个钝角，一定小于90∘，因此另两个角一定是锐角； 如果三角形中有两个以上的直角，则三角形的内角和大于180度，所以三角形中最多只能有一个直角； 三角形中，钝角三角形有两个锐角，直角三角形有两个锐角，锐角三角形有三个锐角； 由三角形的内角和是180°可知，如果一个三角形有两个内角是锐角，则另外一个角可以是锐角，也可以是直角或钝角，则这个三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形。 【解答】根据分析： A．在三角形的内角中有一个钝角，那么另两个角是锐角，原题说法错误； B．在三角形的内角中，最多只能有一个直角，原题说法正确； C．等边三角形的三个角都是锐角，原题说法错误； D．在三角形中，有两个锐角的不一定是锐角三角形，原题说法错误。 故答案为：B 【典例二】三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是（ ）条。 【分析】三角形的内角和为180°，那么一个多边形的内角和就等于180°乘8，即180°×8＝1440°，根据公式（n－2）×180°，用多边形的内角和除以180°，再加上2，即可求出这个多边形的边数是多少条，据此解答即可。 【解答】180°×8＝1440° 1440°÷180°＋2 ＝8＋2 ＝10（条） 所以这个多边形的边数是10条。 【典例三】三角形外角是由三角形一条边与另一条边的延长线所形成的角。如图∠4、∠5、∠6都是三角形ABC外角，∠4＋∠5＋∠6的和就是三角形ABC外角和。三角形ABC外角和是多少？请写出你的推理过程。 【分析】∠1和∠4、∠2和∠5、∠3和∠6组成平角，平角＝180°，所以∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6的度数和是3个180°。又因为三角形内角和是180°，即∠1、∠2、∠3的度数和是180°。∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6的度数和减去∠1、∠2、∠3的度数和，即可算出三角形ABC外角和。 【解答】∠1＋∠4＝180° ∠2＋∠5＝180° ∠3＋∠6＝180° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6 ＝180°×3 ＝540° 因为∠1＋∠2＋∠3＝180° 所以∠4＋∠5＋∠6 ＝540°－180° ＝360° 答：三角形ABC外角和是360°。 【考点四】三角形边的关系 【典例一】如图，一辆小汽车从A地出发，先向B地行驶，再向C地行驶，最后回到A地，A，C两地之间的距离（    ）。 A．可能小于4千米 B．可能大于20千米 C．可能是10千米 【分析】由题图可知，A与B之间的距离、B与C之间的距离分别是8千米、12千米，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出A、C两地之间的距离范围，然后再进一解答即可。 【解答】12＋8＝20（千米） 12－8＝4（千米） 因此A，C两地之间的距离大于4千米小于20千米；所以A，C两地之间的距离可能是10千米。 故答案为：C 【典例二】要用12cm长的细铁丝围成一个等腰三角形。如果其中一条边长度为2cm，那么另外两条边分别是（ ）cm和（ ）cm（边长取整厘米数）；想象一下这个三角形“样子”，如果按“角”分，它是（ ）三角形。（可以画图验证一下哟！） 【分析】等腰三角形的两条腰相等。当腰长为2cm时，这个等腰三角形的底边长为：12－2－2＝8（cm），2＋2＜8，所以腰长为2cm时不能构成三角形。当底边长为2cm时，这个等腰三角形的腰长为（12－2）÷2＝5（cm），2＋5＞5，所以另外两条边分别是5厘米和5厘米。三个角都是锐角，所以如果按“角”分类，它是锐角三角形。据此解答即可。 【解答】要用12cm长的细铁丝围成一个等腰三角形。如果其中一条边长度为2cm，那么另外两条边分别是（5）cm和（5）cm（边长取整厘米数）；想象一下这个三角形“样子”，如果按“角”分，它是（锐角）三角形。 【典例三】劳动教育是新时代党对教育的新要求，奇思和妙想想为学校的劳动教育基地设计两个三角形的标识牌。下面是奇思和妙想设计的三角形标识牌，这两个三角形标识牌的设计可行吗？请你说明理由。 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边。据此判断奇思设计的三角形是否可行。 三角形的内角和为180°，据此判断妙想设计的三角形是否可行。 【解答】40＋50＝90（cm），两条边的长度等于第三条边的长度，不可以围成三角形。 20°＋60°＋110°＝190°，三个角的度数和是190°，不符合三角形的内角和定理。 答：奇思和妙想的设计都不可行，因为三条边中，两条边的长度和等于第三条边。三个角的度数和不是180°。 【考点五】四边形分类 【典例一】小敏不小心将一块玻璃打碎成了如图的4块。为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他只带了两块碎玻璃，其编号应该是（    ）。 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 【分析】平行四边形对边平行且相等，对角相等，根据平行四边形的定义和判定方法直接解答。 【解答】只有②和④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点。 故答案为：D 【典例二】下面的线段中，能围成等腰三角形的3条线段有（ ）种选择方法，不能围成三角形的3条线段有（ ）种选择方法。能围成平行四边形的4条线段是（ ）。 【分析】（1）要围成等腰三角形，那么三角形的三边中，就需要有两条线段的长度一样；即其中两条边是②和③或者④和⑤；再根据两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边，来进行选择第三条边；能围成等腰三角形三条线段有：①②③、②③④、②③⑤、①④⑤、②④⑤、③④⑤、④⑤⑥、④⑤⑦； （2）根据不满足两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，不能围成三角形的3条线段有：①②④、①②⑤、①②⑥、①②⑦、①②⑧、①③④、①③⑤、①③⑥、①③⑦、①③⑧、①④⑥、①④⑦、①④⑧、①⑤⑥、①⑤⑦、①⑤⑧、①⑥⑦、①⑥⑧、①⑦⑧、②③⑥、②③⑦、②③⑧、③④⑦、③④⑧、④⑤⑧；据此可解此题； （3）平行四边形对边平行且相等，要找出两组长度相等的线段为：②③④⑤；即可解此题。 【解答】根据分析：能围成等腰三角形的3条线段有8种搭配方法，不能围成三角形的3条线段有25种搭配方法。能围成平行四边形的4条线段是②③④⑤。 【典例三】下图是平行四边形的一部分。请你： （1）在上面方格图中把平行四边形画完整； （2）画一条线段，把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形； （3）你所分出的三角形按角分是一个（    ）三角形。 【分析】（1）平行四边形的两组对边平行，据此把平行四边形画完整； （2）要想把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形，则选择平行四边形的一个顶点，以及这个顶点对边的任意一个点（除了这条对边的两个顶点），用线段连接这两个点即可； （3）观察这个三角形可知，三个角都是锐角，则这个三角形是锐角三角形。 【解答】 （1）（2） （3）你所分出的三角形按角分是一个锐角三角形。（答案不唯一） 【点评】本题考查平行四边形、梯形的性质和三角形的分类，抓住关键点：平行四边形有两组对边平行，梯形有一组对边平行。 一、填空题（满分20分） 1．（2分）生活中常见的伸缩门是应用了平行四边形的（ ）性，斜拉桥的外观设计则是应用了三角形的（ ）性。 【正确答案】不稳定 稳定 【解题思路】平行四边形容易变形，也就是具有不稳定性；三角形具有稳定性，不容易变形。据此解答。 【详细解答】由分析可知：生活中常见的伸缩门是应用了平行四边形的不稳定性，斜拉桥的外观设计则是应用了三角形的稳定性。 2．（2分）在一个直角三角形中，有一个锐角是55°，另一个锐角是（ ）°；如果一个三角形中有一个角是100°，则这个三角形是（ ）三角形。 【正确答案】35 钝角 【解题思路】三角形内角和等于180°，直角三角形中，180°减去90°，再减去已知锐角的度数，即等于另一个锐角的度数；三角形有一个角是钝角，则这个三角形是钝角三角形，三角形有一个角是直角，则这个三角形是直角三角形，三角形的三个角都是锐角，则这个三角形是锐角三角形；据此即可解答。 【详细解答】180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° 在一个直角三角形中，有一个锐角是55°，另一个锐角是35°；如果一个三角形中有一个角是100°，则这个三角形是钝角三角形。 3．（2分）用两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成一个（ ）（只填一个答案）。 【正确答案】正方形 【解题思路】将两个等腰直角三角形的斜边拼在一起，可以拼成一个正方形。若把两个等腰直角三角形的一条直角边拼在一起，得到的新三角形是等腰直角三角形或平行四边形。 【详细解答】如图： 所以用两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成一个正方形、平行四边形或等腰直角三角形。 4．（2分）在下面木棒中，用第（ ）三根木棒可以围成一个三角形。 【正确答案】②③④ 【解题思路】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。其中2与4的和是6，而6又大于5，由此可知5厘米、2厘米、4厘米这三根小棒可以围成一个三角形。 【详细解答】2＋4＝6（厘米） 6＞5 用第②③④三根木棒可以围成一个三角形。 5．（2分）一家面包店的店标是一个等腰三角形的三明治。已知这个三角形的一条边是8cm，另一条边是4cm，这个店标的周长是（ ）cm。 【正确答案】20 【解题思路】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断；分情况讨论：等腰三角形可能腰长都是8cm，也可能腰长都是4 cm，看哪种情况能组成三角形。确定第三条后，把三条边的长度加起来，即可求出店标的周长。据此解答。 【详细解答】如果第三条边是4cm，4＋4＝8，不符合三角形的三边关系； 如果第三条边是8cm，4＋8＞8，符合三角形的三边关系； 所以它的第3条边的长是8cm。 8＋8＋4 ＝16＋4 ＝20（cm） 则这个店标的周长是20cm。 6．（2分）一个三角形中其中两内角之和小于第三个内角，则这个三角形一定是（ ）三角形。（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【正确答案】钝角 【解题思路】三角形的内角和为180°；大于0°且小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°且小于180°的角是钝角；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形；三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形。据此解答即可。 【详细解答】180°÷2＝90° 一个三角形中，其中两个内角和是90°，那么第三个内角也是90°。如果两内角之和小于第三个内角，也就是两个内角和小于90°，第三个内角一定大于90°，即第三个内角是个钝角，所以这个三角形一定是钝角三角形。 7．（2分）小刚的一张A4纸放在书包里不小心被折起一个角，如图所示，被折的这个三角形是（ ）三角形，如果∠1＝35°，那么∠2＝（ ）°。 【正确答案】直角 70 【解题思路】锐角大于0小于 90°、直角等于90°、钝角大于90°小于180°。锐角三角形是指三角形的三个内角都是锐角的三角形，直角三角形是指有一个角为90°的三角形，钝角三角形是指三角形中有一个角是钝角的三角形。 A4纸为长方形，所以被折的这个三角形中有一个直角，那么被折的这个三角形是直角三角形。将所折的角标上∠3和∠4，如图：，观察图可以发现，∠3和∠4是相等的，三角形的内角和为180°，用180°依次减去∠1和90°，即可求出∠3，平角为180°，又因为∠2、∠3和∠4组成平角，用180°依次减去∠3和∠4，即可求出∠2，据此解答即可。 【详细解答】由分析可知，被折的这个三角形是直角三角形。 如图： ∠3＝∠4 ∠3： 180°－90°－35°＝55° ∠2： 180°－55°－55°＝70° 所以如果∠1＝35°，那么∠2＝70°。 8．（2分）一个三角形三条边的长度分别是4厘米、4厘米、5厘米。按边划分，它是一个（ ）三角形，围成这个三角形至少需要（ ）分米长的绳子。 【正确答案】等腰 1.3 【解题思路】三角形按边分，可分为三种：三条边都不相等的是不等边三角形、三条边都相等的是等边三角形、只有两条边相等的是等腰三角形；绳子至少需要的长度为三角形三边的长度和，1分米＝10厘米，然后把单位厘米换算成分米；据此即可解答。 【详细解答】4＋4＋5 ＝8＋5 ＝13（厘米） ＝1.3分米 一个三角形三条边的长度分别是4厘米、4厘米、5厘米。有两条边相等，所以按边划分，它是一个等腰三角形，围成这个三角形至少需要1.3分米长的绳子。 9．（2分）一个三角形的三个角分别是：、、，这个三角形按角分类是（ ）三角形，按边分类是（ ）三角形，所以这个三角形也叫（ ）三角形。 【正确答案】直角 等腰 等腰直角 【解题思路】根据三角形的分类，直角三角形有一个角是直角，直角＝90°；等腰三角形两个底角相等，两条边也相等，两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形，据此填空即可。 【详细解答】这个三角形按角分类是直角三角形，按边分类是等腰三角形，所以这个三角形也叫等腰直角三角形。 10．（2分）如图，一根彩绳绕A、B、C三个钉子围成一个等腰三角形，如果将三角形顶点C处的钉子去掉，并将这根彩绳重新钉成一个长方形，则所钉成的长方形的面积是（ ）平方厘米。 【正确答案】30 【解题思路】已知等腰三角形的两腰相等，即AC＝BC＝8厘米，所以彩绳的长度是8×2＋6＝22（厘米）；因为长方形也是这条彩绳围成的，所以长方形的周长也是22厘米，而AB边不变，所以可以用长方形的周长除以2，再减去6，求出长方形另一条边的长度；再根据长方形的面积＝长×宽，即可求出长方形的面积。 【详细解答】三角形的周长： 8×2＋6 ＝16＋6 ＝22（厘米） 22÷2－6 ＝11－6 ＝5（厘米） 即长方形的长是6厘米，宽是5厘米 长方形的面积＝长×宽＝6×5＝30（平方厘米） 所以，一根彩绳绕A、B、C三个钉子围成一个等腰三角形，如果将三角形顶点C处的钉子去掉，并将这根彩绳重新钉成一个长方形，则所钉成的长方形的面积是30平方厘米。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）一个三角形的三边长都是整厘米，其中两边长分别为10cm和7cm，第三边最长是17cm。（ ） 【正确答案】× 【解题思路】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解答此题即可。 【详细解答】10＋7＝17（cm） 10－7＝3（cm） 3cm＜第三边＜17cm 第三边最长是16cm，原题说法错误。 故答案为：× 【考点点评】熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键。 12．（2分）左图应用了三角形框架辅助支撑，所以具有稳定性。（ ） 【正确答案】√ 【解题思路】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。据此进行判断。 【详细解答】 左图应用了三角形框架辅助支撑，所以具有稳定性。说法正确。 故答案为：√ 13．（2分）　都是四边形。（ ） 【正确答案】× 【解题思路】由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭图形叫四边形，根据四边形的定义判断即可。 【详细解答】 因为第一、第三个图形的四条边是由四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形，第二个图形不是由线段围成的四边形，所以这些图形都是四边形说法错误。 故答案为：× 【考点点评】熟练掌握四边形的定义是解答此题的关键。 14．（2分）在一个等腰三角形中，已知顶角是56°，它的一个底角是62°。（ ） 【正确答案】√ 【解题思路】根据等腰三角形的特征：两个底角相等；三角形的内角和是180°，用180°－56°，求出两个底角的和，再除以2，求出一个底角的度数，再进行比较，即可解答。 【详细解答】（180°－56°）÷2 ＝124°÷2 ＝62° 在一个等腰三角形中，已知顶角是56°，它的一个底角是62° 原题干说法正确。 故答案为：√ 【考点点评】熟练掌握三角形内角和以及等腰三角形的特征是解答本题的关键。 15．（2分）若一个等边三角形的边长是4厘米，则这个等边三角形的周长是12厘米。（ ） 【正确答案】√ 【解题思路】根据等边三角形的特征，等边三角形的3条边的长度都相等，再根据三角形的周长公式求出这个等边三角形的周长，然后与12厘米进行比较。 【详细解答】3×4＝12（厘米） 所以，这个等边三角形的周长是12厘米。 故答案为：√ 【考点点评】此题考查目的是理解掌握等边三角形的特征及应用，三角形的周长公式及应用。 三、选择题（满分10分） 16．（2分）在下面图形中画一条直线，能分成两个钝角三角形的图形是（    ）。 A． B． C． 【正确答案】B 【解题思路】在正方形、平行四边形、梯形的图里分一分，看看哪一个可以分成两个钝角三角形即可。 【详细解答】 A．可以分成两个直角三角形。如图，，所以不符合要求。 B．可以分成两个钝角三角形。如图，，所以符合要求。 C．分成两个三角形，有两种分法，如图，  ，都不是两个钝角三角形，所以不符合要求。 故答案为：B 17．（2分）一个三角形的两条边分别是5厘米和7厘米，第三条边不可能是（    ）。 A．5厘米 B．7厘米 C．12厘米 【正确答案】C 【解题思路】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；算出结果，就能确定第三条边在什么范围内。 【详细解答】5＋7＝12（厘米） 7－5＝2（厘米） 所以，第三条边大于2厘米，小于12厘米。可以是3厘米、4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米。不可能是12厘米。 故答案为：C 18．（2分）摄影师会将照相机放置在三脚架上拍照，三脚架运用了三角形的（    ）的特征。 A．稳定性 B．有三条边 C．易变形 【正确答案】A 【解题思路】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，例：埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造。紧扣三角形具有稳定性的性质，即可解答。 【详细解答】三脚架的三条腿，构成了三角形，这是利用了三角形的稳定性。 故答案为：A 19．（2分）一个等腰三角形，如果一个底角的度数是顶角度数的4倍，这个三角形的顶角是（    ）度。 A．45 B．160 C．20 【正确答案】C 【解题思路】等腰三角形的特点是两个底角相等，它的内角和是180°，一个底角的度数是顶角度数的4倍，那么就把顶角度数看作1份，则一个底角的度数就是4份，因此两个底角的度数就是8份，整个三角形的度数就是9份，即用180°除以9就是一份的度数，也就是顶角的度数。据此解答。 【详细解答】4＋4＋1＝9（份） 180°÷9＝20° 所以这个三角形的顶角度数是20°。 故答案为：C 20．（2分）下面图中，三角形都被长方形纸板遮住了一部分。一定是锐角三角形的是（    ）。 A． B． C． 【正确答案】C 【解题思路】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；依此选择即可。 【详细解答】 A．露出的是钝角，所以一定是钝角三角形；     B．此三角形只知道一个角为锐角，另外两个角中可能有一个是钝角或直角，也可能另外两个角都是锐角，所以这个三角形不一定是锐角三角形； C．如图，三角形的三个角都是锐角，所以一定是锐角三角形。 故答案为：C 四、计算题（满分6分） 21．（6分）求下图中∠B的度数。 【正确答案】30° 【解题思路】三角形内角和为180°，由题图可知，∠1＝180°－25°－50°＝105°，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠2＝∠1＝105°。再由三角形内角和是180°可求得∠B的度数。 【详细解答】因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠2＝∠1＝180°－25°－50°＝105° ∠B＝180°－105°－45°＝30° 五、作图题（满分6分） 22．（6分）按要求作图。 （1）在图1中找点C，使它与A、B两点围成一个等腰直角三角形，并画出这个三角形。 （2）在图2中找点D，使它与A、B、C三点围成一个梯形，并画出这个梯形。 【正确答案】图见详解 【解题思路】（1）等腰直角三角形有一个角是直角，且两条直角边相等，可以以AB为直角边，找出点C画出三角形即可。 （2）梯形有一组对边平行，一组对边不平行，可以找出点D，是CD平行于AB，且DB与AC不平行，据此画出梯形即可。 【详细解答】 如图：（画法不唯一） 六、解答题（满分48分） 23．（6分）某学校有一块等腰梯形的学生实践菜地，它的周长90米，其中上底9米，一条腰长25米，它的下底长多少米？ 【正确答案】31米 【解题思路】等腰梯形的周长＝上底＋下底＋腰×2，则等腰梯形的下底＝周长－上底－腰×2，据此即可计算下底长。 【详细解答】90－25×2－9 ＝90－50－9 ＝31（米） 答：它的下底长31米。 24．（6分）把一根长18厘米的吸管剪成边长为整厘米数的三段，再用这三段吸管围成一个三角形，可以怎么剪？ 【正确答案】见详解 【解题思路】三角形中任意两边之和大于第三边，所截3段的长度的和是18厘米，即最长边要小于总长度的一半，并且任意两段相加的和大于第三段，据此解答。 【详细解答】18÷2＝9（厘米） 9－1＝8（厘米） 三段的长度分别为： ①8厘米＜8厘米＋2厘米； ②8厘米＜7厘米＋3厘米； ③8厘米＜6厘米＋4厘米； ④8厘米＜5厘米＋5厘米； ⑤7厘米＜7厘米＋4厘米； ⑥7厘米＜6厘米＋5厘米； ⑦6厘米＜6厘米＋6厘米； 答：共有7种剪法，分别为8厘米、8厘米、2厘米，8厘米、7厘米、3厘米，8厘米、6厘米、4厘米，8厘米、5厘米、5厘米，7厘米、7厘米、4厘米，7厘米、6厘米、5厘米，6厘米、6厘米、6厘米。 【考点点评】围成三角形中任意两条边的和大于第三边，是判断三条线段能否围成一个三角形的关键。 25．（6分）用一条丝带围成了一个等腰三角形，已知这个三角形的两条边分别长9厘米和11厘米。这条丝带最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 【正确答案】最长31厘米；最短29厘米 【解题思路】 等腰三角形的特征：等腰三角形的两腰相等，可知等腰三角形的另一条腰的长度可能是9厘米或11厘米，当腰长为9厘米时，又根据三角形的特性：任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边；可知9＋9＞11，所以这个等腰三角形的三条边长为9厘米，9厘米，11厘米时这条丝带最短；当腰长为11厘米时，11＋11＞9，所以这个等腰三角形的三条边长为11厘米，11厘米，9厘米时这条丝带最长；然后分别把三边长度相加求出丝带的长度即可。 【详细解答】 当9厘米为腰长时， 9＋9＝18（厘米）＞11厘米， 所以这个等腰三角形的三条边长为9厘米，9厘米，11厘米时丝带最短， 9＋9＋11 ＝18＋11 ＝29（厘米） 当11厘米为腰长时， 11＋11＝22（厘米）＞9厘米， 所以这个等腰三角形的三条边长为11厘米，11厘米，9厘米时丝带最长， 11＋11＋9 ＝22＋9 ＝31（厘米） 答：这条丝带最长是31厘米；最短是29厘米。 26．（6分）一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是多少度？原来这块纸片的形状是什么三角形，也是什么三角形？ 【正确答案】67°；锐角三角形；等腰三角形 【解题思路】根据三角形内角和为180度，用180度依次减去46度和67度，算出第三个角是67度，再根据三角形按角分：锐角三角形三个角都是锐角的三角形；直角三角形有一个角是直角；钝角三角形有一个角是钝角。判断属于锐角的三角形。根据三角形边的特征分类：有两边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形，据此判断是等腰三角形。 【详细解答】180－46－67＝134－67＝67（度） 三个角67度，67度，46度都小于90度，则这个三角形是锐角三角形，且有两个角相等，也是等腰三角形。 答：这个角是67度，是锐角三角形，也是等腰三角形。 27．（6分）四边形的内角和是（    ）°，下面是同学们探索四边形内角和的方法，你看懂了吗？请你任选一种说一说是怎么证明的。 【正确答案】360；见详解 【解题思路】方法一：用测量工具测量，如三角板、量角器等，测出四个内角的度数，相加即可求出四边形内角和是多少度；方法二：将四边形的四个角撕下，将四边形内角沿着一个顶点能拼成一个周角，即可知道四边形内角和是多少度；将四边形分成两个三角形，三角形内角和是180°，用180°×2即可求出四边形内角和是多少度，据此解答即可。 【详细解答】方法一：经过测量可知四个角度数相加是360°。 方法二：周角＝360°，四边形内角和是360°。 方法三：180°×2＝360°，四边形内角和是360°。 答：四边形的内角和是360°。 28．（6分）小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长18厘米，底边长2分米，小芳至少需要买多少厘米长的丝带？ 【正确答案】56厘米 【解题思路】根据题意，求丝带的长就是求三角形的周长。根据等腰三角形两腰相等的特点，可知这个相框三边的长度为18厘米，18厘米，2分米；先根据1分米＝10厘米，把2分米换算成厘米单位，即20厘米，再把三条边的长度相加即可。据此解答。 【详细解答】2分米＝20厘米 18＋18＋20 ＝36＋20 ＝56（厘米） 答：小芳至少需要买56厘米长的丝带。 29．（6分）一根铁丝正好可以围成一个边长30厘米的等边三角形，如果把它改成一个腰长25厘米的等腰三角形，它的底边长多少厘米？ 【正确答案】40厘米 【解题思路】等边三角形的3条边都相等，用30乘3求出它的周长；等腰三角形的两腰相等，根据题意，等腰三角形的周长等于等边三角形的周长，用等边三角形的周长减去两腰之和即可求出等腰三角形的底边长。 【详细解答】30×3＝90（厘米） 90－（25＋25） ＝90－50 ＝40（厘米） 答：它的底边长40厘米。 【考点点评】熟练掌握等边三角形和等腰三角形的特征是解答此题的关键。 30．（6分）一根60厘米长的铁丝刚好围成一个平行四边形，其中一条边长12厘米，其他三条边的长度各是多少厘米？ 【正确答案】12厘米；18厘米；18厘米 【解题思路】平行四边形两组对边分别平行且相等，一条边是12厘米，那么对边也是12厘米，再根据周长÷2－一条边长算出另一组对边长度。 【详细解答】60÷2＝30（厘米） 30－12＝18（厘米） 答：其他三边长分别是：12厘米、18厘米、18厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $$