2025年普通高等学校招生“圆梦杯”高三统一模拟考试（七）数学试卷

数学试题第 1页（共 4页） 2025年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（七） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．若复数 z的实部为 1，则 z z  A．1 B． 2 C． i D． 2i 2．抛物线 2 2x y  的准线方程为 A． 1 2 x  B． 1x  C． 1 2 y  D． 1y  3．设向量 ( , 2)xa ， (1,3)b ．若 a 与 b 共线，则 x  A． 6 B． 6 C． 2 3 D． 2 3  4．已知函数 ( ) log ( 0, 1)af x x a a   ，若 2 3(e ) (e ) 10f f  ，则 a  A． e 2 B． e C．e D． 2e 5．从1， 2，3， 4，5这5个数中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为 A． 3 20 B． 17 20 C． 3 10 D． 7 10 6．已知函数 ( ) (ln )f x x x a  在区间 (1,2)单调递增，则 a的最小值为 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 7．已知 *,i jN ，记 nS 为等比数列{ }na 的前 n项和．设命题 p： 2 1 0ia   ； 命题 q： 2 1 0jS   ，则命题 p是命题 q的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 数学试题第 2页（共 4页） 8．已知函数 ( )f x ， ( )g x 的定义域均为 R，且 ( )f x 的图像关于点 (2,0)对称．设集合 { | , ( ) ( ) 0}A a x f x g a   R任意 ， { | , ( ) ( ) 0}B a x f x g a   R存在 ， { | ( ) (1)}C a g a f ≥ ，则 A． A C A B． A C C C． B C B D． B C C 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．已知两组样本数据，第一组 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 1 2 2 x x ，第二组 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 1 2 3 3 x x x  ． 若 1 2 3 4x x x x≤ ≤ ≤ ，则 A．这两组数据的平均数一定相等 B．这两组数据的极差一定相等 C．这两组数据的第 90百分位数一定相等 D．这两组数据的众数一定相等 10．已知椭圆 2 2 : 1 4 3 x yC   的左顶点为 A，右焦点为 F ． 点M 在线段 AO（O为坐标 原点）上，且C与圆M 有且只有一个公共点 A，点 0 0( , )P x y ，Q分别为C和圆M 上 的动点，则 A． | |OP 的最大值为 2 B． 0 | | 4 PF x 为定值 C．圆M半径的最大值为1 D． | | 2 | |PQ PF 的最小值为3 11．设 a，b为正数，若函数 1( ) sin 2 2 f x x  在区间[ , ]b ab a 上有且仅有两个零点，则 A． bab a  有最大值 B． bab a  有最小值 C． 2a b的最小值为 5 5 12  D． a b 的最小值为 5 3  三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知圆锥的母线长为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为__________． 13．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心．现规划 在半圆弧岸边取点C， D，满足 AOC COD  ，在扇 形 AOC和扇形 BOD区域内种植荷花，在扇形COD区域 数学试题第 3页（共 4页） 内修建水上项目，并在湖面上修建栈道 AC ， BD， CD作为观光路线，则当 AC BD CD  最大时， sin BOD  __________． 14．如图，由9个单位小方格组成的3 3 方格表中共有16个格点， 将每个格点染成红色或蓝色，满足：若任意 4个格点构成矩形 的 4个顶点，则这 4点中至多有 2点被染成红色．则被染为红 色的格点数目最多为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为正方形， PA 平面 ABCD， 1PA AB  ，E，F 分别是 PB， AC 的中点． （1）证明： EF∥平面 PCD； （2）求二面角C EF B  的正弦值． 16．（15分） 小明连续投篮两次，若第一次投中，则第二次也投中的概率为 0.6，若第一次未投 中，则第二次投中的概率为 0.5，已知第一次投中的概率为 0.7． （1）记小明投中的次数为随机变量 X ，求 X 的分布列及数学期望； （2）求在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率． 17．（15分） 已知双曲线 2 2 2 2: 1 ( 0, 0) x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 (2,3)A 在 C 上，且 2 1 2AF F F ． （1）求 C的标准方程； （2）过 2F 的直线交 C于M ，N两点，线段 AM 与线段 1F N 交于点 R，若 1F RM△ 的 面积等于 ARN△ 的面积，求 | |MN ． 数学试题第 4页（共 4页） 18．（17分） 已知函数 ( ) ( )e xf x a x x   ， aR． （1）当 0a  时，求 ( )f x 的最大值； （2）证明： ( )f x 存在唯一极值点 0x ； （3）若存在开区间 I ，使得 ( )f x I ，当且仅当 x I ，求 a的取值范围． 19．（17分） 若互不相交的非空集合 1A ， 2A ，…， kA 满足： 1 2 {1,2, , }kA A A n  … … ，且对 任意 , ( 1,2, , )ma b A m k  … ， ma b A  ，则称 1 2( , , , )kA A A… 是“ ( , )k n 集合对”． （1）写出一个 (3,7)集合对； （2）若 1 ( 1,2,3, ){2,3,4,5,6}i jb a a i j   ， 1 ( 1,2, ){2,3}tsc b b s t   ，证明： 不存在 (3, )n 集合对 1 2 3( , , )A A A ，使得 1 2 6 1{ , , , }a a a A… ， 1 2 3 2{ , , }b b b A ， 1 2 3{ , }c c A ； （3）若数列{ }nx 满足 2 5x  ， 1 1n nx nx   （ 3n≥ ），证明：当 2n≥ 时，不存在 ( , )nn x 集合对.