精品解析：广东省佛山市三水中学附中2024-2025学年九年级上学期第一次段测数学试卷（10月份）

2024-2025学年广东省佛山市三水中学附中九年级（上）第一次段测数学试卷（10月份） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（　　） A. 3， B. ，3 C. 3，1 D. 3， 2. 已知（b+d+f≠0），则=（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 根据表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 A. B. C. D. 无法判定 5. 将分别标有“中”、“考”、“必”、“胜”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白球 B. 黄球 C. 红球 D. 黑球 7. 如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 18 8. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为（ ） A. 30cm B. C. 20cm D. 10. 如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段________． 12. 已知一元二次方程x2﹣6x+9＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝_______． 13. 如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是______．（第一个圆三等份，第二个圆二等份，红色和蓝色配成紫色） 14. 如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：______，使四边形成为菱形． 15. 如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加． （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是__________． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知a、b、c是的三边长，且，求： （1）的值； （2）若的周长为24，求各边的长． 18. 2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动． （1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______； （2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求m的值， 20. 已知． （1）若，请求出x的值； （2）请比较A与B的大小，并说明理由． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． （1）当______时，四边形是矩形； （2）当______时，四边形是菱形； （3）是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 23. 在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是______； （2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立．请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线上时，其他条件不变，连接．若，请画出图形并直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省佛山市三水中学附中九年级（上）第一次段测数学试卷（10月份） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（　　） A. 3， B. ，3 C. 3，1 D. 3， 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程一般式，解题的关键是熟知一元二次方程的特点．根据一元二次方程的特点即可求解． 【详解】解：方程的二次项系数和常数项分别为3和1， 故选C． 2. 已知（b+d+f≠0），则=（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据等比的性质：b＋d＋…＋n≠0），那么，求解； 当b＋d＋f≠0时，直接可利用等比的性质得到多求比的值，直接写出答案. 【详解】解：因为（b＋d＋f≠0）， 所以由合比性质可得， ． 故选B. 【点睛】本题考查比例的性质，掌握公式是解题关键. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根，即可求解． 【详解】解：一元二次方程中， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：D ． 4. 根据表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 A. B. C. D. 无法判定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．由表格可发现y的值在和0.76之间有个0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当x取1.3与1.4之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 的一个解x的取值范围为． 故选：C． 5. 将分别标有“中”、“考”、“必”、“胜”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： 中 考 必 胜 中 考中 必中 胜中 考 中考 必考 胜考 必 中必 考必 胜必 胜 中胜 考胜 必胜 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的卡片上的汉字可以组成“必胜”的结果有2种， ∴两次摸出的卡片上的汉字可以组成“必胜”的概率为． 故选：C． 6. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白球 B. 黄球 C. 红球 D. 黑球 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是白球， 故选：A． 7. 如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键．先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点D是斜边的中点， ∴， 故选：C． 8. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键.连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选：D. 9. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为（ ） A. 30cm B. C. 20cm D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及勾股定理．根据正方形的性质，利用勾股定理可求出，根据菱形的性质，结合得出是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在菱形中，cm， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 10. 如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键． 根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例，则可以列出比例式，代入数值求解即可得到答案； 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：2． 12. 已知一元二次方程x2﹣6x+9＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝_______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出即可． 【详解】∵一元二次方程x2﹣6x+9＝0的两根为x1、x2， ∴x1•x2＝9， 故答案为：9． 【点睛】此题考查根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解题的关键，如果α、β是一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，那么α+β=- ，α•β=． 13. 如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是______．（第一个圆三等份，第二个圆二等份，红色和蓝色配成紫色） 【答案】##0.5 【解析】 【分析】运用画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：转盘一中的颜色分别用红，红，蓝表示，转盘二中的颜色分别用红，蓝表示， ∴画树状图把所有等可能结果表示，如图所示， 共有种等可能结果，其中红色和蓝色配成紫色的有种， ∴配得紫色的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查运用画树状图法求随机事件概率的计算，掌握以上知识是解题的关键． 14. 如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：______，使四边形成为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，先证明四边形是平行四边形，根据，可得四边形成为菱形． 【详解】解：添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 在与中， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 故答案为：（或或等）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 15. 如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加． （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是__________． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是__________． 【答案】 ①. 6 ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可． 【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为：6． （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个的值， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据因式分解法解答即可； （2）根据因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 所以，． 17. 已知a、b、c是的三边长，且，求： （1）的值； （2）若的周长为24，求各边的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各边长是解题关键． （1）直接设，，，进而代入求出答案； （2）直接设，，，利用周长建立方程求解，进而代入求出答案． 【小问1详解】 解：， 设，，， ； 【小问2详解】 解：设，，， 的周长为24， 可得， 解得， ． 18. 2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动． （1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______； （2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能理解“放回与不放回的区别”是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，再利用概率公式进行计算即可； 【小问1详解】 解：由题意得从这些景区随机选择1个景区，选中东关街的有1种可能， ∴选中东关街的概率是， 故案䅁为：； 【小问2详解】 列表如下： 小亮 小明 C D E C D E 共有9种等可能结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种， ∴小明和小亮选到相同景区的概率：； 答：小明和小亮选到相同景区的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求m的值， 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，矩形的性质等知识． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系和矩形的性质可得出关于的一元二次方程，求解即可， 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得：； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可知，， ∵，恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长， ∴， 整理，得， ∴， 又∵，且， ∴ 20. 已知． （1）若，请求出x的值； （2）请比较A与B的大小，并说明理由． 【答案】（1）x的值为； （2） ，理由如下：∵ ， 又对于任意的x部有， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法和配方法的应用． （1）根据列方程求解即可； （2）求出，然后利用配方法即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：x的值为； 【小问2详解】 略 21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． （1）当______时，四边形是矩形； （2）当______时，四边形是菱形； （3）是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】（1） （2） （3） 不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上 【解析】 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴，即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题． 23. 在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是______； （2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立．请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线上时，其他条件不变，连接．若，请画出图形并直接写出的面积． 【答案】（1）， （2） （1）中的结论：，仍然成立，理由如下： 如图2中，连接，设与交于， 菱形中，且， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． （1）中的结论：，仍然成立； （3）的面积为或． 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论； （2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明即可； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【小问1详解】 解：如图1，连接，延长交于点， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， ， ； 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， ，平分， ，， ， ，， ， 由（2）知， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形， ， 如图4中，当点在的延长线上时，同法可得， ， 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $