专题6.6 平面向量的应用（3类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.6 平面向量的应用 【考点1：平面向量在几何中的应用】 1 【考点2：平面向量在物理中的应用】 8 【考点3：平面向量的其他应用】 14 【考点1：平面向量在几何中的应用】 【知识点：平面向量在几何中的应用】 1．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 2．（24-25高三上·河南·阶段练习）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【分析】取的中点，连接，由向量的加法和数量积结合图形运算即可； 【详解】 取的中点，连接（图略），则 ． 因为正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合， 所以，所以． 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据，结合正六边形的性质求解的范围即可. 【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 4．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【分析】取三角形ABC的重心和DE中点，由平面向量线性运算化简所求向量，再又三点共线的逆定理得到点在平面的位置，用勾股定理求出线段CH长，从而求得所求向量的最小值. 【详解】取DE中点F，三角形的重心G， ∵，， 则， 设，则可得，设BC中点为M， 则， ，， 在扇形中，当三点共线时，最小，所以的最小值为， 的最小值为. 故选：B 5．（多选）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【分析】根据数量积的运算律可得，结合正六边形的几何性质，即可求解. 【详解】如图，设圆心为，取的中点，连接，，，，    根据题意可知，是边长为的正三角形，易得， ， 根据图形可知，当点位于正六边形各点的中点时，有最小值， 此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值，此时 综上，. 故选：BCD 6．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 【分析】第一空利用向量形式的三角不等式即可求解；第二空将转化为，再利用极化恒等式即可求解. 【详解】解：，当点与点重合时等号成立； 如图所示，取中点，连接，取的中点为，连接， 则． 又因为点为正方形内部（包括边界）一动点， 所以， 当点与点重合时，取得最小值． 故答案为，． 7．（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到，求出，设，，故，求出，故，从而得到最小值. 【详解】过点作⊥于点， 因为等腰梯形中，， 所以，由勾股定理得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 是腰的中点，故， 所以， 设，，， 则，故，， 故， ， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 8．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【分析】设，，根据平面向量共线定理证明即可． 【详解】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 9．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【考点2：平面向量在物理中的应用】 【知识点：平面向量在物理中的应用】 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出即可得解. 【详解】由，，得，而，解得， 所以. 故选：A 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】由题意可得，根据模长关系可得，进而逐项分析判断即可. 【详解】由题意可得， 则，解得， 对A：当时，，故A正确； 对B：当时，，即，故B错误； 对于C：对于， 因为在内单调递减，则在内单调递增， 所以越小越省力，越大越费力，且无最小值，故CD错误； 故选：A. 4．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平面向量加法的几何意义，数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由题意，游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，即航行的方向垂直河岸，由向量加法的几何意义可知，即 所以，解得， 故答案为：. 5．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 N．（重力加速度g取） 【答案】 【分析】根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果. 【详解】设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为， 因为，所以在上的投影向量为， 所以8根绳子拉力的合力为， 又因为降落伞匀速下落，所以， 所以，，所以. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·单元测试）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时， . 【答案】/ 【分析】若游船能到处，则有，即可求出. 【详解】若游船正好到达处，即和速度与同向， 则有， 所以， 故答案为： 7．（2024高三·全国·专题练习）一个物体在平面内受到三个力，，的作用，它们的大小依次为10N、8N和6N，方向依次为北偏东、北偏东、北偏西，物体在合力方向移动了10米，求合力做的功（保留四位有效数字）． 【答案】199.6焦耳 【分析】以物体初始位置为原点，以正东方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系.通过计算可得三个力向量的坐标,从而可得合力的坐标,根据合力与位移向量的夹角为,利用向量的物理意义可得. 【详解】以物体初始位置为原点，以正东方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． 计算可得， ， ， 所以合力， 因为合力与位移的夹角为， 所以合力做的功 ， 保留四位有效数字可得199.6焦耳．所以合力做的功约为199.6焦耳． 8．（2024高二上·辽宁·学业考试）在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算求解合力，利用模的坐标运算求解即可； （2）利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算公式计算即可. 【详解】（1）由题图可知，， 则物体受到与的合力为， 所以其大小为； （2）因为，， 所以. 9．（24-25高三上·湖北随州·期末）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知，与的夹角为45°，求: (1)的大小; (2)与的夹角的大小. 【答案】(1)(1+)N (2) 【分析】（1）根据三个力平衡，得到，再由求解； （2）设与的夹角为θ，由求解. 【详解】（1）解：因为三个力平衡，所以， 则， ， 故的大小为(1+)N. （2）设与的夹角为θ， 则， 即， 解得，因为， 所以. 【考点3：平面向量的其他应用】 【知识点：平面向量的其他应用】 1．（24-25高一下·辽宁·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．-1 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义可得，即可根据向量的坐标运算，结合三角恒等变换可得，即可利用三角函数的性质求解. 【详解】以为原点，以所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则，其中，，， 故，,， ， ，，， ， 的取值范围为,，故的最小值为； 故选：A． 2．（多选）（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【答案】ACD 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可． 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 3．（24-25高一下·四川自贡·期末）如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则 ． 【答案】/ 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设后，写出各点坐标，用向量的坐标运算可得． 【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设， 则有， ，过D作轴于F，， ，所以， ，，， 因为， 所以， 所以，，解得：， 则的值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：建系用坐标表示是解题的关键. 4．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的最小值为 ；若点N为线段AE（含端点）上的动点，且满足，则的最大值为 . 【答案】 /-0.5 4 【分析】从向量的数量积的定义入手理解，将数量积最小问题转化为在上的投影数量最小问题，结合图象易于找到，计算即得；根据题意，建立如图坐标系，设动点，,表示出相关向量坐标代入题设条件，列出方程组，求出，计算的取值范围即得. 【详解】   如图，由向量数量积的几何意义可知可理解为在上的投影数量与的乘积， 要使最小，需使在上的投影数量最小，由图知，当且仅当点与重合时，投影的数量最小，即， 故；    如上图，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，则,不妨设，则， 则，由代入坐标，即得，， 解得：于是，因，故当且仅当时，的最大值为4. 故答案为： 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，两射线、均与直线l垂直，垂足分别为D、E且.点A在直线l上，点B、C在射线上. (1)若F为线段BC的中点（未画出），求的最小值； (2)若为等边三角形，求面积的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量坐标运算结合二次函数的性质得到所求最小值； （2）设正三角形的边长为，设，则， 则,，利用向量的投影向量关系在上的投影向量为,在上的投影向量为, 得到、的关系，利用三角函数公式化简，利用三角函数的性质求得正三角形的面积的取值范围. 【详解】（1）以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,    由已知可得点的坐标为，设, 则， ∴， 当且仅当时，取得最小值； （2）设正三角形的边长为， 对于直线l上任意一点A，对于不同的情况如图所示：          设，则，则,， 在上的投影向量为,在上的投影向量为, , ∴，∴， 又∵，∴，∴, 面积的取值范围是. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.6 平面向量的应用 【考点1：平面向量在几何中的应用】 1 【考点2：平面向量在物理中的应用】 4 【考点3：平面向量的其他应用】 8 【考点1：平面向量在几何中的应用】 【知识点：平面向量在几何中的应用】 1．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．（24-25高三上·河南·阶段练习）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 3．（2025高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 6．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 7．（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 8．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 9．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【考点2：平面向量在物理中的应用】 【知识点：平面向量在物理中的应用】 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 4．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 5．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 N．（重力加速度g取） 6．（24-25高一上·上海·单元测试）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时， . 7．（2024高三·全国·专题练习）一个物体在平面内受到三个力，，的作用，它们的大小依次为10N、8N和6N，方向依次为北偏东、北偏东、北偏西，物体在合力方向移动了10米，求合力做的功（保留四位有效数字）． 8．（2024高二上·辽宁·学业考试）在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 9．（24-25高三上·湖北随州·期末）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知，与的夹角为45°，求: (1)的大小; (2)与的夹角的大小. 【考点3：平面向量的其他应用】 【知识点：平面向量的其他应用】 1．（24-25高一下·辽宁·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．-1 2．（多选）（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 3．（24-25高一下·四川自贡·期末）如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则 ． 4．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的最小值为 ；若点N为线段AE（含端点）上的动点，且满足，则的最大值为 . 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，两射线、均与直线l垂直，垂足分别为D、E且.点A在直线l上，点B、C在射线上. (1)若F为线段BC的中点（未画出），求的最小值； (2)若为等边三角形，求面积的范围. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$