专题6.6 平面向量及其应用综合检测1-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

专题6.6平面向量及其应用综合检测1 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高一·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 B．若向量与不共线，则与都是非零向量 C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D．方向相反的两个非零向量必不相等. 【答案】C 【分析】根据向量的基本概念，结合共线向量、相等向量，对选项中的命题进行判断即可． 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示向量，有向线段不是向量，向量也不是有向线段，A正确； 对于B，与任一向量都共线，向量与不共线时，、都是非零向量，B正确； 对于C，长度相等但方向相反的两个向量是共线向量，C错误； 对于D，相等向量的大小相等，方向相同的两个向量，方向相反的两个非零向量必不相等，D正确． 故选：C． 2．（2025高一·全国·课后作业）已知正方形ABCD的边长为1，，，，则的模等于（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的加法运算和模长的定义求解. 【详解】在正方形ABCD中，, ， 所以，所以, 故选:C. 3．（24-25高一·全国·课后作业）对于非零向量与，下列不等式中恒成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】由向量数量积公式，结合，可判断答案. 【详解】设非零向量与的夹角为，则，， 则 故选： 4．（24-25高一·广东深圳·课后作业）已知向量，且与的夹角为锐角，则实数满足 A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】由题意知，向量，且与的夹角为锐角， 则根据向量的数量积可知，，而,则， 同时不能共线且同向，则， 据此可得且， 本题选择C选项. 点睛：向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题． 5．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．12 C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据和向量的线性运算可得，再利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值. 【详解】连接， 因为，故，故， 故， 而三点共线，故， 故， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为4， 故选：C 6．（2024·湖南·二模）在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过D分别作的平行线交于，进而根据向量关系得到线段间的比例，最后得出面积比. 【详解】如图，因为，过D分别作的平行线交于， 则为的中点，为的靠近A的三等分点， 则，， 所以，∴. 故选：B. 7．（2025·河北·模拟预测）已知在三角形中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系得到的取值范围，再利用余弦定理表示出，最后根据平面向量数量积的定义计算可得； 【详解】解：因为，，所以，即，解得，由余弦定理，所以 ，因为，所以，所以，即； 故选：A 8．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，分别是的中点，且，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出相应的图形，要求的最小值，即要求出的最大值，由的关系，用表示出，由分别是的中点，在中，利用余弦定理表示出，在中，利用余弦定理表示出，并表示出，开方并分离出常数，由为三角形的内角，得到的范围，进而由三角函数的性质可得答案 【详解】解：因为，所以, 因为分别是的中点，所以， 在中，由余弦定理得， ， 在中，由余弦定理得， 所以 所以， 因为当取得最小值时，比值最大， 所以当时，，此时达到最大值，为 ， 则若恒成立，的最小值为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理、余弦函数的定义域与值域，以及不等式恒成立时满足的条件，余弦定理建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查计算能力，属于较难题 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·广东·期末）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（    ） A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解 C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解 【答案】ABC 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误； 对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误； 对于，因为为锐角且 ，所以三角形无解，故错误； 对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题. 10．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知条件分别求出向量的坐标，根据向量平行，垂直，夹角，模的坐标运算逐个判断可得结果. 【详解】因为，，所以解得， 选项A：因为，，所以， 即，故A正确； 选项B：由A选项可知，B错误； 选项C：因为，所以， ，所以，又，所以，故C正确； 选项D：由选项C可知，D错误； 故选：AC. 11．（24-25高一下·四川成都·期末）中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（    ） A． B．若有两解，则取值范围是 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．若为边上的中点，则的最大值为3 【答案】ABD 【分析】根据向量运算结合面积公式得到，A正确；根据，代入数据则可判断B正确；确定，计算，C错误；利用均值不等式结合余弦定理得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，故，故， ，所以，故A正确； 对选项B：若△ABC有两解，则，即，则，故B正确； 对选项C：为锐角三角形，则，，故， 则，，故，故C错误； 对选项D：若为边上的中点，则， 故， 又，， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故， 所以，故，正确； 故选：ABD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 ； 【答案】5 【分析】利用平面向量的数量积求模. 【详解】因为，所以. 由. 所以. 故答案为：5 13．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，照片中的建筑是某校的学生新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度.为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角，进而测得，.根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为 米. 【答案】 【分析】先在中利用正弦定理求出，再在中求解即可. 【详解】在中，因为，， 所以，又，所以， 即，解得； 在中，因为，， 所以， 即该宿舍楼的高度为米. 故答案为：. 14．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）在中，为边上一点，.若的面积为，则 ， . 【答案】 【分析】根据面积公式得到，，再利用余弦定理求，再求出，在中，用余弦定理可求. 【详解】解：，则， ， 故，. 根据余弦定理：， 故 在中，. 在中， 所以 故答案为：；. 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力；基础题. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一·全国·课后作业）已知向量满足，. （1）若的夹角为，求； （2）若，求与的夹角. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）结合向量数量积运算，直接根据向量模的表示计算即可； （2）结合向量垂直和向量夹角公式直接计算求解即可. 【详解】解：（1）由已知，得， 所以， 所以. （2）因为，所以. 所以，即， 所以. 又，所以，即与的夹角为. 16．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）在中，是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当时，请用，来表示，； （2）设，当时，求的值． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）结合图形，利用向量加，减，数乘的运算法则，即可求解；（2）首先利用基底和表示向量和，再利用，即可求的值． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ∵，∴， ∴， 即， 又∵，，∴， 故． 17．（24-25高三上·广东潮州·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）利用面积公式求出，再由余弦定理求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 所以，又，所以， 则，又，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理，即， 即，所以， 所以（负值已舍去）， 所以的周长为. 18．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)求周长的取值范围； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用余弦定理再结合基本不等式及两边之和大于第三边计算求解即可； （2）先应用余弦定理再结合基本不等式，最后应用面积公式计算即可. 【详解】（1）由余弦定理得， 即． 又，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以． 即． 所以，当且仅当时，等号成立． 即周长的取值范围为． （2）由余弦定理，得， 又，所以，即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即面积的最大值为． 19．（24-25高一下·广东广州·期末）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏.已知，，，. （1）若时，求护栏的长度（的周长）； （2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求； （3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）时，的面积取最小值为. 【分析】（1）在中求出，，再在中，利用余弦定理求解即可. （2）设（），利用三角形的面积公式可得，在中，利用正弦定理即可求解. （3）设，在中，利用正弦定理求出，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：（1）∵，，， ∴，∴，∴， ∴， 在中， 由余弦定理可得 ， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴护栏的长度（的周长）为； （2）设（）， 因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍， 所以，即， 在中，由，得， 从而，即， 由， 得，所以，即. （3）设，由（2）知， 又在中，由，得， 所以 ， 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.6平面向量及其应用综合检测1 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高一·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 B．若向量与不共线，则与都是非零向量 C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D．方向相反的两个非零向量必不相等. 2．（2025高一·全国·课后作业）已知正方形ABCD的边长为1，，，，则的模等于（    ） A．0 B．3 C． D． 3．（24-25高一·全国·课后作业）对于非零向量与，下列不等式中恒成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 4．（24-25高一·广东深圳·课后作业）已知向量，且与的夹角为锐角，则实数满足 A． B． C．且 D．且 5．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．12 C．4 D．16 6．（2024·湖南·二模）在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北·模拟预测）已知在三角形中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，分别是的中点，且，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·广东·期末）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（    ） A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解 C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解 10．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·四川成都·期末）中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（    ） A． B．若有两解，则取值范围是 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．若为边上的中点，则的最大值为3 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 ； 13．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，照片中的建筑是某校的学生新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度.为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角，进而测得，.根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为 米. 14．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）在中，为边上一点，.若的面积为，则 ， . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一·全国·课后作业）已知向量满足，. （1）若的夹角为，求； （2）若，求与的夹角. 16．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）在中，是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当时，请用，来表示，； （2）设，当时，求的值． 17．（24-25高三上·广东潮州·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)求周长的取值范围； (2)求面积的最大值． 19．（24-25高一下·广东广州·期末）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏.已知，，，. （1）若时，求护栏的长度（的周长）； （2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求； （3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$