精品解析：上海市嘉定区中科院上海实验学校2024-2025学年八年级上学期期中考数学试卷

2024学年第一学期八年级期中质量监测 数学试卷 （满分120分，考试时间90分钟） 一、选择题（本题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故选：D． 2. 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理；如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解： A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故符合题意 C、原方程整理得：，是一元一次方程，故不符合题意； D、是分式方程，故不符合题意． 故选：B． 3. 对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，，当时，，故A不一定成立； 当都小于0时，，故B不一定成立； ，故C不成立； ，故D成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键． 4. 反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图像经过点 C. 图像关于直线对称 D. 图像位于第二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．通过反比例图象上的点的坐标特征，可对B选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】解：由反比例函数的性质，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故A是不正确的，符合题意； 由点的坐标满足反比例函数，故B是正确的，不符合题意； 由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数的图象关于对称是正确的，故C是正确的，不符合题意； 由，双曲线位于二、四象限，故D是正确的，不符合题意； 故选：A． 5. 下列命题中，判断错误的是（ ） A. 所有定理都有逆命题 B. 对顶角相等的逆命题是真命题 C. 两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 D. 假命题的逆命题不一定是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可． 【详解】解：、所有定理都有逆命题，正确，本选项不符合题意； B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，本选项符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，本选项不符合题意； D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，因此原说法正确，不符合题意． 故选：B． 6. 如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系．设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为，而仓库的面积为75平方米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x米， 依题意得， 即， 故选：C． 二、填空题（本题共12题，每题3分，满分36分） 7. 化简：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 8. 函数的定义域是_____． 【答案】取一切实数 【解析】 【分析】本题考查二次根式成立的条件，函数的定义域，掌握二次根式的被开方数是非负数是本题的解题关键．根据二次根式有意义的条件，即根号下需要大于等于0，即可解答． 【详解】解：∵， ∴恒成立， ∴取一切实数， 故答案为：取一切实数． 9. 已知函数，则____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了函数求值，分式求值，把代入函数关系式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 10. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 将方程移项后因式分解，利用零乘积性质即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 由零乘积性质，得或， ∴或． 故答案为：或． 11. 在实数范围内分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．先令，求出，然后写出结果即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴在实数范围内分解因式：． 故答案为：． 12. 已知是正比例函数，则m＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义可得． 【详解】由正比例函数的定义可得：m+3≠0，m2-8=1， 则m=3． 故填3． 【点睛】解题关键是掌握正比例函数的定义条件，正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 13. 反比例函数图像经过、，且，那么的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的增减性得出，进而求出答案． 【详解】解：∵反比例函数图像经过、，且， ∴每个象限内，随的增大而减小， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性．反比例函数的增减性：当时，函数的图像在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大；当时，函数的图像在第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小．正确得出关于的不等式是解题关键． 14. 如图，将绕点逆时针旋转后得到，点在边上，那么_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，先由旋转性质得出对应角相等，再通过等腰三角形求出角度即可． 【详解】由旋转可知：，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点F．若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得， 可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 16. 甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：）与行驶的时间x（单位：）之间的函数关系如图所示．甲车出发20后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过追上甲车，则乙车的速度v（单位：）的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的速度，设甲车出发后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据t的取值范围，求出v的最小值即可． 【详解】解：根据图象，得甲车的速度为， 设甲车出发后乙车追上甲车，根据题意，． 则，得， ∴v随t的增大而减小． 当时，v取最小值，； 当时，v取最大值，， ∴， 故答案为：． 17. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n=___________． 【答案】或2##2或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 【详解】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：或2． 18. 在直角坐标平面内，函数（）的图象在同一个象限内经过两点，且．过点B作y轴的垂线，垂足为点C，连接，若，则点B的坐标是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，熟练掌握待定系数法求反比例函数的表达式，利用点的坐标表示出相关线段的长度，根据三角形的面积列出方程是解决问题的关键．首先求出反比例函数的表达式为，设点B的坐标为，过点A作于点D，则，由得，，由此解出m即可得点B的坐标． 【详解】解：∵函数的图象经过， ， ∴该函数的表达式为：， ∵点B在反比例函数的图象上， 设点B的坐标为， 轴于点C，则， 过点A作于点D，如图所示：   ∵点， ， ， ， ， ， 由，解得：， 由，解得：m=1， 当时，点B的坐标为， 当时，点B的坐标为． 综上所述：点B的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共8题，19-23题每题6分，24、25题每题8分，26题14分，满分60分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握二次根式性质，零指数幂运算法则，分母有理化法则，是解题的关键．根据二次根式性质，零指数幂运算法则，分母有理化法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除混合运算法则．根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 21. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练使用提公因式法是解题的关键． 将原方程右边化为，再运用提公因式法即可求解． 【详解】解： ∴或 解得：， 22. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题先化为一般式，再利用配方法求解． 【详解】解： ， 解得：． 23. 已知关于x的一元二次方程： （1）证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，设方程的两个实数根分别为（其中），若y是关于m的函数，且，求y关于m的函数解析式． 【答案】（1） 证明： ， ∴方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）先计算判别式得到，再根据非负数的意义及已知条件得到，然后根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根； （2）先解出方程的两个根，，判定根的大小，代入原式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴方程的两个根分别为和， ∵， 又∵， ∴， ∴． 24. 上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个售价应定为60元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 25. 如图，已知在中，，过点C和点B分别作与边上的高，垂足分别为点D、点E，两条高交于点O．求证：． 【答案】 证明：根据题意可得， 在和中， ， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 证明，推出，，得出，再证明即可解决问题； 【详解】略 26. 在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． （1）若点E是中点，求反比例函数的表达式； （2）连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； （3）当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）首先根据题意确定点P的坐标，根据点E是中点，求出点E的坐标，直接代入解析式求解即可； （2）当E在P右边时，作轴于M，设，则，然后分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可；当E在P左边时，作轴于M，设，则，分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当，时，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意， ∵点E是中点， ∴， ∴把代入得到， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：①如图2中，当E在P右边时，作轴于M． 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵E在P右边， ∴， ∴此时； ②如图3中，当E在P左边时，作轴于M． 设，则， 同理可得， 解得：或， ∵E在P左边， ∴， ∴此时； 综上所述，当或时，的面积为面积的2倍． 【小问3详解】 解：设，则， ∵当E在P点左边， ∴； ①如图，当，时，作于S点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当，时，作轴于T点， 则同①可证得， ∴， ∴， ∴； ③如图，当，时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴此时 综上，或或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合运用，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，理解反比例函数的基本性质，以及反比例函数图象上点坐标的特征是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期八年级期中质量监测 数学试卷 （满分120分，考试时间90分钟） 一、选择题（本题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图像经过点 C. 图像关于直线对称 D. 图像位于第二、四象限 5. 下列命题中，判断错误的是（ ） A. 所有定理都有逆命题 B. 对顶角相等的逆命题是真命题 C. 两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 D. 假命题的逆命题不一定是假命题 6. 如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共12题，每题3分，满分36分） 7. 化简：_______________． 8. 函数的定义域是_____． 9. 已知函数，则____． 10. 方程的根是________． 11. 在实数范围内分解因式：_________． 12. 已知是正比例函数，则m＝_____． 13. 反比例函数图像经过、，且，那么的取值范围是___． 14. 如图，将绕点逆时针旋转后得到，点在边上，那么_____． 15. 如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点F．若，则________． 16. 甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：）与行驶的时间x（单位：）之间的函数关系如图所示．甲车出发20后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过追上甲车，则乙车的速度v（单位：）的取值范围是_________． 17. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n=___________． 18. 在直角坐标平面内，函数（）的图象在同一个象限内经过两点，且．过点B作y轴的垂线，垂足为点C，连接，若，则点B的坐标是_____． 三、解答题（本题共8题，19-23题每题6分，24、25题每题8分，26题14分，满分60分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 解方程： 22. 解方程： 23. 已知关于x的一元二次方程： （1）证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，设方程的两个实数根分别为（其中），若y是关于m的函数，且，求y关于m的函数解析式． 24. 上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 25. 如图，已知在中，，过点C和点B分别作与边上的高，垂足分别为点D、点E，两条高交于点O．求证：． 26. 在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． （1）若点E是中点，求反比例函数的表达式； （2）连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； （3）当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $