第二讲 因数和倍数（单元讲义）-2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版）学生版+教师版

2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版） 第2讲 因数和倍数 （导图+知识精讲+易错点拨+13大考点讲练+易错压轴练+难度分层练） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 3 知识点01：因数和倍数 3 知识点02：2、5、3的倍数的特征 3 知识点03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） 3 知识点04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） 4 易错点拨 查漏补缺 4 考点讲练 明确目标 4 考点一：因数和倍数的认识 4 考点二：找一个数的因数及因数的特征 5 考点三：找一个数的倍数及倍数的特征 5 考点四：根据因数的特征解决问题 5 考点五：根据倍数的特征解决问题 6 考点六：倍数和因数的综合应用 6 考点七：2、5的倍数特征 7 考点八：3的倍数特征 7 考点九：奇数与偶数的认识 7 考点十：2、3、5的倍数特征综合 8 考点十一：运算性质（奇数和偶数） 8 考点十二：质数与合数的认识 8 考点十三：质数与合数的综合应用 9 易错真题 培优必刷 9 压轴专练 冲刺拔尖 9 培优巩固 拔尖冲刺 11 基础夯实优选题专练 14 培优优选题专练 15 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：因数与倍数 1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。 2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数) 一个数的因数的求法：成对地按顺序找 3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数 知识点02：2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。 2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） 　　(1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1， 　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0. (2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数 偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数 　　(3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0) 　　(4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 (5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。 知识点04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数) 　 　合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)， 　　(2)最小的质数是2 最小的合数是4 　　(3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。 　　(4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数 　　(5)在自然数里，不是奇数的质数只有2 　　(6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数 (7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。 1. 如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数与倍数的关系。 2. 因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。 3. 不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。 4. 无限多的两种数量不能比较多少。 5. 1既不是质数，也不是合数。 6. 最小的质数是2，最小的合数是4。 7. 3的倍数也可以是偶数。 8. 自然数（0除外）按照因数的个数可以分为质数、合数和1三类。 9. 2是偶数中唯一的质数。 考点一：因数和倍数的认识 【精讲题】（23-24五年级下·山东济宁·期末）《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人经历了“九九八十一难”。81的因数有( )，81的最小倍数是( )。 【精练题01】（23-24五年级下·重庆北碚·期末）在7的倍数中，最大的两位数是( )；一个数只有a、5、7、35四个因数，这个数是( )。 【精练题02】（23-24五年级下·河北承德·期末）1是1、2、3、4、5，…这些自然数的因数。( )（判断对错） 考点二：找一个数的因数及因数的特征 【精讲题】（23-24五年级下·福建莆田·期末）一个自然数，它的因数从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a＋f＝100，那么e＋d＝( )。 【精练题01】（23-24五年级下·浙江绍兴·期末）同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长( )cm。 【精练题02】（23-24五年级下·福建莆田·期末）一个自然数，它的因数从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a＋f＝100，那么c＋d＝( )。 考点三：找一个数的倍数及倍数的特征 【精讲题】（23-24五年级下·北京丰台·期末）8的最小倍数是( )。 【精练题01】（23-24五年级下·河北承德·期末）一个数的最大因数是15，最小倍数也是15，这个数是( )。 【精练题02】（23-24五年级下·内蒙古通辽·期末）50以内数中7的倍数一共有( )个。 考点四：根据因数的特征解决问题 【精讲题】（23-24五年级下·北京通州·期末）“活力”舞蹈队在排练时都要排成每行人数相等的队形（至少两行），舞蹈队的人数不可能是（    ）。 A．87人 B．78人 C．71人 D．45人 【精练题01】（22-23五年级下·山东菏泽·期中）有9个小学生排成人数均等的队伍，只有一种排法。( )（判断对错） 【精练题02】（23-24五年级下·全国·假期作业）小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 考点五：根据倍数的特征解决问题 【精讲题】（23-24五年级下·河北唐山·期中）五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（    ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 【精练题01】（23-24五年级下·河南南阳·期中）4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【精练题02】（23-24五年级下·甘肃武威·期中）金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 考点六：倍数和因数的综合应用 【精讲题】（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【精练题01】（23-24五年级下·河南信阳·期中）如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b 【精练题02】（23-24五年级下·全国·课后作业）小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 考点七：2、5的倍数特征 【精讲题】（23-24五年级下·江西吉安·期末）一个三位数，它既是2和5的倍数，又有因数3，这个三位数最小是（    ）。 A．100 B．105 C．120 【精练题01】（22-23五年级下·湖北黄石·期末）2和3的倍数中，最小的三位数是( )，2、3、5的倍数中，最大的三位数是( )。 【精练题02】（23-24五年级下·湖南邵阳·期末）要使34□同时是2和5的倍数，□里可以填( )，要使37□同时是2和3的倍数，□里最大可以填( )。 考点八：3的倍数特征 【精讲题】（23-24五年级下·四川德阳·期末）要使三位数4□2是3的倍数，共有（    ）种填法。 A．6 B．5 C．4 【精练题01】（22-23五年级下·河北邢台·期中）已知一个四位数65□1是3的倍数，□中的数有( )种填法。 【精练题02】（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）过春节时，发红包寓意着喜庆、吉祥，亦是长辈向晚辈表达美好祝愿的方式。妈妈对琳琳说：“我给你发一个100元以内的红包，钱数既是3的倍数，又是11的倍数，你猜猜我发的红包最大是( )元钱。” 考点九：奇数与偶数的认识 【精讲题】（23-24五年级下·重庆沙坪坝·期末）有4张数字卡片，上面分别写着40，16，5，2，从中任选2张卡片，把上面的数字相加求和，和是奇数的一共有（    ）种不同的选法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【精练题01】（23-24五年级下·云南曲靖·期末）若两个连续奇数的和是32，则这两个奇数分别是( )和( )。 【精练题02】（23-24五年级下·河北廊坊·期末）如果a是偶数，b是奇数，那么2a＋b一定是奇数。( )（判断对错） 考点十：2、3、5的倍数特征综合 【精讲题】（23-24五年级下·湖南邵阳·期末）既有因数2，又有因数3，同时又是5的倍数的数是（    ）。 A．320 B．540 C．405 【精练题01】（23-24五年级下·河南漯河·期中）421减去（    ），就能被2、3、5分别整除。 A．1 B．11 C．21 【精练题02】（23-24五年级下·四川德阳·期末）下面的数，既是3的倍数，又是5的倍数的是（    ）。 A．20 B．36 C．45 考点十一：运算性质（奇数和偶数） 【精讲题】（23-24五年级下·河南信阳·期末）奇数和奇数的和一定是（    ），两个质数的积一定是（    ）。 A．奇数；合数 B．偶数；合数 C．合数；偶数 D．无法确定；无法确定 【精练题01】（23-24五年级下·河南信阳·期末）有27名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，那么乙队人数一定是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 【精练题02】（23-24五年级下·河北承德·期末）50名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，则乙队人数为( )数；如果甲队人数为偶数，则乙队人数为( )数。 考点十二：质数与合数的认识 【精讲题】（23-24五年级下·广东云浮·期末）“第33届奥运会于7月26日在法国巴黎开幕，8月11日闭幕。”这句话出现的数中，质数有( )，合数有( )；其中( )是( )的因数。 【精练题01】（22-23五年级下·湖南益阳·期末）一个七位数，它个位上的数是最小的合数，百位上的数是最大的一位数，最高位上的数既是质数又是偶数，其余数位上的数均是0，这个数写作( )，读作( )。 【精练题02】（23-24五年级下·河南信阳·期末）在1～10各数中，质数有( )；合数有( )；既不是质数也不是合数的有( )；既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。 考点十三：质数与合数的综合应用 【精讲题】（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 【精练题01】（23-24五年级下·福建莆田·期中）在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝___”这道题时，乐乐是这样想的：因为( )＋( )＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数，那么a和b中一定有一个是质数( )。根据以上思考，乐乐算出a＋b的和是( )。 【精练题02】（23-24五年级下·湖北十堰·期中）妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 1．（2024秋•栖霞区期末）60个同学分组活动，下面第　　种分法得到的组数最多． A．每6人分一组 B．每4人分一组 C．每3人分一组 2．（2024秋•高新区期中）下面四个数都是自然数，其中是任意自然数，等于0，下列各数中既是2的倍数，又是3的倍数的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•枣强县期末）一袋水果糖，总数不到40块，平均分给7个小朋友，还余3块，这袋水果糖最多有　　块． A．40 B．39 C．38 4．（2024秋•石楼县期中）在横线上填上合适的质数。 　　　　 5．（2023秋•洋县期末）一个数既是15的因数，又是15的倍数，这个数是　 　． 6．（2024春•信阳期末）两个质数的和是22，积是85，这两个质数是 　　和 　　． 7．（2024•东港市）一个自然数越大，它的因数的个数就越多． 　　．（判断对错） 8．（2023秋•港南区期末）任何一个非零自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身．　 　．（判断对错） 9．（2024•潮南区）因为，所以4和5都是因数，20是倍数． 　　．（判断对错） 10．（2023春•汉阴县期中）新源超市新进一批不同包装的牛奶，每箱牛奶价格既是2的倍数又是3的倍数，还是5的倍数。如果最贵的牛奶价格低于100元，最贵多少元？ 11． （2022春•鹿邑县期中）中国第一次参加奥运会的年份是一个四位数。千位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数是一位数中最大的合数，十位上的数的最小倍数是3，个位上的数是最小的质数。中国第一次参加奥运会是哪一年？ 12． （2022春•青岛期中）小甜、小婷、小颖三人今年的年龄的积是630，其中小婷比小甜大2岁，小颖比小婷大1岁，她们三人今年分别是多少岁？ 13． （2024春•郧阳区期中）食品店买来85个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 14．（2023春•阳原县期末）李叔叔的果园每行树的棵数都是相等的，下面是几位小朋友各自数出的总棵数，其中只有一个小朋友数的对，你知道他是谁吗？为什么？ 李刚：73棵程鸣数77棵王冰：79棵赵强：71棵． 15．（2024秋•新罗区期末）永定土楼既有苏州园林的印迹，也有古希腊建筑的特点，是中西合璧的建筑典范，每年吸引无数国内外游客。2024年10月1日下午的游客量是上午的2倍，不可以表示上午和下午游客量关系的是　　 A． B． C． D． 16．（2024秋•芝罘区期末）育才小学开展劳动实践活动比赛，下表是五年级四个班包饺子数量情况表示被盖住的数字），这四个班包饺子的总数一定是　　 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法判断 17．（2024秋•历下区期末）用5、6、7三个数字任意组成一个三位数，这个三位数一定是　　 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法确定 18．（2024春•夷陵区期中）是一个三位数，已知是10以内的最大质数，比最小的合数多1，且是3的倍数，那么可能是　　 A．1、4、7 B．2、5、8 C．3、6、9 D．0、3、6、9 19．（2024秋•西安期中）文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进 　　支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进 　　支。 20．（2024秋•雁塔区期中）一个两位数，它只有三个因数，这三个因数从小到大来排，排在中间的是7，这个两位数是 　　。 21．（2023春•管城区期末）（1）爸爸去超市买回一盒玩具积木，一共花了2□元，这个钱数既是2的倍数，还含有因数3，这盒积木最少 　　元。 （2）乐乐从积木中拿出来几个小正方体，他先摆出如下面左图所示的几何体，然后又增加一个同样的小正方体，这时从三个方向看到的图形如下面右图。 ①原来的几何体是用 　　个小正方体摆成的。 ②新增加的小正方体应该放在 　　号的上面。 22．（2024春•三门县期中）猜猜我是谁． （1）我是6的倍数，又是4的倍数，别忘了我还是12的因数．　 　 （2）我们两个的和是6，积是8，质数是　 　，合数是　 　． （3）我们两个的和是18，积是77，这两个质数分别是　 　和　 　． （4）我们两个的和是20，差是6，这两个质数分别是　 　和　 　． 23．（2023•拱墅区）三个连续自然数的和必定是3的倍数。 　　（判断对错） 24．1是任何自然数除外）的因数． 　　（判断对错） 25．（2022秋•平泉市期末）下面4个盒子中分别装着乒乓球和网球，它们装的个数分别是19个、9个、7个、28个。乒乓球总个数是网球的6倍，这4盒中只有一盒是网球。哪一盒是网球？ 26． （2019•温州）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？ 27． （2024秋•南关区校级期中）植树节到了，何老师带领五（2）班的同学去植树，一共植了123棵，已知何老师植树的棵数和每名同学植树的棵数相等．这个班有多少名学生？每名同学植树多少棵？ 28． （2024春•永兴县校级期中）五（1）班6名同学去给小树苗浇水，小树苗不到30棵，他们发现每人浇水棵数相同，这批小树苗可能有多少棵？ 29． （2023春•通榆县期中）把40个苹果装在篮子里，每个篮子装的苹果个数同样多．有几种装法？每种装法各需要几个篮子？ 30．（2022春•双峰县期末）新图书馆开馆了，小红每隔3天去图书馆一次，小灵每隔4天去一次，请问小红和小灵某天在图书馆相遇后，请问经过几天她们有可能会在图书馆再次相遇？ 基础夯实优选题专练 1．（23-24五年级下·江西九江·期末）张阿姨买了3箱同样的车厘子，每箱车厘子的价格都是整数，且没有任何优惠，张阿姨可能花了（    ）。 A．260元 B．264元 C．268元 2．（23-24五年级下·河北唐山·期末）一个数是36的因数，又是4的倍数，下面各数中符合条件的是（    ）。 A．9 B．12 C．16 D．24 3．（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）要使三位数42□能被2、3、5分别整除，则□里有（    ）种填法。 A．1 B．2 C．3 4．（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）用0、4、5三张数字卡片组成的三位数中，偶数有( )个，组成的最小偶数是( )。 5．（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），那么m是n的( )数，n是m的( )数。 6．（22-23五年级下·辽宁鞍山·期末）因为45÷9＝5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( )。 7．（22-23五年级下·湖北荆州·期末）因为5.7÷1.9＝3，所以5.7是1.9的倍数。( ) 8．（23-24五年级下·河南漯河·期中）在9÷6＝1.5的算式中，9是6的倍数。( ) 9．（22-23五年级下·湖南衡阳·期中）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36                          35和50 10． （23-24五年级下·湖南湘西·期中）小明的电话号码是一个七位数，并且同时是2、3、5的倍数，前三位是523，且这个七位数是满足以上条件的最小的数，你知道小明家的电话号码是多少吗？ 培优优选题专练 11．（23-24五年级下·重庆忠县·期末）三个连续偶数中，最小的一个数为2n，则这三个偶数的和是（    ）。 A．6n B．6n＋2 C．6n＋4 D．6n＋6 12．（23-24五年级下·河南安阳·期末）a是不等于零的自然数，2a＋1一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 13．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）下列说法中正确的有（    ）个。 ①个位上是3、6、9的数都是3的倍数；②两个奇数的和一定是奇数； ③420既是2的倍数又是5的倍数；④两个质数的积一定是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 14．（23-24五年级下·重庆忠县·期末）妈妈的手机锁屏密码是六位数且不含0。从左往右依次如下所述：①既是偶数又是质数；②只有一个因数；③有一个倍数是7；④既是奇数又是合数；⑤最大因数是6；⑥最小的质数。妈妈的手机锁屏密码是( )。 15．（22-23五年级下·湖北荆州·期末）李叔叔的手机开机密码是一个四位数abcd，a是最小的奇数，b是最小的偶数，c是10以内最大的质数，d是最小的合数，这个密码是( )。 16．（23-24五年级下·河南信阳·期末）一个六位数，各个数位上的数字从低位到高位依次是最小的偶数，最小的奇数，最小的质数，最小的合数，既是质数又是偶数，最大的一位数，这个六位数是( )。 17．（23-24五年级下·河南信阳·期末）在整数中，可以说一个数不是奇数就是偶数，也可以说不是质数就是合数。( )（判断对错） 18．（23-24五年级下·重庆潼南·期末）将18写成质数相乘的形式是36＝2×2×9。( )（判断对错） 19．（23-24五年级下·全国·课后作业）下面的3组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ （1）72和8        （2）20和140        （3）17和51 20．（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版） 第2讲 因数和倍数 （导图+知识精讲+易错点拨+13大考点讲练+易错压轴练+难度分层练） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 3 知识点01：纳税和利息： 3 知识点02：2、5、3的倍数的特征 3 知识点03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） 3 知识点04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） 4 易错点拨 查漏补缺 4 考点讲练 明确目标 4 考点一：因数和倍数的认识 4 考点二：找一个数的因数及因数的特征 5 考点三：找一个数的倍数及倍数的特征 6 考点四：根据因数的特征解决问题 7 考点五：根据倍数的特征解决问题 8 考点六：倍数和因数的综合应用 10 考点七：2、5的倍数特征 12 考点八：3的倍数特征 13 考点九：奇数与偶数的认识 14 考点十：2、3、5的倍数特征综合 15 考点十一：运算性质（奇数和偶数） 16 考点十二：质数与合数的认识 17 考点十三：质数与合数的综合应用 18 易错真题 培优必刷 20 压轴专练 冲刺拔尖 24 培优巩固 拔尖冲刺 31 基础夯实优选题专练 31 培优优选题专练 34 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：纳税和利息： 知识点01：因数与倍数 1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。 2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数) 一个数的因数的求法：成对地按顺序找 3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数 知识点02：2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。 2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） 　　(1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1， 　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0. (2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数 偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数 　　(3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0) 　　(4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 (5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。 知识点04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数) 　 　合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)， 　　(2)最小的质数是2 最小的合数是4 　　(3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。 　　(4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数 　　(5)在自然数里，不是奇数的质数只有2 　　(6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数 (7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。 1. 如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数与倍数的关系。 2. 因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。 3. 不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。 4. 无限多的两种数量不能比较多少。 5. 1既不是质数，也不是合数。 6. 最小的质数是2，最小的合数是4。 7. 3的倍数也可以是偶数。 8. 自然数（0除外）按照因数的个数可以分为质数、合数和1三类。 9. 2是偶数中唯一的质数。 考点一：因数和倍数的认识 【精讲题】（23-24五年级下·山东济宁·期末）《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人经历了“九九八十一难”。81的因数有( )，81的最小倍数是( )。 【答案】 1、3、9、27、81 81 【思路点拨】找一个数的因数，可以应用列举法、列乘法算式法。一个数的最小倍数是它本身，据此解答。 【规范解答】，， 所以81的因数有1、3、9、27、81；81的最小倍数是81。 【精练题01】（23-24五年级下·重庆北碚·期末）在7的倍数中，最大的两位数是( )；一个数只有a、5、7、35四个因数，这个数是( )。 【答案】 98 35 【思路点拨】最大的两位数是99，用99除以7求出商和余数，用99减去余数即是所求；一个数的因数最小是1，最大是它本身。据此解答。 【规范解答】 因此，在7的倍数中，最大的两位数是98； 一个数只有a、5、7、35四个因数，即该数最小的因数是a，最大的因数是35，因此，这个数是35。 【精练题02】（23-24五年级下·河北承德·期末）1是1、2、3、4、5，…这些自然数的因数。( ) 【答案】√ 【思路点拨】一个自然数能分解为两个自然数相乘，则这些自然数就是这个数的因数。每一个自然数都可以分解为1乘这个数本身，即1是每一个自然数的因数。据此可得出答案。 【规范解答】1是每一个自然数的因数，则1是1、2、3、4、5，…这些自然数的因数。题干表述正确。 故答案为：√ 考点二：找一个数的因数及因数的特征 【精讲题】（23-24五年级下·福建莆田·期末）一个自然数，它的因数从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a＋f＝100，那么e＋d＝( )。 【答案】44 【思路点拨】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因此a＝1，f＝100－1，据此确定这个自然数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。找出这个自然数的所有因数，从小到大排列，据此确定e和d，求和即可。 【规范解答】100－1＝99 99＝1×99＝3×33＝9×11 99的因数有：1、3、9、11、33、99 e＝33、d＝11 e＋d＝33＋11＝44。 【精练题01】（23-24五年级下·浙江绍兴·期末）同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长( )cm。 【答案】26 【思路点拨】根据题意可知，两个长方形的周长相同，面积不同；长方形长和宽的数值都是其面积数值的因素，求出42和36的因数对（写成乘法形式）中，找出“长＋宽”相等的组合，一组“长＋宽”就是绳子长度的一半，再乘2，即可解答。 【规范解答】42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7 36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9 6＋7＝4＋9＝13 13×2＝26（cm） 同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长26cm。 【精练题02】（23-24五年级下·福建莆田·期末）一个自然数，它的因数从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a＋f＝100，那么c＋d＝( )。 【答案】20 【思路点拨】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，则a＝1，f就是这个自然数，根据a＋f＝100，求出这个数，再用除法求出这个数的所有因数，并按照从小到大的项序排列，即可求c和d的值，据此即可解答。 【规范解答】由分析可知，a＝1，则f＝100－1＝99 99÷1＝99 99÷3＝33 99÷9＝11 99的因数有1、3、9、11、33、99， c＋d＝9＋11＝20 考点三：找一个数的倍数及倍数的特征 【精讲题】（23-24五年级下·北京丰台·期末）8的最小倍数是( )。 【答案】8 【思路点拨】一个数的倍数就是这个数分别乘1、2、3、4……所得的数。根据倍数的定义，一个数的最小的倍数是它本身，据此解答。 【规范解答】由分析得：8的最小倍数是8。 【精练题01】（23-24五年级下·河北承德·期末）一个数的最大因数是15，最小倍数也是15，这个数是( )。 【答案】15 【思路点拨】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，一个数的最大因数是15，最小倍数也是15，这个数是15。 【精练题02】（23-24五年级下·内蒙古通辽·期末）50以内数中7的倍数一共有( )个。 【答案】7 【思路点拨】找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【规范解答】50以内数中7的倍数：7，14，21，28，35，42，49。 50以内数中7的倍数一共有7个。 考点四：根据因数的特征解决问题 【精讲题】（23-24五年级下·北京通州·期末）“活力”舞蹈队在排练时都要排成每行人数相等的队形（至少两行），舞蹈队的人数不可能是（    ）。 A．87人 B．78人 C．71人 D．45人 【答案】C 【思路点拨】因数是指整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数，并且没有余数，我们就说b是a的因数。要排成至少2行的队形，说明舞蹈队的人数的因数至少有3个。据此解题。 【规范解答】A．87的因数有1、3、29和87，所以87人可以排成每行3人或每行29人； B．78的因数有1、2、3、6、13、26、39和78，所以78人可以排成每行2人或每行3人或每行6人或每行13人或每行26人或每行39人； C．71的因数只有1和71，所以71只能排成每行1人或每行71人，每行1人换个角度看也就是每行71人，所以只有1行，不符合题意； D．45的因数有1、3、5、9、15和45，所以45人可以排成每行3人或每行5人或每行9人或每行15人。 所以，舞蹈队的人数不可能是71人。 故答案为：C 【精练题01】（22-23五年级下·山东菏泽·期中）有9个小学生排成人数均等的队伍，只有一种排法。( ) 【答案】× 【思路点拨】把9写成两个整数相乘的形式，其中一个因数就是排数，另一个因数就是每排的人数，据此判断。 【规范解答】 即9个小学生排成人数均等的队伍，可以排成1排，每排9人，或排成3排，每排3人，或排成9排，每排1人。所以原题说法错误。 故答案为：× 【精练题02】（23-24五年级下·全国·假期作业）小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 【答案】小明14岁；爸爸42岁 【思路点拨】列举出42的因数、2的倍数、7的倍数，从2、7的倍数中找出既是2的倍数又是7的倍数的数，再从中找出既是14的倍数又是42的因数的数，即可求解。 【规范解答】42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42； 2的倍数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…； 7的倍数：7，14，21，28，35，42，49，56，…； 既是2的倍数又是7的倍数有：14，28，42，…； 其中既是14的倍数，又是42的因数的数是42。 所以小明今年14岁，爸爸今年是42岁。 答：小明今年14岁，爸爸今年42岁。 考点五：根据倍数的特征解决问题 【精讲题】（23-24五年级下·河北唐山·期中）五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（    ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 【答案】B 【思路点拨】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。每一列的人数×列数＝全班总人数，如果每一列都刚好是13人，那么全班总人数一定是13的倍数。据此解答。 【规范解答】A．45除以13有余数，则45不是13的倍数，此选项不符合题意； B．52÷13＝4，则52是13的倍数，五年级可能有52人； C．55除以13有余数，则55不是13的倍数，此选项不符合题意； D．64除以13有余数，则64不是13的倍数，此选项不符合题意。 故答案为：B 【精练题01】（23-24五年级下·河南南阳·期中）4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【思路点拨】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【规范解答】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 【精练题02】（23-24五年级下·甘肃武威·期中）金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【思路点拨】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【规范解答】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 考点六：倍数和因数的综合应用 【精讲题】（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【答案】D 【思路点拨】一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。本题就是将四个选项的数字的因数都找出来，再将除了它自身以外的全部因数相加求和，看是否与自身相等，据此判断可得出答案。 【规范解答】A．10的因数有1、2、5、10，非本身的因数相加： 1＋2＋5 ＝3＋5 ＝8 结果不是10，则10不是完全数； B．12的因数有1、2、3、4、6、12，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6 ＝3＋3＋4＋6 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16 结果不是12，则12不是完全数； C．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12 ＝3＋3＋4＋6＋8＋12 ＝6＋4＋6＋8＋12 ＝10＋6＋8＋12 ＝16＋8＋12 ＝24＋12 ＝36 结果不是24，则24不是完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加： 1＋2＋4＋7＋14 ＝3＋4＋7＋14 ＝7＋7＋14 ＝14＋14 ＝28 结果是28，则28是完全数。 故答案为：D 【精练题01】（23-24五年级下·河南信阳·期中）如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b 【答案】C 【思路点拨】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，据此解答。 【规范解答】a的最大因数是a；b的最小倍数是b； a的最大因数等于b的最小倍数，则a＝b。 如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较，a＝b。 故答案为：C 【精练题02】（23-24五年级下·全国·课后作业）小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【答案】爸爸：42岁；小强：14岁 【思路点拨】公因数只有1的两个非零自然数为互质数，所以2和7为互质数，即最小公倍数为互质数的乘积，所以小强年龄的最小公倍数就是2和7相乘即14。14的倍数有14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小强的倍数，也是42的因数，所以爸爸和小强的年龄同时是2，7的倍数也是42的因数，小强的年龄不能比爸爸大，所以42是爸爸的年龄，14是小强的年龄。 【规范解答】因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小强今年14岁。 答：爸爸今年42岁，小强今年14岁。 考点七：2、5的倍数特征 【精讲题】（23-24五年级下·江西吉安·期末）一个三位数，它既是2和5的倍数，又有因数3，这个三位数最小是（    ）。 A．100 B．105 C．120 【答案】C 【思路点拨】同时是2和5的倍数，个位数字一定是0，又有因数3即是3的倍数，则各个数位上的数字的和是3的倍数，还要求是最小的三位数，让百位数字是1，用3－1＝2，则十位数字是2。据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 一个三位数，它既是2和5的倍数，又有因数3，这个三位数最小是120。 故答案为：C 【精练题01】（22-23五年级下·湖北黄石·期末）2和3的倍数中，最小的三位数是( )，2、3、5的倍数中，最大的三位数是( )。 【答案】 102 990 【思路点拨】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数；2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】2和3的倍数中，最小的三位数是102；2、3、5的倍数中，最大的三位数是990。 【精练题02】（23-24五年级下·湖南邵阳·期末）要使34□同时是2和5的倍数，□里可以填( )，要使37□同时是2和3的倍数，□里最大可以填( )。 【答案】 0 8 【思路点拨】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】（1）要使34□同时是2和5的倍数，□里可以填0； （2）先考虑37□是2的倍数，则□里可以是0、2、4、6、8； 3＋7＋0＝10，不是3的倍数； 3＋7＋2＝12，是3的倍数； 3＋7＋4＝14，不是3的倍数； 3＋7＋6＝16，不是3的倍数； 3＋7＋8＝18，是3的倍数； 8＞2 所以，要使37□同时是2和3的倍数，□里最大可以填8。 考点八：3的倍数特征 【精讲题】（23-24五年级下·四川德阳·期末）要使三位数4□2是3的倍数，共有（    ）种填法。 A．6 B．5 C．4 【答案】C 【思路点拨】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】4＋2＝6，要使三位数4□2是3的倍数，□里可以填0、3、6、9，共有4种填法。 故答案为：C 【精练题01】（22-23五年级下·河北邢台·期中）已知一个四位数65□1是3的倍数，□中的数有( )种填法。 【答案】4 【思路点拨】根据3的倍数的特征，各数位上的数的和是3的倍数，因，，其它三个数位上的数的和是3的倍数，说明□里的数也应是3的倍数或0，据此解答。 【规范解答】据分析可知，□里可填0、3、6、9。 因此，□中的数有4种填法。 【精练题02】（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）过春节时，发红包寓意着喜庆、吉祥，亦是长辈向晚辈表达美好祝愿的方式。妈妈对琳琳说：“我给你发一个100元以内的红包，钱数既是3的倍数，又是11的倍数，你猜猜我发的红包最大是( )元钱。” 【答案】99 【思路点拨】先找出100以内11的倍数，根据3的倍数的特征，各数位上数字的和是3的倍数，在其中找出3的倍数，作比较选出最大的即可解答。 【规范解答】100以内11的倍数有：11、22、33、44、55、66、77、88、99。 其中是3的倍数的是：33、66、99。 所以，100元以内的红包，钱数既是3的倍数，又是11的倍数，最大是99元钱。 考点九：奇数与偶数的认识 【精讲题】（23-24五年级下·重庆沙坪坝·期末）有4张数字卡片，上面分别写着40，16，5，2，从中任选2张卡片，把上面的数字相加求和，和是奇数的一共有（    ）种不同的选法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】根据奇数的意义：不能被2整数的数叫做奇数；据此从中选出2张卡片，求出它们的和，进而解答。 【规范解答】40＋16＝56，和不是奇数； 40＋5＝45；和是奇数； 40＋2＝42；和不是奇数； 16＋5＝21，和是奇数； 16＋2＝18；和不是奇数； 5＋2＝7；和是奇数。 和是奇数的一共有3种不同选法。 有4张数字卡片，上面分别写着40，16，5，2，从中任选2张卡片，把上面的数字相加求和，和是奇数的一共有3种不同选法。 故答案为：C 【精练题01】（23-24五年级下·云南曲靖·期末）若两个连续奇数的和是32，则这两个奇数分别是( )和( )。 【答案】 15 17 【思路点拨】不能被2整除的数叫做奇数，能被2整除的数叫做偶数；相邻的两个奇数相差2，根据和差公式，较小数＝（和－差）÷2，据此即可求出较小数，再把较小数加2即可求出较大数。 【规范解答】（32－2）÷2 ＝30÷2 ＝15 15＋2＝17 若两个连续奇数的和是32，则这两个奇数分别是15和17。 【精练题02】（23-24五年级下·河北廊坊·期末）如果a是偶数，b是奇数，那么2a＋b一定是奇数。( ) 【答案】√ 【思路点拨】偶数：像0，2，4，6，8都是2的倍数的数叫做偶数。奇数：像1，3，5，7不是2的倍数的数叫做奇数。 如果a是偶数，说明2a也是偶数，根据偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝奇数，据此解答。 【规范解答】由分析可得：如果a是偶数，则2a也是偶数，b是奇数，那么2a＋b一定是奇数。 故答案为：√ 考点十：2、3、5的倍数特征综合 【精讲题】（23-24五年级下·湖南邵阳·期末）既有因数2，又有因数3，同时又是5的倍数的数是（    ）。 A．320 B．540 C．405 【答案】B 【思路点拨】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】A．320的个位上是0，则320既是2的倍数，又是5的倍数； 3＋2＋0＝5，5不是3的倍数，则320不是3的倍数，不符合题意； B．540的个位上是0，则540既是2的倍数，又是5的倍数； 5＋4＋0＝9，9是3的倍数，则540是3的倍数，符合题意； C．405的个位上是5，则405不是2的倍数，不符合题意。 故答案为：B 【精练题01】（23-24五年级下·河南漯河·期中）421减去（    ），就能被2、3、5分别整除。 A．1 B．11 C．21 【答案】A 【思路点拨】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此逐项分析解答。 【规范解答】A．421－1＝420，4＋2＝6，420是2、3、5的倍数。 B．421－11＝410，4＋1＝5，410不是3的倍数，排除； C．421－21＝400，400不是3的倍数，排除。 421减去1，就能被2、3、5分别整除。 故答案为：A 【精练题02】（23-24五年级下·四川德阳·期末）下面的数，既是3的倍数，又是5的倍数的是（    ）。 A．20 B．36 C．45 【答案】C 【思路点拨】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】A．20是5的倍数，不是3的倍数，排除； B．3＋6＝9，36是3的倍数，不是5的倍数，排除； C．4＋5＝9，45既是3的倍数，又是5的倍数。 既是3的倍数，又是5的倍数的是45。 故答案为：C 考点十一：运算性质（奇数和偶数） 【精讲题】（23-24五年级下·河南信阳·期末）奇数和奇数的和一定是（    ），两个质数的积一定是（    ）。 A．奇数；合数 B．偶数；合数 C．合数；偶数 D．无法确定；无法确定 【答案】B 【思路点拨】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数。据此判断即可。 【规范解答】根据分析可知，奇数和奇数的和一定是偶数，两个质数的积一定是合数。例如：3＋5＝8，2×3＝6，8是偶数，6是合数。 故答案为：B 【精练题01】（23-24五年级下·河南信阳·期末）有27名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，那么乙队人数一定是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 【答案】A 【思路点拨】根据偶数与奇数的性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，据此判断即可。 【规范解答】因为27是奇数，甲队人数＋乙队人数＝27，如果甲队人数为奇数，那么乙队人数一定是偶数。 故答案为：A 【精练题02】（23-24五年级下·河北承德·期末）50名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，则乙队人数为( )数；如果甲队人数为偶数，则乙队人数为( )数。 【答案】 奇 偶 【思路点拨】奇数是指不能被2整除的数，偶数是指能被2整除的数。根据奇数、偶数的运算定理，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数。据此可得出答案。 【规范解答】50名学生分为甲、乙两队，50为偶数。如果甲队人数为奇数，则奇数＋奇数＝偶数，则乙队人数为奇数；如果甲队人数为偶数，则偶数＋偶数＝偶数，乙队人数为偶数。 考点十二：质数与合数的认识 【精讲题】（23-24五年级下·广东云浮·期末）“第33届奥运会于7月26日在法国巴黎开幕，8月11日闭幕。”这句话出现的数中，质数有( )，合数有( )；其中( )是( )的因数。 【答案】 7、11 33、26、8 11 33 【思路点拨】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此判断每个数即可。 【规范解答】根据分析可知，质数有7、11；合数有33、26、8；因为33能被11整除，所以11是33的因数。 【精练题01】（22-23五年级下·湖南益阳·期末）一个七位数，它个位上的数是最小的合数，百位上的数是最大的一位数，最高位上的数既是质数又是偶数，其余数位上的数均是0，这个数写作( )，读作( )。 【答案】 2000904 二百万零九百零四 【思路点拨】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定各数位上的数，写出这个数；整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，读完万级读一个万字，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个“零”。 【规范解答】最小的合数是4，最大的一位数是9，2是质数中唯一的偶数，这个数是2000904；2000904读作：二百万零九百零四。 一个七位数，它个位上的数是最小的合数，百位上的数是最大的一位数，最高位上的数既是质数又是偶数，其余数位上的数均是0，这个数写作2000904，读作二百万零九百零四。 【精练题02】（23-24五年级下·河南信阳·期末）在1～10各数中，质数有( )；合数有( )；既不是质数也不是合数的有( )；既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。 【答案】 2、3、5、7 4、6、8、9、10 1 6 【思路点拨】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0）。在1～10的自然数中找出所有的质数：2，3，5，7，找出所有的合数：4，6，8，9，10；既是2的倍数，又是3的倍数说明是6的倍数，据此可知1～10只有6符合。 【规范解答】在1～10各数中，质数有2、3、5、7；合数有4、6、8、9、10；既不是质数也不是合数的有1；既是2的倍数，又是3的倍数的有6。 考点十三：质数与合数的综合应用 【精讲题】（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 【答案】 2 5 【思路点拨】因为a、b均为质数，且3a＋7b＝41，所以3a和7b一定是一奇数一偶数，又因为和＝41，则b小于7，小于7的只数只有2、3、5，因为奇数乘偶数等于偶数，所以a或b一定有一个2。即可把2代入等式推算出另一个数，符合“a、b均为质数”即可得解。 【规范解答】当a＝2时 解： 2、5均为质数，推算成立； 当b＝2时 解： 9不是质数，故推算不成立。 根据以上思考，乐乐推算出a是2，b是5。 【精练题01】（23-24五年级下·福建莆田·期中）在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝___”这道题时，乐乐是这样想的：因为( )＋( )＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数，那么a和b中一定有一个是质数( )。根据以上思考，乐乐算出a＋b的和是( )。 【答案】 偶数 奇数 2 7 【思路点拨】根据和的奇偶性，偶数＋奇数＝奇数，则3a和7b中一定有一个数是偶数，分别假设3a是偶数或者7b是偶数，再结合3a＋7b＝41进行计算解答即可。 【规范解答】由分析可知，3a和7b中一定有一个数是偶数，a、b均为质数，a和b中一定有一个是质数2， 假设3a是偶数，且a是质数，那么a＝2，把a＝2代入3a＋7b＝41， 3×2＋7b＝41 6＋7b＝41 6＋7b－6＝41－6 7b＝35 7b÷7＝35÷7 b＝5 则a＋b＝7。 假设7b是偶数，且b是质数，则b＝2，把b＝2代入3a＋7b＝41， 3a＋7×2＝41 3a＋14＝41 3a＋14－14＝41－14 3a＝27 3a÷3＝27÷3 a＝9 9是合数，不符合题意； 所以a＝2，b＝5，a＋b＝7。 因为偶数＋奇数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数，那么a和b中一定有一个是质数2。根据以上思考，乐乐算出a＋b的和是7。 【精练题02】（23-24五年级下·湖北十堰·期中）妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 【答案】256199 【思路点拨】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【规范解答】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2； 第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5； 第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1； 第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9； 第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。 妈妈银行卡的密码是256199。 答：妈妈银行卡密码是256199。 1．（2024秋•栖霞区期末）60个同学分组活动，下面第　　种分法得到的组数最多． A．每6人分一组 B．每4人分一组 C．每3人分一组 【思路点拨】要求分的组数最多，人数一定人），每组的人数越少，分的组数就越多，由此解答选择即可． 【规范解答】解：因每组的人数组数，所以当每3人分一组时，组数最多． 故选：． 【考点评析】方法多样可利用数的约数来解较简便． 2．（2024秋•高新区期中）下面四个数都是自然数，其中是任意自然数，等于0，下列各数中既是2的倍数，又是3的倍数的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】被2整除特征：偶数． 被3整除特征：每一位上数字之和能被3整除． 分析选项，中最后一个数字是，不能保证是偶数，所以不一定是2的倍数，排除．中最后一个数字是，不能保证是偶数，所以不一定是2的倍数，排除． 中最后一个数字是0，这个数是偶数，是2的倍数，其余数字和是，是3的倍．是3的倍数，符合要求．故选． 是偶数，但是其余数字和是，不一定是3的倍数．排除． 【规范解答】解：选项中，最后一个数字是0，这个数是偶数，是2的倍数，其余数字和是，是3的倍．是3的倍数，符合要求．故选：． 故选：． 【考点评析】平时要注意积累2、3、5的倍数特征． 3．（2024春•枣强县期末）一袋水果糖，总数不到40块，平均分给7个小朋友，还余3块，这袋水果糖最多有　　块． A．40 B．39 C．38 【思路点拨】根据求一个数的倍数的方法，进行列举即可，总数不到40块，40以内7的倍数有：7，14，21，28，35，据此解答即可． 【规范解答】解：40以内7的倍数最大是35，所以： （粒； 答：这袋水果糖最多有38粒． 故选：． 【考点评析】解决此题的关键是先利用分析法找出符合7的倍数的数是解决此题的关键． 4．（2024秋•石楼县期中）在横线上填上合适的质数。 　11（或　　　 【思路点拨】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数。由此根据所给数据确定相应的质数填空即可。 【规范解答】解： 故答案为：11，17或5，23。 【考点评析】考察质数的定义。 5．（2023秋•洋县期末）一个数既是15的因数，又是15的倍数，这个数是　15　． 【思路点拨】根据一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身；进行解答即可． 【规范解答】解：一个数既是15的因数，又是15的倍数，这个数是15； 故答案为：15． 【考点评析】解答此题应根据因数和倍数的意义进行解答． 6．（2024春•信阳期末）两个质数的和是22，积是85，这两个质数是 　5　和 　　． 【思路点拨】把85分解质因数即可得出结论． 【规范解答】解： 所以，两个质数的和是22，积是85，这两个质数是5和17； 故答案为：5，17． 【考点评析】此题考查了分解质因数的方法． 7．（2024•东港市）一个自然数越大，它的因数的个数就越多． 　　．（判断对错） 【思路点拨】根据“质数的因数只有两个：它本身和1；而合数至少有3个因数”进而判断即可． 【规范解答】解：质数不管有多大，都只有1和自身共2个因数，如：101只有1个101两个因数； 而合数不管有多小，至少有3个因数，如：4有1、2和4共三个因数； 故答案为：． 【考点评析】此题应根据质数和合数的含义进行分析、解答． 8．（2023秋•港南区期末）任何一个非零自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身．　　．（判断对错） 【思路点拨】一个数的因数是有限的，最小是1，最大是它本身，如12的因数有1、2、3、4、6、12，一个数的倍数是无限的，最小是它本身，如12的倍数有12、24、；据此解答． 【规范解答】解：由分析可知：一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身正确； 故答案为：． 【考点评析】本题主要是考查因数和倍数的意义．要记住一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身． 9．（2024•潮南区）因为，所以4和5都是因数，20是倍数． 　　．（判断对错） 【思路点拨】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数；进行解答即可． 【规范解答】解：因为，所以，， 那么可以说5和4是20的因数，20是5和4的倍数； 因数和倍数不能单独存在，所以本题说法错误； 故答案为：． 【考点评析】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在． 10．（2023春•汉阴县期中）新源超市新进一批不同包装的牛奶，每箱牛奶价格既是2的倍数又是3的倍数，还是5的倍数。如果最贵的牛奶价格低于100元，最贵多少元？ 【思路点拨】每箱牛奶价格既是2的倍数又是3的倍数，还是5的倍数，所以这个牛奶的价格同时要满足2、3、5的倍数特征，同时是2、3、5的倍数特征那么这个数个位是0且每一个数位上数字之和是3的倍数。最贵的牛奶价格是2、3、5的倍数且低于100元。 【规范解答】解：最贵的牛奶价格是2、3、5的倍数，所以个位是0，十位的数字加0是3的倍数，这个数比100小，所以十位的数尽可能的大，十位为9时，是3的倍数，所以低于100元的最贵的牛奶是90元。 答：如果最贵的牛奶价格低于100元，最贵90元。 【考点评析】本题需要学生熟练掌握2、3、5的倍数特征并能灵活的运用。 11．（2022春•鹿邑县期中）中国第一次参加奥运会的年份是一个四位数。千位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数是一位数中最大的合数，十位上的数的最小倍数是3，个位上的数是最小的质数。中国第一次参加奥运会是哪一年？ 【思路点拨】质数是指在大于的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。合数是指在大于的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数 除外）整除的数。1既不属于质数也不属于合数。据此解答即可 【规范解答】解：根据质数和合数的定义可知，不是质数也不是合数的是1，最大的一位数合数是9，最小的倍数是3的数是3，最小的质数是2。 答：中国第一次参加奥运会是1932年。 【考点评析】本题考査质数、合数、倍数的认识，根据质数、合数、倍数的定义进行解答即可。 12．（2022春•青岛期中）小甜、小婷、小颖三人今年的年龄的积是630，其中小婷比小甜大2岁，小颖比小婷大1岁，她们三人今年分别是多少岁？ 【思路点拨】小婷比小甜大2岁，小颖比小婷大1岁，则小颖比小甜大3岁，把630分解质因数，然后再进一步解答即可。 【规范解答】解：小颖比小婷大1岁，小婷比小甜大2岁，则小颖比小甜大3岁。 答：小甜7岁，小颖10岁，小婷9岁。 【考点评析】本题主要考查了质因数的分解，熟练地掌握质因数的分解方法是解答本题的关键。 13．（2024春•郧阳区期中）食品店买来85个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【思路点拨】能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数；再根据能被2、5整除的数的特征进行判断能否正好装完． 【规范解答】解：85个面包，如果每2个装一袋，不能正好装完，因为85的个位上是5，所以85不能被2整除； 如果每5个装一袋，能正好装完，因为85的个位上是5，所以85能被5整除； 答：如果每2个装一袋，不能正好装完；如果每5个装一袋，能正好装完． 【考点评析】此题考查能被2、5整除的数的特征及其运用． 14．（2023春•阳原县期末）李叔叔的果园每行树的棵数都是相等的，下面是几位小朋友各自数出的总棵数，其中只有一个小朋友数的对，你知道他是谁吗？为什么？ 李刚：73棵程鸣数77棵王冰：79棵赵强：71棵． 【思路点拨】总棵数一定是行数的倍数，故这个数一定是合数． 【规范解答】解：73、77、71、79这三个数都是质数，只有，是合数．所以程鸣数的正确； 答：程鸣数的正确． 【考点评析】本题关键是会区分质数和合数． 15．（2024秋•新罗区期末）永定土楼既有苏州园林的印迹，也有古希腊建筑的特点，是中西合璧的建筑典范，每年吸引无数国内外游客。2024年10月1日下午的游客量是上午的2倍，不可以表示上午和下午游客量关系的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】选项，上午是1份，下午是2份，2是1的2倍，所以下午的游客量是上午的2倍，所以原题说法正确。 选项，上午是1份，下午是2份，2是1的2倍，所以下午的游客量是上午的2倍，所以原题说法正确。 选项，上午是1份，下午是3份，3是1的3倍，所以下午的游客量是上午的3倍，所以原题说法错误。 选项，上午2个三角形是1份，下午4个三角形是2份，2是1的2倍，所以下午的游客量是上午的2倍，所以原题说法正确。 【规范解答】解：2024年10月1日下午的游客量是上午的2倍，不可以表示上午和下午游客量关系的是。 故选：。 【考点评析】本题考查了倍数的意义。 16．（2024秋•芝罘区期末）育才小学开展劳动实践活动比赛，下表是五年级四个班包饺子数量情况表示被盖住的数字），这四个班包饺子的总数一定是　　 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法判断 【思路点拨】根据能被2和5整除的数的特点可知：这个两位数个位上必须是0，还得满足能被3整除的数的特点：各个数位上的数字加起来的和是3的倍数，据此解答。 【规范解答】解：根据题意，每个班包饺子的数量的末尾数字相加是偶数，所以这四个班包饺子的总数一定是2的倍数。 故选：。 【考点评析】此题考查了2、3、5的倍数特征，要求学生能够掌握。 17．（2024秋•历下区期末）用5、6、7三个数字任意组成一个三位数，这个三位数一定是　　 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法确定 【思路点拨】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6或8； 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数； 5的倍数特征：个位数字是0或5。 【规范解答】解：用5、6、7三个数字任意组成一个三位数，这个三位数一定是3的倍数。 故选：。 【考点评析】熟练掌握2、3、5的倍数特征是解答本题的关键。 18．（2024春•夷陵区期中）是一个三位数，已知是10以内的最大质数，比最小的合数多1，且是3的倍数，那么可能是　　 A．1、4、7 B．2、5、8 C．3、6、9 D．0、3、6、9 【思路点拨】是10以内的最大质数，可得是7，比最小的合数多1，可得：，又因为是3的倍数，所以是3的倍数，据此解答即可。 【规范解答】解：是10以内的最大质数，可得是7；比最小的合数多1，可得：，又因为是3的倍数，所以是3的倍数且不等于0，所以可以是3、6、9。 故选：。 【考点评析】本题考查了质数、合数的意义及3的倍数的特征。 19．（2024秋•西安期中）文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进 　159　支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进 　　支。 【思路点拨】根据3的倍数及2的倍数，结合这个数是一百五十多求解即可。 【规范解答】解：文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进159支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进156支。 故答案为：159；156。 【考点评析】本题主要考查了3的倍数及2有倍数的灵活运用。 20．（2024秋•雁塔区期中）一个两位数，它只有三个因数，这三个因数从小到大来排，排在中间的是7，这个两位数是 　49　。 【思路点拨】首先确定前两个因数为1和7，后面的因数是这个数本身，据此求解即可。 【规范解答】解： 所以49的因数为1、7、49，因此这个两位数是49。 故答案为：49。 【考点评析】本题主要考查了找一个数因数的主法及灵活运用。 21．（2023春•管城区期末）（1）爸爸去超市买回一盒玩具积木，一共花了2□元，这个钱数既是2的倍数，还含有因数3，这盒积木最少 　24　元。 （2）乐乐从积木中拿出来几个小正方体，他先摆出如下面左图所示的几何体，然后又增加一个同样的小正方体，这时从三个方向看到的图形如下面右图。 ①原来的几何体是用 　　个小正方体摆成的。 ②新增加的小正方体应该放在 　　号的上面。 【思路点拨】（1）根据2、3的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，同时是2和3的倍数的数个位必须是偶数且各位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 （2）①通过观察图形可知，原来的几何体是用7个小正方体摆成的。 ②通过观察三视图可知，新增加的小正方体应该放是①号的上面。 【规范解答】解：（1）2和3的最少公倍数是6，所以这盒积木最少24元。 （2）①原来的几何体是用7个小正方体摆成的。 ②新增加的小正方体应该放是①号的上面。 故答案为：24；7；①。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握2、3的倍数的特征及应用，从不同的方向观察物体的方法及应用。 22．（2024春•三门县期中）猜猜我是谁． （1）我是6的倍数，又是4的倍数，别忘了我还是12的因数．　12　 （2）我们两个的和是6，积是8，质数是　 　，合数是　 　． （3）我们两个的和是18，积是77，这两个质数分别是　 　和　 　． （4）我们两个的和是20，差是6，这两个质数分别是　 　和　 　． 【思路点拨】（1）因为既是6的倍数，又是4的倍数，还是12的因数的数只有12； （2）因为，2是质数，4是合数，符合题意； （3）因为，，所以这两个质数分别是7和11； （4）因为，，所以这两个质数分别是13和7；由此解答即可． 【规范解答】解：（1）我是6的倍数，又是4的倍数，别忘了我还是12的因数，所以这个数是12； （2）我们两个的和是6，积是8，质数是2，合数是4． （3）我们两个的和是18，积是77，这两个质数分别是7和11． （4）我们两个的和是20，差是6，这两个质数分别是13和7； 故答案为：12，2，4，7，11，13，7． 【考点评析】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累． 23．（2023•拱墅区）三个连续自然数的和必定是3的倍数。 　　（判断对错） 【思路点拨】设三个连续自然数中的第一个为，由这三个连续的自然数可表示为、，．其和为：，所以三个连续自然数的和一定是3的倍数；据此判断即可。 【规范解答】解：设三个连续自然数中的第一个为，则三个连续自然数的和为： ，所以三个连续自然数的和一定是3的倍数。 故答案为：。 【考点评析】本题是根据相邻的两个自然数相差1的特点从而求出个连续自然数的和是3的倍数的。 24．1是任何自然数除外）的因数． 　　（判断对错） 【思路点拨】因为任何非0自然数都能被1整除，所以任何非0自然数都是1的倍数，1是任何非0自然数的公因数；由此判断即可． 【规范解答】解：由分析可知：1是任何自然数除外）的公因数； 故答案为：． 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握公因数的意义． 25．（2022秋•平泉市期末）下面4个盒子中分别装着乒乓球和网球，它们装的个数分别是19个、9个、7个、28个。乒乓球总个数是网球的6倍，这4盒中只有一盒是网球。哪一盒是网球？ 【思路点拨】根据题意可知：乒乓球的总个数网球的个数，再找出19、9、7、28中哪三个数字之和除以剩下的一位数，商是6，据此可以找出网球的个数。 【规范解答】解：（个 （个 则网球是9个。 答：第②盒是网球。 【考点评析】解答此题的关键是明确乒乓球的总个数网球的个数，再进一步解答。 26．（2019•温州）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？ 【思路点拨】由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（加瓶）共重（千克），而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数的质数只有2，当油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重（千克），最重的两瓶内的油为（千克）；当油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。 【规范解答】解：每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为 （千克），21是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和必为一奇一偶。 而质数中是偶数的质数只有2，分两种情况求解： （1）当空瓶重量和为2，油重量和为19；每个空瓶（千克），故最重两瓶（即重13的两瓶）有（千克）； （2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。 答：最重的两瓶内有12千克油。 【考点评析】本题主要考查了有关偶数、质数以及奇数的知识，解题的关键是求出4瓶油（加瓶）的质量。 27．（2024秋•南关区校级期中）植树节到了，何老师带领五（2）班的同学去植树，一共植了123棵，已知何老师植树的棵数和每名同学植树的棵数相等．这个班有多少名学生？每名同学植树多少棵？ 【思路点拨】由何老师和学生每人植树一样多，可知：每人植树棵数人数植树总棵数．每人植树棵数和人数都应是整数，将植树总棵数分解质因数，，依此可知学生是名，依此即可求解。 【规范解答】解：因为， 所以学生数是（名，每名同学植树3棵． 答：这个班有40名学生，每名同学植树3棵． 【考点评析】本题关键是把123分解质因数，得到这个班的学生人数． 28．（2024春•永兴县校级期中）五（1）班6名同学去给小树苗浇水，小树苗不到30棵，他们发现每人浇水棵数相同，这批小树苗可能有多少棵？ 【思路点拨】根据题意，树苗棵数肯定是6的倍数，且小于30，小于30的，且是6的倍数的有：6、12、18、24，所以这批小树苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵． 【规范解答】解：小于30的且是6的倍数的有：6、12、18、24棵； 答：这批小树苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵． 【考点评析】此题考查了学生运用求一个数的倍数的方法解决实际问题的能力． 29．（2023春•通榆县期中）把40个苹果装在篮子里，每个篮子装的苹果个数同样多．有几种装法？每种装法各需要几个篮子？ 【思路点拨】首先根据题意，找出40的因数有哪些，即可判断出一共有多少种装法；然后根据哪两个因数相乘是40，再根据这两个因数来确定每个篮子装几个，装几个篮子即可． 【规范解答】解：40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40，所以共8种． ；一个篮子装1个，装40个篮子；或每个篮子装40个，装1个篮子； ；一个篮子装2个，装20个篮子；或每个篮子装20个，装2个篮子； ；一个篮子装4个，装10个篮子；或每个篮子装10个，装4个篮子； ；一个篮子装5个，装8个篮子；或每个篮子装8个，装5个篮子． 答：有8种装法， 一个篮子装1个，装40个篮子；或每个篮子装40个，装1个篮子； 一个篮子装2个，装20个篮子；或每个篮子装20个，装2个篮子； 一个篮子装4个，装10个篮子；或每个篮子装10个，装4个篮子； 一个篮子装5个，装8个篮子；或每个篮子装8个，装5个篮子． 【考点评析】此题主要考查了求一个数的因数的方法． 30．（2022春•双峰县期末）新图书馆开馆了，小红每隔3天去图书馆一次，小灵每隔4天去一次，请问小红和小灵某天在图书馆相遇后，请问经过几天她们有可能会在图书馆再次相遇？ 【思路点拨】由题意可知：求小红和小灵经过多少天她们有可能会在图书馆再次相遇，即求和的最小公倍数，因为5、4是互质数，它们的最小公倍数，即这这两个数的乘积． 【规范解答】解：（天 （天 5和4互质，所以5和4的最小公倍数是它们的乘积： （天； 答：经过20天她们有可能会在图书馆再次相遇． 【考点评析】此题考查了当两个数互质时的最小公倍数的方法：两个数互质，这两个数的最小公倍数，即这两个数的连乘积． 基础夯实优选题专练 1．（23-24五年级下·江西九江·期末）张阿姨买了3箱同样的车厘子，每箱车厘子的价格都是整数，且没有任何优惠，张阿姨可能花了（    ）。 A．260元 B．264元 C．268元 【答案】B 【思路点拨】根据题意，张阿姨买了3箱同样的车厘子，每箱车厘子的价格都是整数，根据“单价×数量＝总价”可知，张阿姨花的钱数是3的倍数；从三个选项中找出哪个数是3的倍数，即可得解。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】A．2＋6＋0＝8，8不是3的倍数，则260不是3的倍数； B．2＋6＋4＝12，12是3的倍数，则264是3的倍数； C．2＋6＋8＝16，16不是3的倍数，则268不是3的倍数； 所以，张阿姨可能花了264元。 故答案为：B 2．（23-24五年级下·河北唐山·期末）一个数是36的因数，又是4的倍数，下面各数中符合条件的是（    ）。 A．9 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【思路点拨】根据求一个数因数的方法和倍数的方法，分别求出32的因数和32以内4的倍数，进而解答 【规范解答】36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36； 36以内4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36。 一个数是36的因数，又是4的倍数有：4，12，36。 一个数是36的因数，又是4的倍数，符合条件的是12。 故答案为：B 3．（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）要使三位数42□能被2、3、5分别整除，则□里有（    ）种填法。 A．1 B．2 C．3 【答案】A 【思路点拨】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】先考虑三位数42□能被2、5整除，则42□的个位上一定是0； 各个数位上的数字之和是：4＋2＋0＝6，6是3的倍数，则420也能被3整除。 所以，要使三位数42□能被2、3、5分别整除，则□里有1种填法。 故答案为：A 4．（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）用0、4、5三张数字卡片组成的三位数中，偶数有( )个，组成的最小偶数是( )。 【答案】 3 450 【思路点拨】个位上的数是0、2、4、6、8的数叫做偶数，则用0、4、5三张数字卡片组成的偶数有：540、450、504，据此解答。 【规范解答】组成的偶数有：540、450、504 450＜504＜540 因此，偶数有3个，组成的最小偶数是450。 5．（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），那么m是n的( )数，n是m的( )数。 【答案】 倍 因 【思路点拨】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 【规范解答】如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），即m÷n＝4，那么m是n的倍数，n是m的因数。 6．（22-23五年级下·辽宁鞍山·期末）因为45÷9＝5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( )。 【答案】 45 倍数 【思路点拨】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就是b的倍数，b就是a的因数；据此解答即可。 【规范解答】根据分析可得： 因为45÷9＝5，所以可以说9是45的因数，45是9的倍数。 7．（22-23五年级下·湖北荆州·期末）因为5.7÷1.9＝3，所以5.7是1.9的倍数。( ) 【答案】× 【思路点拨】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a÷b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么b和c就是a的因数，a就是b和c的倍数，据此分析。 【规范解答】5.7和1.9都是小数，不在因数和倍数的研究范围，所以原题说法错误。 故答案为：× 8．（23-24五年级下·河南漯河·期中）在9÷6＝1.5的算式中，9是6的倍数。( ) 【答案】× 【思路点拨】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。在研究因数和倍数的时候，是在整数的范围内研究（一般不包括0），据此解答。 【规范解答】根据分析得，1.5是小数，不是整数，不符合倍数的意义。 故答案为：× 9．（22-23五年级下·湖南衡阳·期中）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36                          35和50 【答案】（1）最大公因数是12，最下公倍数是72 （2）最大公因数是5，最下公倍数是350 【思路点拨】根据求最大公因数和最小公倍数的方法，先给每组数中的每个数分解质因数，再找出两个数公有的因数，这几个因数相乘即为最大公因数；这两个数的公因数再与两个数各自的因数相乘，乘积就是这两个数的最小公倍数；据此解答即可。 【规范解答】（1）24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 故最大公因数是2×2×3＝12，最小公倍数是2×2×2×3×3＝72 （2）35＝5×7 50＝5×5×2 故最大公因数是5，最小公倍数是5×5×7×2＝350 10．（23-24五年级下·湖南湘西·期中）小明的电话号码是一个七位数，并且同时是2、3、5的倍数，前三位是523，且这个七位数是满足以上条件的最小的数，你知道小明家的电话号码是多少吗？ 【答案】5230020 【思路点拨】本题考查2、3、5倍数的特征。个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数的各个数位上的数相加的和如果是3的倍数，那这个数就是3的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数。 因为小明的电话号码同时是2、3、5的倍数，所以最后一位是0，又因为是3的倍数，前三位是5、2、3，5＋2＋3＝10，因此最小加上2后才能是3的倍数，所以后四位数最小为0020，所以小明家的电话号码是5230020。 【规范解答】因为小明的电话号码同时是2、3、5的倍数，所以最后一位是0，又因为是3的倍数，前三位是5、2、3，5＋2＋3＝10，因此最小加上2后才能是3的倍数，所以后四位数最小为0020，所以小明家的电话号码是5230020。 培优优选题专练 11．（23-24五年级下·重庆忠县·期末）三个连续偶数中，最小的一个数为2n，则这三个偶数的和是（    ）。 A．6n B．6n＋2 C．6n＋4 D．6n＋6 【答案】D 【思路点拨】在连续偶数中，相邻的两个偶数相差2，最小的一个偶数为2n，第2个偶数即2n＋2，第三个偶数即2n＋2＋2。将三个偶数相加，结果化简即可判断。 【规范解答】2n＋2n＋2＋2n＋2＋2 ＝（2n＋2n＋2n）＋（2＋2＋2） ＝6n＋6 三个连续偶数中，最小的一个数为2n，则这三个偶数的和是6n＋6。 故答案为：D 12．（23-24五年级下·河南安阳·期末）a是不等于零的自然数，2a＋1一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】C 【思路点拨】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 【规范解答】A．当a＝4时，2a＋1＝2×4＋1＝8＋1＝9，9是合数；原选项说法错误； B．当a＝2时，2a＋1＝2×2＋1＝4＋1＝5，5是质数；原选项说法错误； C．无论a是奇数，还是偶数，2a一定是偶数，因为偶数＋奇数＝奇数，所以2a＋1一定是奇数；原选项说法正确； D．当a＝3时，2a＋1＝2×3＋1＝6＋1＝7，7是奇数；原选项说法错误。 故答案为：C 13．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）下列说法中正确的有（    ）个。 ①个位上是3、6、9的数都是3的倍数；②两个奇数的和一定是奇数； ③420既是2的倍数又是5的倍数；④两个质数的积一定是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】①3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； ②根据奇数＋奇数＝偶数，进行分析； ③既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数； ④除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【规范解答】①个位上是3、6、9的数都是3的倍数，说法错误，如13、16、19，都不是3的倍数； ②两个奇数的和一定是偶数，原说法错误； ③420既是2的倍数又是5的倍数，说法正确； ④两个质数的积的因数除了1和它本身，至少还有一个质数，因此两个质数的积一定是合数，说法正确。 说法正确的有2个。 故答案为：B 14．（23-24五年级下·重庆忠县·期末）妈妈的手机锁屏密码是六位数且不含0。从左往右依次如下所述：①既是偶数又是质数；②只有一个因数；③有一个倍数是7；④既是奇数又是合数；⑤最大因数是6；⑥最小的质数。妈妈的手机锁屏密码是( )。 【答案】217962 【思路点拨】偶数：是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数；质数：一个数除了1和它本身。既是偶数又是质数是2。 没有其它因数的数是质数，只有一个因数的数是1。 由一个倍数是7，由于对应的数字是一位数，那么这个数字是7的倍数，一个数最小的倍数是它本身，所以第三个数是7。 合数：除了1和它本身，还有其它因数的数是合数，既是奇数又是合数的数是9。 一个数最大因数是它本身，所以第五个数是6。 最小的质数是2，1既不是质数也不是合数，所以第六个数是2。 【规范解答】由分析可知： 妈妈的手机锁屏密码是217962。 15．（22-23五年级下·湖北荆州·期末）李叔叔的手机开机密码是一个四位数abcd，a是最小的奇数，b是最小的偶数，c是10以内最大的质数，d是最小的合数，这个密码是( )。 【答案】1074 【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【规范解答】李叔叔的手机开机密码是一个四位数abcd，a是最小的奇数，a是1；b是最小的偶数，b是2；c是10以内最大的质数，c是7；d是最小的合数，d是4，这个密码是1074。 16．（23-24五年级下·河南信阳·期末）一个六位数，各个数位上的数字从低位到高位依次是最小的偶数，最小的奇数，最小的质数，最小的合数，既是质数又是偶数，最大的一位数，这个六位数是( )。 【答案】924210 【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；据此找出符合要求的数，再把相应数字写在这个六位数的相应数位上即可得解。 【规范解答】最小的偶数是0，最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4，既是质数又是偶数的是2，最大的一位数是9，这个六位数是924210。 17．（23-24五年级下·河南信阳·期末）在整数中，可以说一个数不是奇数就是偶数，也可以说不是质数就是合数。( ) 【答案】× 【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。1既不是质数也不是合数，据此分析。 【规范解答】在整数中，不是奇数就是偶数，或者说除了质数、合数以外，还有0和1，所以原题说法错误。 故答案为：× 18．（23-24五年级下·重庆潼南·期末）将18写成质数相乘的形式是36＝2×2×9。( ) 【答案】× 【思路点拨】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【规范解答】18＝2×3×3 将18写成质数相乘的形式是18＝2×3×3。 原题干错误。 故答案为：× 19．（23-24五年级下·全国·课后作业）下面的3组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ （1）72和8        （2）20和140        （3）17和51 【答案】（1）8是72的因数，72是8的倍数； （2）20是140的因数，140是20的倍数； （3）17是51的因数，51是17的倍数。 【思路点拨】 根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此依次进行解答即可。 【规范解答】（1） 8是72的因数，72是8的倍数。 （2）20和140 20是140的因数，140是20的倍数。 （3）17和51 17是51的因数，51是17的倍数。 20．（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】（1）2种 （2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完 【思路点拨】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 【规范解答】（1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$