精品解析：山东省德州市2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

高三数学试题 2025.2 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1—2页，第Ⅱ卷2—4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷选择题（共58分） 一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，则“”是“直线与相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若双曲线过点，则其渐近线方程为（ ） A B. C. D. 4. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. B. 240 C. 60 D. 6. 某次考试后，甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道考题，各自陈述如下，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对．已知四人中只有一位同学的解答是正确的，且只有一位同学的陈述是正确的，则解正确的同学是（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 函数在上单调递增，且在上恰有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知半球的底面与圆台的下底面完全重合，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台的母线长为（ ） A B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某学校为了解学生身高（单位：）情况，采用分层随机抽样的方法从1500名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为170，方差为12，女生平均身高为160，方差为38.则下列说法正确的是（ ） （注：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为，则， A. 抽取的样本里男生有60人 B. 每一位学生被抽中的可能性为 C. 估计该学校学生身高的平均值为165 D. 估计该学校学生身高的方差为46.4 10. 已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 11. 已知函数及其导函数的定义域都为，若，，且为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，则__________. 13. 若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则__________. 14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为______． 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数（a为常数）． （1）讨论函数的单调性； （2）不等式在上恒成立，求实数a的最小整数值． 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小． 17. 已知抛物线的焦点为，且为上不重合的三点. （1）若，求的值； （2）过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值. 18. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型（以下简称），能够根据用户的文本提示创建最长秒的逼真视频.为调查的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 （1）根据所给数据完成题中表格，并判断是否有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工人，公司拟开展培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用. （i）求员工经过培训能应用的概率； （ii）已知开展培训前，员工每人每年平均为公司创造利润万元；开展培训后，能应用的员工每人每年平均为公司创造利润万元；培训平均每人每年成本为万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：，其中. 19. 已知数列的前项和为满足，且，数列满足. （1）求数列通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学试题 2025.2 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1—2页，第Ⅱ卷2—4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷选择题（共58分） 一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据交集定义求结论. 【详解】不等式的解集为， 所以， 又， 所以. 故选：C. 2. 已知直线，则“”是“直线与相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与圆相交求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由直线与相交，得，解得， 则，而不能推出， 所以“”是“直线与相交”的充分不必要条件. 故选：A 3. 若双曲线过点，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入双曲线方程，可求，再结合双曲线对称求渐近线方程. 【详解】因为双曲线过点， 所以， 所以， 所以双曲线方程为， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 4. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，求得，结合向量的投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由向量和满足，，， 可得，解得， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：A. 5. 已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. B. 240 C. 60 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数之和可得，结合二项展开式分析求解. 【详解】由题意可知：二项式系数之和为，可得， 其展开式的通项为， 令，解得， 所以其展开式的常数项为. 故选：B. 6. 某次考试后，甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道考题，各自陈述如下，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对．已知四人中只有一位同学的解答是正确的，且只有一位同学的陈述是正确的，则解正确的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】分别假设甲、乙、丙、丁做对，结合题意分析推理，利用矛盾律得出结论． 【详解】若甲做对了，则甲说错了，乙说对，丙也说对了，2人说对了，不满足条件； 若乙做对了，则甲说对了，乙说错误，丙也说对了，2人说对了，不满足条件； 若丙做对了，则甲说对了，乙说错了，丙也说错了，其中只有甲1人说对了，满足条件； 若丁做对了，则丁、甲、丙都说对了，不满足条件； 故做对的是丙，说对的是甲． 故选：C. 7. 函数在上单调递增，且在上恰有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的单调递增区间及零点，由条件列不等式可求结论. 【详解】由，，， 可得， 所以函数的单调递增区间为，， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，所以， 由，，， 可得，， 所以函数的零点的集合为，， 因为函数在上恰有三个零点， 所以，， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 故选：D. 8. 已知半球的底面与圆台的下底面完全重合，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆台及半球的轴截面，借助几何图形用圆台上底面圆半径表示出母线求解. 【详解】半球的底面与圆台的轴截面，如图， 设圆台上底面圆半径为，则，母线， 圆台侧面积， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以圆台侧面积取最大值时，圆台的母线长为. 故选：C 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某学校为了解学生身高（单位：）情况，采用分层随机抽样的方法从1500名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为170，方差为12，女生平均身高为160，方差为38.则下列说法正确的是（ ） （注：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为，则， A. 抽取的样本里男生有60人 B. 每一位学生被抽中的可能性为 C. 估计该学校学生身高的平均值为165 D. 估计该学校学生身高的方差为46.4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的意义，结合平均数、方差的计算公式逐项求解判断. 【详解】对于A，抽取的样本里男生有60人，A正确； 对于B，每一位学生被抽中的可能性为，B正确； 对于C，该学校学生身高的平均值，C错误； 对于D，该学校学生身高的方差，D正确. 故选：ABD 10. 已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】由椭圆方程求得的值，可得椭圆离心率判断A；由椭圆定义结合焦半径范围判断B与C；由基本不等式求得的最大值判断D. 【详解】已知椭圆，则，，， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数及其导函数的定义域都为，若，，且为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件结合奇函数性质可得，取求判断A，由，可得（为常数），结合条件证明，由此证明为周期函数，求判断C，再证明为周期函数，并求，判断C，再结合周期性求，判断D. 【详解】因为为奇函数， 所以， 取可得，， 所以，A正确； 由，可得， 所以（为常数）， 又，所以， 所以， 取可得，，故， 所以，又， 所以，即， 所以， 所以， 所以函数为周期为的周期函数， 因为，所以，， 所以，， 所以， 所以，， 又， 所以，又， 所以，C正确； 因为，， 所以， 所以，所以函数的周期为， 所以， 所以函数为周期为的函数， 又，， ，，B错误； 所以， 所以， D正确 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于由条件推出，结合条件消去，可得，由此证明为周期函数，再利用周期性求解结论. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算法则求的代数形式，再根据模的计算公式求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 13. 若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，根据两直线相等，列方程可得，进而代入在直线上，求解. 【详解】因为，所以， 设直线与的切点为，则切线方程为，即， 又因为，所以解得，所以切线方程为， 因为，所以， 设直线与的切点为，所以①， 又因为切点在直线上，所以②， 由①和②可得，所以，解得. 故答案为： 14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由余弦定理得， 两式相减得， 因，所以， 由正弦定理得， 即， 所以， 则， 因为在中，不同时为，，故， 所以， 又，所以，则，故，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又，所以，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数（a为常数）． （1）讨论函数的单调性； （2）不等式在上恒成立，求实数a的最小整数值． 【答案】（1）答案见解析； （2）2 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域和导函数，分，结合导函数的零点及取值的正负区间研究函数的单调性. （2）变量分离得，再构造函数并利用导数求其最值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得 当时，，函数在上单调递增， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，. 【小问2详解】 当时，不等式， 令，依题意，，恒成立， 求导得，当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的最小整数值是. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，可得，再利用向量法证明，然后由线面垂直判定定理可证； （2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可解. 【小问1详解】 因为为正三角形，是中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， ， 又在平面内且相交，故平面 【小问2详解】 分别为的中点，， 又平面过且不过，平面． 又平面交平面于，故，进而， 因为是中点，所以是的中点． 以原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，， 设平面法向量为， 则，即，取，得， 则， 因为，所以. 17. 已知抛物线的焦点为，且为上不重合的三点. （1）若，求的值； （2）过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值. 【答案】（1）3 （2）8 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点及准线，利用给定的向量等式，结合抛物线定义求解. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用导数的几何意义求出直线方程及交点坐标，再求出三角形面积的函数并求出最大值. 【小问1详解】 抛物线的焦点，准线，设， 由，得，即， 所以. 【小问2详解】 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由得：，，， 由，得，求导得， 则切线的方程为，即，同理，切线的方程为， 由，解得，即， 则点到直线的距离为， 由，化简得：， 因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为8. 18. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型（以下简称），能够根据用户的文本提示创建最长秒的逼真视频.为调查的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 （1）根据所给数据完成题中表格，并判断是否有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工人，公司拟开展培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用. （i）求员工经过培训能应用的概率； （ii）已知开展培训前，员工每人每年平均为公司创造利润万元；开展培训后，能应用的员工每人每年平均为公司创造利润万元；培训平均每人每年成本为万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：，其中. 【答案】（1）表格见解析，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关 （2）（i）；（ii）人 【解析】 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用人数，则，由条件列不等式可求结论. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，. 根据小概率值的的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关； 【小问2详解】 （i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立. 设“员工经过培训能应用”，则 故员工经过培训能应用的概率是. （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润为 （万元）， 令，解得，又，所以. 因此，视频部最多可以调人到其他部门. 19. 已知数列的前项和为满足，且，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件结合等差数列通项公式求数列的通项公式，再由与关系求，由取求，当时，用替换，两式相除可得结论； （2）由（1）可得，等式两边同乘，两式相减可得，再利用错位相减法求结论； （3）由（1）结合等差数列等比数列求和公式求，再求，结合等差数列求和公式化简不等式求结论. 【小问1详解】 因为，所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 当时， 又满足关系， 故. 数列，当时，， 当时，. 所以，； 【小问2详解】 由题可知 ① ② ①-②得. ③ ④ ③-④得 ； 【小问3详解】 依题意，数列中之前的所有项中包括项中的项， 设其和为，则 数列中之前的所有项中包括项中的项，设其和为，则 于是 所以， 当时， 当时，因为， 所以 ， 于是，，因此， 所以，， 所以，又， 所以，，， 得成立的最大整数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于利用错位相减法先求出，然后再次利用错位相减法求结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$