精品解析：湖北省武汉市东西湖区华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期开学检测数学试题

华中师大一附中2025届高三年级二月月度检测数学试卷 时限：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，即当时，，合乎题意； 当时，即当时，由可得，解得，此时. 综上所述，. 故选：A. 2. 已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的判定及等比数列通项公式验证即可. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，因为不等于0， 所以，若时，无法得出， 所以“”不是“”的充分条件； 若“”，则， 所以“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 设函数，命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由命题“”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以， 又可化为，即， 当时，， 所以在上恒成立， 所以其中， 当时有最小值为1，此时有最大值为3， 所以， 故实数的取值范围是， 故选：D 4. ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】，则，且, 整理得到， 所以，当且仅当，即时取等号. 即的最小值为. 故选：C. 5. 结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量. 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：A. 6. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，结合条件得到：，然后根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】由题意得，函数， 设（）， 由，得从而：， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数； 则可得：，即， 整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 7. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点 的坐标，判断两直线的交点 的轨迹为圆，利用点到直线的距离公式判断直线与圆相切，即可求出 的取值范围 【详解】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为， 所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 点 在以 为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即 的取值范围为 . 故选：A . 8. 在中，，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状． 【详解】在中，， 又由余弦定理知，， 两式相加得：， （当且仅当时取“” ，又， （当且仅当时成立），为的内角， ，，又， 的形状为等边△． 故选：． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体 B. 决定系数，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好 C. 样本相关系数，当时，表明成对样本数据间没有相关关系 D. 经验回归方程相对于点的残差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题利用回归分析的基本概念，样本相关系数的解释，决定系数的使用以及残差的计算即可求解. 【详解】对于A，使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体，故A正确； 对于B，决定系数表示的是拟合效果，越大模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C，当时，表示成对样本数据间的相关关系很小，并不是没有相关关系，故C错误； 对于D，残差为，故D正确. 10. 声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是.其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大.音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐，我们平时听到的音乐函数是，某声音函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间单调递增 B. 函数的最小正周期为2π C. 函数的声音比纯音的尖锐 D. 函数的响度比纯音的响度大 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得函数在区间上单调性判断选项A；求得函数的最小正周期判断选项B；求得函数与纯音的频率的大小关系判断选项C；求得函数与纯音的振幅的大小关系判断选项D. 【详解】选项A：当时，均单调递增， 则当时，单调递增.判断正确； 选项B：的最小正周期分别为， 则2π为函数的一个周期，假设存在，使得对于任意的， 则，即, 化简得， 即， 所以， 所以，但 ， 所以假设不成立，2π为函数的最小正周期，判断正确； 选项C：函数周期为2π，频率为； 函数的周期为π，频率为，由， 可得函数声音比纯音的低沉.判断错误； 选项D：的振幅为1， ， 则函数的振幅大于的振幅， 则函数的响度比纯音的响度大.判断正确. 故选：ABD 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若，则点的轨迹为一段圆弧 C. 若的外心为O，则为定值2 D. 若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平行线的性质结合给定条件判断底面积和高都是定值来处理A，利用圆的定义结合夹角求解轨迹来处理B，利用三角形外心和向量数量积的性质判断C，将三角形翻折后，利用勾股定理和余弦定理判断D即可. 【详解】对于A，如图，取靠近的三等分点为，靠近的三等分点为， 连接， 因为，所以， 令，而， 则，得到， 因为靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，所以， 而由直四棱柱性质得， 而，由勾股定理得， 在直四棱柱中，，， 得到四边形是平行四边形，故， 则，由题意得为的中点，则的面积是定值， 而面，面，所以面， 结合，由线面平行性质得到面的距离为定值， 即四面体的体积为定值，故A正确， 对于B，如图，在面中，过作，连接， 由直四棱柱性质得面，则， 而，面， 故面，则， 而面为菱形，则面为菱形， 因为，所以， 因为，所以，则， 由锐角三角函数定义得，解得，由勾股定理得， 因为，所以由勾股定理得， 则在以为圆心，为半径的圆上运动， 设该圆与交于，与交于， 由三角函数定义得，则， 即点的轨迹为一段圆弧，故B正确， 对于C，如图，作，由题意得外心为，故是的中点， 由已知得，因为，所以， 而， ，故C错误， 对于D，若且，此时， 因为P为的中点，所以， 由向量加法法则得，故， 则点与点重合，此时把沿着翻折， 如图，使得四点共面，此时有最小值， 此时的点均为翻折过的点，因为P为的中点，所以， 由勾股定理得，如图，连接， 由已知得，则， 由余弦定理得，解得， 由直四棱柱性质得面，则， 则由勾股定理得， 则，故， 而，则，得到， 由余弦定理得，解得，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题即可. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围. 【详解】因为与夹角为钝角， 可以得出，解得：， 且不平行，则， 即且，即. 故答案为： 13. 设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得，再求的正切值，进而即可求得渐近线方程. 【详解】根据题意，作图如下： 依题意，为的角平分线，且， 设，由角平分线定理可得：，则； 在中，由余弦定理； 在中，由余弦定理可得，， 即，解得. 故，， 所以的渐近线方程是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法： ①直接求出，从而得解； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，从而得解； ③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解. 14. 一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到红球的次数，当为奇数时，；当为偶数时，,则X的数学期望为______（用n表示），Y的数学期望为______（用n表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意可知，利用二项分布的期望公式即可求出的数学期望；利用与的关系，写出的值为,进而可得，再利用即可求得的数学期望. 【详解】第一空：由题可知，所以； 第二空：根据题意的值为, ， ， ， ， ， ， . 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是的数学期望的化简需要用到及，. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）若函数在处有极值为10，求b的值； （2）对任意，在区间上单调递增，求b的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用已知条件可列出方程组，求出的两组解，再进行检验即可； (2)将已知条件转化为恒成立问题，进而利用函数的恒成立问题即可求解. 【小问1详解】 ，, 又函数在处有极值为10， ，或， 当，时，， 令，则或， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，且， 满足函数在处有极值为10； 当，时，， 则函数无极值点. 的值为. 【小问2详解】 对任意，在区间上单调递增， 在任意，恒成立， 记， ，在上单调递增， 在恒成立， 令， 函数对称轴为，， ，的最小值为. 16. 在五面体中，平面，平面． （1）求证：； （2）若，，，求二面角的大小． 【答案】（1）证明见详解； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，然后利用线面平行判定定理得平面，再利用线面平行的性质定理得，最后得证； （2）由题意得，，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角即可. 【小问1详解】 证明：平面，平面ADE， ， 又平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， ，又， . 【小问2详解】 因为平面，所以， 又，所以， 如图，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 又，所以， 又，，所以， 解得 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则， 同理，设平面的一个法向量为，则， 令，则， 设二面角为，根据几何体，可判断为钝角， 则， 所以二面角的大小为. 17. 已知等差数列前n项和为，且．当时，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于首项和公差的方程，求出数列的通项公式；，两边同时乘以，则，当时，，两式相减，即可求出的通项公式； （2）由（1）知，，再由裂项相消法求数列的前n项和． 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由，可得， 故数列的通项公式为. ，两边同时乘以， 则 当时，， 当时，， 两式相减，可得，所以， 当时，，故满足，故. 【小问2详解】 ， 所以 . 故. 18. 为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式． 【答案】（1）分布列见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到变量X的可能取值为2，3，4，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望； （2）由这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）记“合计得分恰为”为事件A，“合计得分”为事件B，得到，结合数列的递推关系式构造等比数列，进而求得数列的通项公式，得到答案 【小问1详解】 的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼记1分； 既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． 随机变量 的可能取值为 2，3，4， 可得 ， 的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为 ； 【小问2详解】 由这 人的合计得分为 分， 则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁， 则 ， 由两式相减， 可得 ； 【小问3详解】 在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人， 则这些人的合计得分可能为 分或 分， 记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件， ， ，即 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解， 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 19. 如图，已知圆锥的高与母线所成的角为，过的平面与圆锥的高所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆C，椭圆C的长轴为，短轴为，长轴长为2a，C的中心为N，再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于， （1）用分别表示 （2）若， （ⅰ）求椭圆C的焦距； （ⅱ）椭圆C左右焦点分别为，C上不同两点D，E在长轴同侧，且，设直线交于点Q，记，设，请写出的解析式（不要求求出定义域）． 【答案】（1）, （2）（ⅰ）椭圆C的焦距为2，（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）过作于，可得，即可求得，同理求得. （2）（ⅰ）由，进而可以求得椭圆的离心率，再求得焦距即可；（ⅱ）设，由得，，，进而得出，再由题意解出即可. 【小问1详解】 过作于，而，， 所以，而， 所以. 同理过向作垂线，可得. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可知,， 所以， ， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以椭圆C的焦距. （ⅱ） 因为， 所以，所以， 所以， 设， 所以， 所以. 同理可得. 所以， 延长交C于点，则， 设，则， 所以， 由（ⅰ）可知椭圆的标准方程为， 故而由，得， 所以， 所以，所以， 又因为，解得， 因为， 所以， 所以， 所以，所以. 所以. 【点睛】关键点点睛：设，由得，，，进而得出，再由题意添加辅助线结合椭圆方程解出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华中师大一附中2025届高三年级二月月度检测数学试卷 时限：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设函数，命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. ，则最小值为（ ） A. B. C. D. 6 5. 结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体 B. 决定系数，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好 C 样本相关系数，当时，表明成对样本数据间没有相关关系 D. 经验回归方程相对于点的残差为 10. 声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是.其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大.音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐，我们平时听到的音乐函数是，某声音函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间单调递增 B. 函数的最小正周期为2π C. 函数的声音比纯音的尖锐 D. 函数的响度比纯音的响度大 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若，则点的轨迹为一段圆弧 C. 若的外心为O，则为定值2 D. 若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是______． 13. 设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______． 14. 一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到红球的次数，当为奇数时，；当为偶数时，,则X的数学期望为______（用n表示），Y的数学期望为______（用n表示）． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）若函数在处有极值为10，求b的值； （2）对任意，在区间上单调递增，求b的最小值． 16. 五面体中，平面，平面． （1）求证：； （2）若，，，求二面角的大小． 17. 已知等差数列的前n项和为，且．当时，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式． 19. 如图，已知圆锥的高与母线所成的角为，过的平面与圆锥的高所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆C，椭圆C的长轴为，短轴为，长轴长为2a，C的中心为N，再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于， （1）用分别表示 （2）若， （ⅰ）求椭圆C的焦距； （ⅱ）椭圆C左右焦点分别为，C上不同两点D，E在长轴同侧，且，设直线交于点Q，记，设，请写出的解析式（不要求求出定义域）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $