精品解析：山东省聊城第一中学新校区2024-2025学年高二上学期第二次阶段性测试数学试题

新校区2023级高二上学期第二次阶段性测试 数学试题 （时间120分钟，满分150分） 第Ⅰ卷（58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果. 【详解】∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 故选：A. 2. 已知数列是等差数列，且，则 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质得到，结合已知即可求结果. 【详解】由题设，故. 故选：C 3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故，即，故渐近线方程为. 【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力. 4. 已知数列是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若，，则；③若数列的前n项和，则；④若，则数列是递增数列；其中正确的个数是（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列及其前n项和的定义与性质一一判定即可 【详解】是等比数列，设公比为， 对于①，可得，故数列是等比数列，①正确； 对于②，由等比中项的性质可知，故，②错误； 对于③，，若得，不符合等比数列的性质，③错误； 对于④，， 若，此时，即是递增数列， 若，此时，即是递增数列， 故④正确； 故选：B 5. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 6. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. ] B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可； 【详解】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：A. 7. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．如图，有一列曲线P0，P1，…，Pn，…．已知P0是边长为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作而得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉．．记Pn的周长为Ln、所围成的面积为Sn．对于，下列结论正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. ，使 D. ，使 【答案】D 【解析】 【分析】判断出封闭曲线的周长数列是等比数列，求出通项，通过归纳可得边数为，边长为，结合迭加法求出，利用等比数列的等差数列的定义判断选项A，B，求出和取值情况判断选项C，D即可． 【详解】根据题意可知，封闭曲线的周长数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 由图可知，边数为，边长为， 所以比的面积增加了， 所以，，1，2，， 即，，，， 累计相加可得， 所以， 根据等差数列以及等比数列的定义可知，既不是等差数列，也不是等比数列，故选项A，B错误； 当时，，故选项C错误； 因为，故，使，故选项D正确． 故选：D 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率． 【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线， 延长交轴于点，则由平行于轴知，， 则,设内切圆半径为r， 则， ∴椭圆的离心率为． 故选：A﹒ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 已知，则在上的投影向量为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由数量积的定义即可判断，对于BC，根据空间向量的共面定理及推论，对于D，根据投影向量的计算公式可判断； 【详解】对于A，，可得，正确； 对于B，对于空间中任意一点，由， 因为，所以四点共面，正确； 对于C，由，可知共面，错误； 对于D，因为向量，可得， 所以在上的投影向量为，错误； 故选：AB 10. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 存在唯一的点P满足 C. 满足的点P的轨迹长度为 D. 存在点P满足 【答案】ABC 【解析】 【分析】在正方体中，证得平面平面，得到平面，求得点的轨迹长度，可判定A正确；以为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的垂直的坐标表示，列出方程，可判定B、C正确；求得点关于平面的对称点为，结合，可判定D错误. 【详解】对于A，如图（1）所示，在正方体中，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面，因为，且平面 所以平面平面，又因为平面，所以平面， 所以点在线段上运动，所以点的轨迹长度为，所以A正确； 对于B，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示， 可得，设，且， 则， 由， 解得，所以存在唯一的点使得，所以B正确； 对于C，由，可得， 即，因为， 当时，可得；当时，可得； 所以点的轨迹为线段，且， 则，所以C正确； 对于D，如图（2）所示，点关于平面的对称点为， 当点三点共线时，最短， 所以， 所以不存在点使得，所以D不正确. 故选：ABC. 11. 已知点是抛物线：上的一点，直线交抛物线于，，交轴于，交轴于，则下列结论正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 在点处的切线方程为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，将点代入方程得，由此即可判断；对于B，直接设直线方程（含参），联立抛物线，由即可验算；对于C，设直线方程为，由韦达定理、基本不等式即可验算；设直线方程为，由韦达定理、数量积验算即可. 【详解】对于A，将代入抛物线方程得，所以抛物线：的准线方程为，故A正确； 对于B，由题意在点处的切线斜率存在且不为0，所以设为， 联立抛物线方程得，，所以， 解得，所以在点处的切线方程为，故B错误； 对于C，若，直线斜率不为0，所以设直线方程为， 联立抛物线方程得，，显然， 所以，又， 所以，等号成立当且仅当，故C正确； 对于D，若，直线斜率不为0，所以设直线方程为， 联立抛物线方程得，， 或，， 所以， ， ， 所以，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________． 【答案】15 【解析】 【分析】由可得：，利用空间向量共线的充要条件列方程组计算即得. 【详解】因，依题意，必有， 即存在唯一的实数，使， 即：，则， 解得：，故. 故答案为：15. 13. 设数列 满足 ， 则 的通项公式______________ 【答案】 【解析】 【分析】设，当时，可求，当时，有，可求数列通项. 【详解】数列 满足， 设， 当时，有，即， 当时，有，得， 不符合， 所以. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左､右顶点分别为是圆上一点，点关于的对称点恰好在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，，，又在中，由余弦定理得，从而点的坐标为，将点的坐标代入双曲线方程可得解. 【详解】由图可得，在圆上，所以是直角， 又因为点关于的对称点恰好在双曲线上， 所以是的垂直平分线， 所以，所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 所以点横坐标为， 纵坐标为， 所以点的坐标为， 将点代入双曲线方程得， 得，所以，即， 所以，所以双曲线的离心率． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步橾． 15. 已知等差数列中，为数列的前项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由已知列方程求出首项和公差，可得答案； （2）求出及的通项公式，由裂项相消求和可得答案. 【详解】（1）∵①，② 由①②得，． ∴； （2）由（1）知，， ； ∴， ∴. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、数列求和，解题关键点是求出数列的首项和公差以及裂项相消求和，考查了学生的基础知识、基本运算. 16. 如图，三棱锥的三条侧棱两两重直，分别是棱的中点． （1）证明：平面平面： （2）求平面和平面所成夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，先证明平面，根据面面垂直的判定定理可得结论成立； （2）由题意建立空间直角坐标系，根据条件分别求得平面和平面的法向量，计算两个法向量的夹角的余弦值可得二面角的余弦值． 【小问1详解】 由三棱锥的三条侧棱两两垂直， 可得平面平面且， 所以平面，又平面，则， 因为是棱的中点，所以， 平面平面且，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由三棱锥的三条侧棱两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，所以平面的一个法向量为， 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面和平面所成夹角的余弦值为． 17. 设是等比数列的前项和，，且、、成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出等比数列的公比，然后利用等比数列的通项公式可求得； （2）利用等比数列的求和公式以及已知条件可得出关于的不等式，解之即可得解. 【小问1详解】 解：设等比数列的公比为，则， 由， 故. 【小问2详解】 解：，则， 整理得， 当为偶数时，，不合乎题意； 当为奇数时，则，可得，可得. 因此，的最大值为. 18. 已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答. （2）根据给定条件，求出线段AB的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答. 【小问1详解】 依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得， 所以C的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，抛物线C的准线方程为，设，，AB的中点为， 由消去y得，则，有，，即， 因此线段AB的中垂线方程为，即， 令，得，设所求圆的圆心为E，则， 又AB过C的焦点F，则有， 设所求圆的半径为r，则， 故所求圆的方程为． 19. 已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，试探究是否为定值？请说明理由. 【答案】（1） （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立的方程，直接求出即可得到结果； （2）设出直线方程，联立，通过消元得到，再由韦达定理得，，再直接对化简即可求出结果. 【小问1详解】 由，得到，又椭圆过点， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意知直线斜率不为0，设直线方程为，， 联立，消整理得， 所以， 又 ， 所以为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新校区2023级高二上学期第二次阶段性测试 数学试题 （时间120分钟，满分150分） 第Ⅰ卷（58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 150° 2. 已知数列是等差数列，且，则 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为 A. B. C. D. 4. 已知数列是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若，，则；③若数列的前n项和，则；④若，则数列是递增数列；其中正确的个数是（       ） A. B. C. D. 5. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. ] B. C. D. 7. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．如图，有一列曲线P0，P1，…，Pn，…．已知P0是边长为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作而得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉．．记Pn的周长为Ln、所围成的面积为Sn．对于，下列结论正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. ，使 D. ，使 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 已知，则在上的投影向量为 10. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 存在唯一的点P满足 C. 满足的点P的轨迹长度为 D. 存在点P满足 11. 已知点是抛物线：上的一点，直线交抛物线于，，交轴于，交轴于，则下列结论正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 在点处的切线方程为 C. 若，则 D. 若，则 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________． 13. 设数列 满足 ， 则 的通项公式______________ 14. 已知双曲线的左､右顶点分别为是圆上一点，点关于的对称点恰好在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步橾． 15. 已知等差数列中，为数列的前项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 16. 如图，三棱锥的三条侧棱两两重直，分别是棱的中点． （1）证明：平面平面： （2）求平面和平面所成夹角的余弦值． 17. 设是等比数列的前项和，，且、、成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的的最大值. 18. 已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程． 19. 已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，试探究是否为定值？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $