第8章实数知识精讲+随堂测试-2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第8章实数知识精讲+随堂测试-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024） 知识精讲 平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 随堂测试 一．选择题（共6小题） 1．（2024秋•裕华区校级期末）实数，，3.1415926，中无理数是（　　） A． B． C．3.1415926 D． 2．（2024秋•浦江县期末）在四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．π D． 3．（2024秋•碑林区校级期末）（　　） A．2 B．±4 C．4 D．﹣2 4．（2024秋•成华区期末）实数9的算术平方根是（　　） A．81 B．3 C．﹣3 D．±3 5．（2024秋•嵊州市期末）下列说法正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2 C．3 D．﹣6没有平方根 6．（2024秋•泰兴市期末）若实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（　　） A．﹣a＜﹣b B．|a|＞|b| C．ab＜0 D．b＜0＜a 二．填空题（共6小题） 7．（2024秋•钢城区期末）的相反数是 　 　；8的立方根为 　 　． 8．（2024秋•碑林区校级期末）比较大小： 　 　．（填“＞”，“＜”或“＝”） 9．（2024秋•宁夏期末）一个数的平方是9，这个数是 　 　． 10．（2024秋•湖州期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值是 　 　． 11．（2024秋•靖江市期末）若a，b为实数，且，则（a+b）2025＝　 　． 12．（2024秋•洪雅县期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，那么a﹣2b的平方根是　 　． 三．解答题（共6小题） 13．（2024秋•广陵区期末）计算： （1）|1|+（π﹣2024）0； （2）． 14．（2024秋•广陵区期末）解方程： （1）2（x+1）2＝8； （2）（x﹣3）3﹣27＝0． 15．（2024秋•钢城区期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9． （1）求这个正数m； （2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解． 16．（2024秋•沭阳县校级期末）已知：实数a，b满足|4﹣b|＝0． （1）求a和b的值； （2）求2a+10b的平方根． 17．（2024秋•宣化区期中）【综合与实践】如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片． （1）大正方形纸片的边长为 　 　cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为24cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 18．（2024秋•萧山区期中）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积和边长； （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使点A与﹣1重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 第8章实数知识精讲+随堂测试-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A． C B D B 一．选择题（共6小题） 1．（2024秋•裕华区校级期末）实数，，3.1415926，中无理数是（　　） A． B． C．3.1415926 D． 【解答】解：A．2，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．3.1415926是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（2024秋•浦江县期末）在四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．π D． 【解答】解：∵﹣20＜π， ∴最小的数是：﹣2． 故选：A． 3．（2024秋•碑林区校级期末）（　　） A．2 B．±4 C．4 D．﹣2 【解答】解：， 故选：C． 4．（2024秋•成华区期末）实数9的算术平方根是（　　） A．81 B．3 C．﹣3 D．±3 【解答】解：∵32＝9， ∴9的算术平方根为3， 故选：B． 5．（2024秋•嵊州市期末）下列说法正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2 C．3 D．﹣6没有平方根 【解答】解：A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意； B.8的立方根是2，因此选项B不符合题意； C.3，因此选项C不符合题意； D．﹣6没有平方根，因此选项D符合题意； 故选：D． 6．（2024秋•泰兴市期末）若实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（　　） A．﹣a＜﹣b B．|a|＞|b| C．ab＜0 D．b＜0＜a 【解答】解：由数轴可得，b＜0＜a，|a|＜|b|， ∴﹣a＜﹣b，故A说法正确，不符合题意； |a|＜|b|，故B说法错误，符合题意； ab＜0，故C说法正确，不符合题意； b＜0＜a，故D说法正确，不符合题意； 故选：B． 二．填空题（共6小题） 7．（2024秋•钢城区期末）的相反数是 　　；8的立方根为 　2　． 【解答】解：的相反数是：，8的立方根为：2， 故答案为：． 8．（2024秋•碑林区校级期末）比较大小： 　＞　．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【解答】解：∵2.236， ∴1.618， ∵1.6，1.618＞1.6， ∴． 故答案为：＞． 9．（2024秋•宁夏期末）一个数的平方是9，这个数是 　±3　． 【解答】解：∵（±3）2＝9， ∴这个数是±3， 故答案为：±3． 10．（2024秋•湖州期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值是 　　． 【解答】解：∵16的算术平方根式4，4是有理数， 又∵4的算术平方根式2，2是有理数， ∴还需求2的算术平方根是， ∵是无理数， ∴y的值是． 故答案为：． 11．（2024秋•靖江市期末）若a，b为实数，且，则（a+b）2025＝　﹣1　． 【解答】解：∵|a﹣1|0， ∴a﹣1＝0，b+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴（a+b）2025＝（1﹣2）2025＝﹣1， 故答案为：﹣1． 12．（2024秋•洪雅县期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，那么a﹣2b的平方根是　±1　． 【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝9， 解得a＝5； ∵3a+b﹣1的算术平方根是4， ∴3a+b﹣1＝16， ∴3×5+b﹣1＝16， 解得b＝2， ∴a﹣2b＝5﹣2×2＝1， ∴a﹣2b的平方根是：±±1． 故答案为：±1． 三．解答题（共6小题） 13．（2024秋•广陵区期末）计算： （1）|1|+（π﹣2024）0； （2）． 【解答】解：（1）|1|+（π﹣2024）0 ； （2） ＝3+2﹣（﹣2） ＝3+2+2 ＝7． 14．（2024秋•广陵区期末）解方程： （1）2（x+1）2＝8； （2）（x﹣3）3﹣27＝0． 【解答】解：（1）2（x+1）2＝8， （x+1）2＝4， x+1＝±2， x＝1或x＝﹣3； （2）（x﹣3）3﹣27＝0， （x﹣3）3＝27， x﹣3＝3， x＝6． 15．（2024秋•钢城区期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9． （1）求这个正数m； （2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解． 【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0， 解得a＝1， ∴m＝（1+6）2＝49； （2）当a＝1时，x2﹣16＝0， x2＝16， x＝±4． 16．（2024秋•沭阳县校级期末）已知：实数a，b满足|4﹣b|＝0． （1）求a和b的值； （2）求2a+10b的平方根． 【解答】解：（1）由题可知， ， 解得， 则a＝﹣2，b＝4． （2）2a+10b＝﹣2×2+10×4＝36， 故2a+10b的平方根为±6． 17．（2024秋•宣化区期中）【综合与实践】如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片． （1）大正方形纸片的边长为 　6　cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为24cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：大正方形的面积＝18×2＝36（cm2）， ∴大正方形纸片的边长6（cm）． 故答案为：6； （2）沿此大正方形边的方向，能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下： ∵长方形纸片的长宽之比为4：3， ∴设长方形纸片的长和宽分别是4x cm，3x cm， ∴3x•4x＝24， ∴x2＝2， ∵x＞0， ∴x， ∴长方形纸片的长是4x＝4cm， ∵46， ∴沿此大正方形边的方向，能裁剪出符合要求的长方形纸片． 18．（2024秋•萧山区期中）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积和边长； （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使点A与﹣1重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 【解答】解：（1）这个魔方的棱长为：4； （2）每个小正方体的棱长为：4÷2＝2； 阴影部分的边长为：CD2， 阴影部分的面积为：CD2＝（2）2＝8； （3）根据（2）可知AD＝2， ∵点A与﹣1重合， ∴点D表示的数为﹣1﹣2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$