18.2　特殊的平行四边形　第3课时　菱形的性质课件2024－2025学年 人教版数学八年级下册

第十八章　平行四边形 §18.2　特殊的平行四边形　 第3课时　菱形的性质 目录 CONTENTS A 课前导航预习 B 课内精讲精练 C 课后分层作业 课前导航预习 1. 如图，将一矩形纸片对折两次，沿虚线剪成①、②两部分，将①展开得到四边形ABCD. 分别从四边形ABCD的边、角、对角线三个方面想一想它们各有的特点. （1）菱形定义：有一组 　邻边　相等的 　平行四边形　叫做菱形. （2）菱形性质：菱形的四条边都 　相等　；菱形的两条对角线互相 　垂直　，并且每一条对角线 　平分　一组对角. （3）菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形. 邻边　 平行四边形　 相等　 垂直　 平分　 返回目录 上一页 下一页 2. 菱形的面积公式： （1）底乘高. （2）两条对角线 　乘积的一半　. 乘积的一半　 返回目录 上一页 下一页 课内精讲精练 典例探究 知识点1　菱形的定义与性质 解答下列问题. （1）菱形的周长为20cm，两个相邻内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线的长是 　5 　cm. 5 　 变式 返回目录 上一页 下一页 （2）[2023·嘉兴改编]如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF. ①求证：AE＝AF； ①证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D. 又∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF. 返回目录 上一页 下一页 ②解：∵∠B＝α，∴∠C＝180°－α. 由①，得△ABE≌△ADF，∴BE＝DF. 又∵BC＝DC，∴CE＝CF， ∴∠CEF＝ ＝ ＝ ， ∴∠AEF＝90°－∠CEF＝90°－ . ②若∠B＝α，求∠AEF（用含α的代数式表示）. 返回目录 上一页 下一页 规律方法 　　菱形是特殊的平行四边形，它不仅具有平行四边形的所有性质，还有其特有的性质.有关菱形的计算和证明经常与等腰三角形或直角三角形的知识相结合. 返回目录 上一页 下一页 知识点2　菱形的面积 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，求DH的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥DB，OA＝ AC＝4，OB＝ DB＝3， ∴AB＝ ＝5. 又∵DH⊥AB于点H， ∴S菱形ABCD＝ AC·DB＝AB·DH， 即 ×8×6＝5×DH，解得DH＝ . 变式 返回目录 上一页 下一页 规律方法 　　利用菱形的两个面积公式（等积思想）实现菱形对角线、边与高之间的联系. 返回目录 上一页 下一页 达标小练 达标练1　菱形的定义与性质 1. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在BC边上，且AE＝AC，则∠CAE的度数是（　A　） A. 40° B. 50° C. 55° D. 65° A 变式 返回目录 上一页 下一页 2. [2023·乐山]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE. 若AC＝6，BD＝8，则OE的长为（　B　） A. 2 B. C. 3 D. 4 B 返回目录 上一页 下一页 达标练2　菱形的面积 3. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC∶BD＝3∶4，AE⊥CD于点E，则AE的长是 　 　. 　 变式 返回目录 上一页 下一页 4. 如图，O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE. 若BD＝24，AD＝13，则OE的长是 　13　，四边形OBEC的面积是 　60　. 13　 60　 返回目录 上一页 下一页 课后分层作业 基础巩固 1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点.若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　C　） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 上一页 下一页 2. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐 标轴上，若点B的坐标为（－1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（　D　） A. （2，2） B. （ ，2） C. （3， ） D. （2， ） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 上一页 下一页 3. 如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（　D） A. B. 1 C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 上一页 下一页 4. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF. 若EF＝ ，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（　C　） A. 4 B. 4 C. 4 D. 28 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 变式 返回目录 上一页 下一页 5. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，F为CD的中点，连接OF. 若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为 　2 　. 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 上一页 下一页 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH. 若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为 　4　. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 上一页 下一页 7. [2024·牡丹江改编]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝8，以BC为边向△ABC外作了一个∠BCD＝60°的菱形BCDE，其对角线交于点O，连接AO，则△AOC的面积为 　36　. 36　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 变式 返回目录 上一页 下一页 8. 如图，P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是 　1　. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 变式 返回目录 上一页 下一页 9. 如图，已知菱形ABCD的周长为4 ，两条对角线的和为6，求 菱形ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝ ， ∴OA2＋OB2＝AB2＝5， ∴AC2＋BD2＝4（OA2＋OB2）＝20. 又∵AC＋BD＝6，∴（AC＋BD）2＝36， ∴AC2＋2AC·BD＋BD2＝36， ∴20＋2AC·BD＝36，∴AC·BD＝8， ∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 上一页 下一页 10. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH. 求证：∠DHO＝ ∠BCD. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，∠BOC＝90°. ∵DH⊥AB于点H，∴OH＝OB＝ BD， ∴∠OHB＝∠OBH. 又∵∠OBH＝∠OBC，∴∠OHB＝∠OBC. ∵∠DHO＋∠OHB＝90°，∠OCB＋∠OBC＝90°， ∴∠DHO＝∠OCB. 又∵∠OCB＝ ∠BCD， ∴∠DHO＝ ∠BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 变式 返回目录 上一页 下一页 解：如图，连接AC. ∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°， ∴△ABC和△ADC都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°. ∵∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝60°， ∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF. 在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE＝CF， ∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝AB＝5. 11. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B＝60°，点E，F分别 在边BC，CD上，且∠EAF＝60°，求CE＋CF的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 上一页 下一页 12. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD， BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上. （1）证明：∵四边形EFGH为矩形， ∴EH＝GF，EH∥GF，∴∠EHF＝∠GFH， ∴180°－∠EHF＝180°－∠GFH， 即∠EHD＝∠GFB. 又∵AD∥BC，∴∠EDH＝∠GBF， ∴△EDH≌△GBF（AAS），∴BG＝DE. （1）求证：BG＝DE； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）若E为AD的中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长. 返回目录 上一页 下一页 （2）若E为AD的中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长. （2）解：如图，连接EG. ∵E为AD的中点，∴AE＝DE＝BG. 又∵AE∥BG，∴四边形ABGE为平行四边形， ∴AB＝EG＝FH＝2， ∴菱形ABCD的周长为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD， BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上. （1）求证：BG＝DE； 返回目录 上一页 下一页 13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的 中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF. （1）求证：四边形OEFG是矩形； （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴OD＝OB. 又∵E是AD的中点， ∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥AB. 又∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形. 又∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°. ∴四边形OEFG是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）若AD＝10，EF＝4，求菱形ABCD的面积. 返回目录 上一页 下一页 （2）若AD＝10，EF＝4，求菱形ABCD的面积. （2）解：∵BD⊥AC，E是AD的中点， ∴OE＝AE＝ AD＝5， ∴AF＝ ＝3. ∵四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，OG＝EF＝4， ∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2， ∴OB＝ ＝2 ，∴OA＝ ＝4 ， ∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4× ×4 ×2 ＝80. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的 中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF. （1）求证：四边形OEFG是矩形； 返回目录 上一页 下一页 能力提升 14. 如图，在边长为2a的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE＋CF＝2a. （1）求证：△BEF是等边三角形； （1）证明：如图，连接BD. ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°， ∴△DAB，△DCB都是等边三角形， ∴DB＝CB，∠EDB＝∠FCB. ∵AE＋CF＝2a，AE＋ED＝AD＝2a， ∴DE＝CF，∴△EDB≌△FCB（SAS）， ∴∠EBD＝∠FBC，BE＝BF， ∴∠EBF＝∠DBC＝60°，∴△BEF是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）求△BEF周长和面积的最小值. 返回目录 上一页 下一页 14. 如图，在边长为2a的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE＋CF＝2a. （1）求证：△BEF是等边三角形； （2）求△BEF周长和面积的最小值. （2）解：当BE⊥AD时，BE最小， 从而△BEF的周长和面积最小.此时AE＝a， ∴BE＝ ＝ a， ∴△BEF周长的最小值为3 a. 由题意，得△BEF的高为 ＝ ， ∴△BEF面积的最小值为 · a· ＝ a2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 变式 返回目录 上一页 下一页 谢谢观看 $$