数学（宿迁卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试（宿迁卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A A D C B B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．5 10． 11．4或7 12．或 13．1 14． 15． 16． 17． 18．， 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【详解】 ． 20．（8分） 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∵a为绝对值小于或等于 2的整数， ∴， ∴原式． 21． （8分） 【详解】证明：四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， 与相交于点O， . 22． （8分） 【详解】（1）解：，， 故答案为：50，11； （2）解：项目为“自行车”占， ∴“自行车”对应的扇形的圆心角为：， 故答案为：； （3）解：该校1200名学生中，估计最喜爱的省运会项目是“篮球”的学生人数为：（人）． 23． （10分） 【详解】（1）解：王明随机翻开一张卡片，是“新”字的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图， 一共有种等可能的结果，刚好能组成一个词语有种， ∴刚好能组成一个词语的概率为． 24． （10分） 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点C， 由题意知，，，，． 在中，， ∴． 在中，． ∴． 答：教学楼的高度约为16米． 25． （10分） 【详解】（1）解：如图，连接，， 为的切线， ， ． ， ， 即垂直平分， ． 在和中， ， ， ， ． 又是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则，， 由（1）可知． ， ， 解得：， ， ， ， ， ，， ． ， ， ． 26． （10分） 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 27． （12分） 【详解】解：（1）∵在矩形中，，， ∴， ∵将沿翻折，点刚好落在边上的点处， ∴， ∴在中，， ∴的长为； （2）延长交于点，过点、点作射线，则射线是的角平分线． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，点落在正方形内一点处， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线， 则射线即为所作；    （3）延长交的延长线于点，过点作于点，设，， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵将沿翻折，点落在矩形外一点处，， ∴，，，， ∴，， ， ∴，即， ∴， 在中，， 即：， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积是； 故答案为：；    （4）过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵将沿翻折，点落在点处， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的延长线交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴当点与点重合时，， 此时在中，， ∵， 即：， 解得：， ∴， ∴当点从点运动到点时，点运动的路径是线段，长度为． 故答案为：．    28． （12分） 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知，则令时，， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（此时B，P重合，不合题意舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， ∵直线的解析式为，， ∴直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵，， ∴， ∴，∴， 设，则，∴， ， ∵， ∴当时，有最大值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（宿迁卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．-2025的绝对值是（   ） A．-2025 B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．根据文化旅游部公布数据显示，2024年国庆节假期，全国国内出游765000000人次，将765000000这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 5．如图，是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数之和为，则的值为（   ） A．5 B．7 C． D． 6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 8．如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，则正方形的面积是（   ） A．8 B．16 C． D．12 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9． ． 10．分解因式： ． 11．等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长为 ． 12．已知有一组正整数，，，，，如果这组数据的中位数和平均数相等，那么的值是 ． 13．表示不超过a的最大整数，则的值为 ． 14．某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升，如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ． 15．如图，边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，则点B的坐标是 ． 16．已知关于x，y的方程组与有相同的解，则 ． 17．用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，．若，则 ． 18．如图，在射线上依次取点、，使，，分别以、为边在射线上下两侧作等边与等边，为上一点，，现将线段沿射线平移，得到，连，，则 （1）当时，的长为 ． （2）线段的平移过程中，最小值为 ．    三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：． 20．（8分）先化简， 再求值： ，其中a为绝对值小于或等于 2的整数． 21．（8分）已知，如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，，与相交于点O．求证：． 22．（8分）某校为了了解学生“最喜爱的奥运会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”“羽毛球”“自行车”“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表： 最喜爱的奥运会项目的人数调查统计表             最喜爱的奥运会项目 人数 篮球 20 羽毛球 9 自行车 10 游泳 a 其他 b 合计 根据以上信息，请回答下列问题： (1)这次调查的样本容量是______，______； (2)扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角的大小为______； (3)若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的奥运会项目是篮球的学生人数． 23．（10分）春节是中华民族的盛大节日，蕴含着中华民族深厚的历史文化内涵，北京时间12月4日，我国申报的“春节”申遗成功，表明国际社会对春节承载的文化价值的认可．春节意味辞旧迎新、阖家欢乐、祈求吉祥，有贴春联、赏烟花、拜年等众多的习俗，表达人们对美好生活的期盼．小东将写有“新”、“年”、“快”、“乐”的卡片反面朝上放在桌上，反面没有任何差别． (1)王明随机翻开一张卡片，是“新”字的概率是 ； (2)用列表法或画树状图，求王明随机翻开两张卡片，刚好能组成一个词语的概率． 24．（10分）如图，数学活动小组同学用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升到距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度约为多少米．（结果精确到，参考数据：，，） 25．（10分）如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求线段的长及阴影部分的面积． 26．（10分）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 27．（12分）在学习了《中心对称图形》一章后，某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】（1）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点刚好落在边上的点处，若，，求长．    【探究2】（2）操作：如图，点是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点落在正方形内一点处，请用无刻度直尺作出的角平分线，并说明理由． 【探究3】（3）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在矩形外一点处，连接，若，，，则的面积是________．    【探究4】（4）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，点运动的路径长是_______． 28．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试（宿迁卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题10分，共30分） 9. _________________ 10．___________________ 11. __________________ 12．__________________ 13.___________________ 14. ___________________ 15.___________________ 16. ___________________ 17.___________________ 18. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10分） 26.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（12分） 28.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第一次模拟考试（宿迁卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 10 分，共 30 分） 9. _________________ 10．___________________ 11. __________________ 12．__________________ 13.___________________ 14. ___________________ 15.___________________ 16. ___________________ 17.___________________ 18. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8 分） 20．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 22．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 24．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10 分） 26.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（12 分） 28.（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（宿迁卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．-2025的绝对值是（   ） A．-2025 B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．根据文化旅游部公布数据显示，2024年国庆节假期，全国国内出游765000000人次，将765000000这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 5．如图，是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数之和为，则的值为（   ） A．5 B．7 C． D． 6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 8．如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，则正方形的面积是（   ） A．8 B．16 C． D．12 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9． ． 10．分解因式： ． 11．等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长为 ． 12．已知有一组正整数，，，，，如果这组数据的中位数和平均数相等，那么的值是 ． 13．表示不超过a的最大整数，则的值为 ． 14．某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升，如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ． 15．如图，边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，则点B的坐标是 ． 16．已知关于x，y的方程组与有相同的解，则 ． 17．用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，．若，则 ． 18．如图，在射线上依次取点、，使，，分别以、为边在射线上下两侧作等边与等边，为上一点，，现将线段沿射线平移，得到，连，，则 （1）当时，的长为 ． （2）线段的平移过程中，最小值为 ．    三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：． 20．（8分）先化简， 再求值： ，其中a为绝对值小于或等于 2的整数． 21．（8分）已知，如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，，与相交于点O．求证：． 22．（8分）某校为了了解学生“最喜爱的奥运会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”“羽毛球”“自行车”“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表： 最喜爱的奥运会项目的人数调查统计表             最喜爱的奥运会项目 人数 篮球 20 羽毛球 9 自行车 10 游泳 a 其他 b 合计 根据以上信息，请回答下列问题： (1)这次调查的样本容量是______，______； (2)扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角的大小为______； (3)若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的奥运会项目是篮球的学生人数． 23．（10分）春节是中华民族的盛大节日，蕴含着中华民族深厚的历史文化内涵，北京时间12月4日，我国申报的“春节”申遗成功，表明国际社会对春节承载的文化价值的认可．春节意味辞旧迎新、阖家欢乐、祈求吉祥，有贴春联、赏烟花、拜年等众多的习俗，表达人们对美好生活的期盼．小东将写有“新”、“年”、“快”、“乐”的卡片反面朝上放在桌上，反面没有任何差别． (1)王明随机翻开一张卡片，是“新”字的概率是 ； (2)用列表法或画树状图，求王明随机翻开两张卡片，刚好能组成一个词语的概率． 24．（10分）如图，数学活动小组同学用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升到距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度约为多少米．（结果精确到，参考数据：，，） 25．（10分）如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求线段的长及阴影部分的面积． 26．（10分）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 27．（12分）在学习了《中心对称图形》一章后，某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】（1）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点刚好落在边上的点处，若，，求长．    【探究2】（2）操作：如图，点是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点落在正方形内一点处，请用无刻度直尺作出的角平分线，并说明理由． 【探究3】（3）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在矩形外一点处，连接，若，，，则的面积是________．    【探究4】（4）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，点运动的路径长是_______． 28．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（宿迁卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．-2025的绝对值是（   ） A．-2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：-2025的绝对值是， 故选：． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则，幂的乘方运算法则分别判断得出答案． 【详解】A．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，而不是，所以 A 选项错误． B．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，，而不是，所以 B 选项错误． C．根据幂的乘方，，而不是，所以 C 选项错误． D．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，， D 选项正确． 故选D． 3．根据文化旅游部公布数据显示，2024年国庆节假期，全国国内出游765000000人次，将765000000这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选A． 4．如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 故选：A 5．如图，是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数之和为，则的值为（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，结合纸盒中相对两个面上的数之和为，分别求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 故选：D． 6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设合伙人数为x，金价为y钱，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱”，即可得出关于的x二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设合伙人数为x，金价为y钱，根据题意： ， 故选：C． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：． 8．如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，则正方形的面积是（   ） A．8 B．16 C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用、正方形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点的坐标为，则，，根据正方形的性质求出点的坐标，从而可得点的坐标，代入反比例函数的解析式可求出，由此即可得． 【详解】解：设点的坐标为，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 将点代入反比例函数得：， 整理得：， ∴， ∴正方形的面积是， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9． ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质．根据二次根式性质进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：5． 10．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 11．等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长为 ． 【答案】4或7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，理解并掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分类讨论：当腰长是4时，三边长分别为4，4，7；当腰长是7时，三边长分别为4，7，7；再根据三角形三边数量关系判定是否符合题意即可． 【详解】解：当腰长是4时，三边长分别为4，4，7， ∵，符合题意， ∴第三边长为4； 当腰长是7时，三边长分别为4，7，7， ∵，符合题意， ∴第三边长为7； 综上所述，第三边长为4或7， 故答案为：4或7 ． 12．已知有一组正整数，，，，，如果这组数据的中位数和平均数相等，那么的值是 ． 【答案】或/8或3 【分析】此题考查了中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是根据中位数和平均数相等列出方程．根据这组数据的中位数和平均数相等，分和两种情况列方程求解即可． 【详解】解：这组数据的中位数和平均数相等， 当时，， 解得：． 当时，， 解得：． 故答案为：或． 13．表示不超过a的最大整数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了求不等式的整数解，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵表示不超过a的最大整数， ∴的值为， 故答案为： 14．某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升，如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15．如图，边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，连接，过点作，根据正六边形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，过点作， ∵正六边形的边长为2，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴，即：轴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．已知关于x，y的方程组与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键。 依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与方程组有相同的解， ∴，解得：， 把分别代入与 得：，解得：； 故答案为：． 17．用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，平方的非负性，根据题意正确列式是解题关键．根据题意，先用含有a、b的代数式分别表示    、，再根据，得到，然后利用平方的非负性求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 18．如图，在射线上依次取点、，使，，分别以、为边在射线上下两侧作等边与等边，为上一点，，现将线段沿射线平移，得到，连，，则 （1）当时，的长为 ． （2）线段的平移过程中，最小值为 ．    【答案】 【分析】（1）根据是等边三角形，，，，可得，是等腰三角形，从而可得是直角三角形，利用勾股定理可得的长； （2）连接，作交于点，可得四边形和四边形是平行四边形，通过边的转化，可得，即即当D、、G三点共线， 时，的值最小，由证得，可得，在中，利用勾股定理求出的长度，即最小值． 【详解】解：（1），，， ， 是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， 即是直角三角形， ，， （2）连接，作交于点，   线段沿射线平移，得到， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 要使有最小值，即当D、、G三点共线， 时，的值最小， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中， 即线段的平移过程中，最小值为 【点睛】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，掌握平移的性质和等边三角形的性质时解决本题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值、负整数指数幂运算、二次根式化简、特殊角度三角函数、二次根式加减运算的知识，掌握以上基础运算的法则是解本题的关键．先计算负整数指数幂、化简绝对值，再化简二次根式，从而完成求解． 【详解】 ． 20．（8分）先化简， 再求值： ，其中a为绝对值小于或等于 2的整数． 【答案】，时，原式= 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分子和分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，再计算减法得到最终化简结果，最后根据分式有意义的条件确定a的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∵a为绝对值小于或等于 2的整数， ∴， ∴原式． 21．（8分）已知，如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，，与相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形性质和判定，结合平行四边形性质题意证明四边形为平行四边形，进而即可证明． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， 与相交于点O， . 22．（8分）某校为了了解学生“最喜爱的奥运会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”“羽毛球”“自行车”“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表： 最喜爱的奥运会项目的人数调查统计表             最喜爱的奥运会项目 人数 篮球 20 羽毛球 9 自行车 10 游泳 a 其他 b 合计 根据以上信息，请回答下列问题： (1)这次调查的样本容量是______，______； (2)扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角的大小为______； (3)若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的奥运会项目是篮球的学生人数． 【答案】(1)50，11 (2) (3)480人 【分析】本题主要考查了扇形统计图的有关计算，用样本估计总体，准确分析是解题的关键． （1）用“羽毛球”的人数除以所占百分比即可得出结果；用总人数减去其他三项的人数即可得到结果； （2）先算出“自行车”的占比，再乘以即可； （3）用总人数乘以“篮球”占比即可； 【详解】（1）解：，， 故答案为：50，11； （2）解：项目为“自行车”占， ∴“自行车”对应的扇形的圆心角为：， 故答案为：； （3）解：该校1200名学生中，估计最喜爱的省运会项目是“篮球”的学生人数为：（人）． 23．（10分）春节是中华民族的盛大节日，蕴含着中华民族深厚的历史文化内涵，北京时间12月4日，我国申报的“春节”申遗成功，表明国际社会对春节承载的文化价值的认可．春节意味辞旧迎新、阖家欢乐、祈求吉祥，有贴春联、赏烟花、拜年等众多的习俗，表达人们对美好生活的期盼．小东将写有“新”、“年”、“快”、“乐”的卡片反面朝上放在桌上，反面没有任何差别． (1)王明随机翻开一张卡片，是“新”字的概率是 ； (2)用列表法或画树状图，求王明随机翻开两张卡片，刚好能组成一个词语的概率． 【答案】(1)； (2)见解析，． 【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可； （）画出树状图，利用概率公式计算即可； 本题考查了列表法或画树状图求概率，熟练掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键． 【详解】（1）解：王明随机翻开一张卡片，是“新”字的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图， 一共有种等可能的结果，刚好能组成一个词语有种， ∴刚好能组成一个词语的概率为． 24．（10分）如图，数学活动小组同学用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升到距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度约为多少米．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度约为16米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解仰角、俯角的意义是解题的关键；延长，交的延长线于点C，由题意易得，，，，然后根据三角函数可进行求解 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点C， 由题意知，，，，． 在中，， ∴． 在中，． ∴． 答：教学楼的高度约为16米． 25．（10分）如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求线段的长及阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)，阴影部分的面积为 【分析】本题考查圆的综合运用，涉及垂径定理，切线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆中阴影面积的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，，利用得出垂直平分，得出，证明，结合切线的性质得出即可证明； （2）设的半径为，则，，在中，利用列式求出，利用， 求出，则，即可求出和，则可求出，求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， 为的切线， ， ． ， ， 即垂直平分， ． 在和中， ， ， ， ． 又是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则，， 由（1）可知． ， ， 解得：， ， ， ， ， ，， ． ， ， ． 26．（10分）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元 (2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答． （2）设生产B产品a件，生产A产品件，依题意，列式，然后解出，再结合a的值为非负整数，即可作答． 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 27．（12分）在学习了《中心对称图形》一章后，某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】（1）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点刚好落在边上的点处，若，，求长．    【探究2】（2）操作：如图，点是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点落在正方形内一点处，请用无刻度直尺作出的角平分线，并说明理由． 【探究3】（3）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在矩形外一点处，连接，若，，，则的面积是________．    【探究4】（4）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，点运动的路径长是_______． 【答案】（1）；（2）作图见解析，理由见解析；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质可得，由翻折的性质可得，再根据勾股定理即可求得的长； （2）延长交于点，过点、点作射线，则射线是的角平分线．理由：根据正方形的性质可得，，根据翻折的性质得到，，然后证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）延长交的延长线于点，过点作于点，设，，根据矩形的性质可得，，，由平行线的性质得到，根据翻折的性质得到，，，，可得，，根据等角对等边有，，在中，，得到，然后由，求得，最后根据三角形的面积公式可得结论； （4）过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设，证明四边形是矩形，结合翻折的性质证明，从而证明四边形是正方形，，当点与点重合时，点运动的路径是线段，则，在中，，根据，解得：，，可得答案． 【详解】解：（1）∵在矩形中，，， ∴， ∵将沿翻折，点刚好落在边上的点处， ∴， ∴在中，， ∴的长为； （2）延长交于点，过点、点作射线，则射线是的角平分线． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，点落在正方形内一点处， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线， 则射线即为所作；    （3）延长交的延长线于点，过点作于点，设，， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵将沿翻折，点落在矩形外一点处，， ∴，，，， ∴，， ， ∴，即， ∴， 在中，， 即：， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积是； 故答案为：；    （4）过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵将沿翻折，点落在点处， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的延长线交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴当点与点重合时，， 此时在中，， ∵， 即：， 解得：， ∴， ∴当点从点运动到点时，点运动的路径是线段，长度为． 故答案为：．    【点睛】本题是四边形综合题，考查翻折的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握翻折的性质、正方形和矩形的判定和性质是解题的关键．也考查了应用与设计作图． 28．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由（1）可知，则有，然后求出直线的解析式为，然后可设，则有，进而根据可建立方程进行求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，作交y轴于N，作轴交于Q，则有，即，设，则，进而根据相似三角形的性质建立函数关系式，最后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知，则令时，， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（此时B，P重合，不合题意舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， ∵直线的解析式为，， ∴直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$