1.3集合的基本运算 第1课时 交集与并集 课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章　1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 下页 结束 返回 上页 首页 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集. 2.能使用Venn图、数轴表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 学习目标 1 两个实数之间有加、减等基本运算， 两个集合之间是否也有相似的运算呢？ 下页 结束 返回 上页 首页 下页 结束 返回 上页 首页 2，10，8 8 ，3，12 A B C 2，10， 3，12 8 D 8 3，12 2，10， 一般地，由属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合， 称为A与B的交集. 记作：A∩B（读作：“A交B”） 即： A ∩ B ={x| x ∈ A， x ∈ B} Venn图 表示： 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合， 是由集合A与B 的公共元素组成的集合． 1、交集的定义 A B A∩B= A∩B A B A∩B B 且 下页 结束 返回 上页 首页 A⊆B Venn 图 注意：当集合A和集合B没有公共元素时，不 能说A与B没有交集，而是A，B的交集为 ∅． = B A A∩B=A 下页 结束 返回 上页 首页 {x|1<x<2} {x|1<x≤2} 5图 2图 下页 结束 返回 上页 首页 2，10，8 8 ，3，12 A B C 2，10， 3，12 8 D 8 3，12 2，10， 注意：数学中的“或”的含义 不同于生活中的“或” 思考：A∪B由哪几部分组成呢？ Ⅰ Ⅱ Ⅲ 数学中的“或”的含义是：二者相加，二者都取 A∪B A B A∪B A B A∪B A B 下页 结束 返回 上页 首页 B ⊆ A B A Venn 图 区分： A B A∩B＝A A⊆B = （5） ( ) ( ) 下页 结束 返回 上页 首页 {x|1≤x＜2} {x|－3＜x≤3} {0,1} {－1,0,1,2} {x|0≤x＜1} R 下页 结束 返回 上页 首页 1图 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集.(　　) 2.若A∩B＝∅，则A，B均为空集.(　　) 3.若A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素. (　　) 4.若x∈A∩B，则x∈A∪B.(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU √ × √ × 下页 结束 返回 上页 首页 例3　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围. 三、交集、并集的运算性质及综合应用 解　(1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A. (2)当B≠∅时，要使A∪B＝A， 下页 结束 返回 上页 首页 B A 延伸探究 1.把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围. 解　由A∩B＝A可知A⊆B. 所以k的取值范围为∅. 下页 结束 返回 上页 首页 2.把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值. 所以k的值为3. 下页 结束 返回 上页 首页 反思感悟 (1)在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况. (2)集合运算常用的性质： ①A∪B＝B⇔A⊆B； ②A∩B＝A⇔A⊆B； ③A∩B＝A∪B⇔A＝B. 下页 结束 返回 上页 首页 跟踪训练3　已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}. (1)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围； 解　因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以a>5或a＋3<－1，即a的取值范围为a>5或a<－4. (2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围. 下页 结束 返回 上页 首页 4.设集合A＝{x|x是参加自由泳的运动员}，B＝{x|x是参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示 A.A∩B B.A⊇B C.A∪B D.A⊆B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　因为集合A＝{x|x是参加自由泳的运动员}， B＝{x|x是参加蛙泳的运动员}， 所以“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为A∩B，故选A. 下页 结束 返回 上页 首页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.某班同学参加数学、物理竞赛，有15名同学参加了数学竞赛，11名同学参加了物理竞赛，其中两个竞赛都参加的有5名.这两个竞赛中，这个班共有_____名学生参赛. 21 解析　因为15名同学参加了数学竞赛，11名同学参加了物理竞赛，两个竞赛都参加的有5名， 所以只参加了数学竞赛的有10名同学，只参加了物理竞赛的有6名同学， 则参加比赛的同学共有10＋6＋5＝21(名). 下页 结束 返回 上页 首页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知集合A＝{a，b，c，d}，B＝{b，c，d，e}，C＝{a，d，f}，则(A∪B)∩C与(A∩C)∪(B∩C)的关系是____________________________. (A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C) 解析　(A∪B)∩C＝{a，b，c，d，e}∩{a，d，f}＝{a，d}； (A∩C)∪(B∩C)＝{a，d}∪{d}＝{a，d}. 所以(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C). 下页 结束 返回 上页 首页 例1　(1)若集合A＝{x∈Z|－3<x<3}，B＝{x∈N|0≤x≤3}，则A∩B等于 A.{0,1,2} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{0,1,2,3} 一、交集的运算及应用 √ 解析　将集合A，B化简，得A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，借助Venn图，可得A∩B＝{0,1,2}. 下页 结束 返回 上页 首页 (2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么M∩N为 A.x＝3，y＝－1 B.(3，－1) C.{3，－1} D.{(3，－1)} √ 下页 结束 返回 上页 首页 反思感悟 求两个集合的交集时，若元素个数有限，则逐个挑出两个集合的公共元素；若集合个数无限，一般要借助数轴求解，要注意端点值的取舍. 下页 结束 返回 上页 首页 例2　(1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于 A.{x|x>－2} B.{x|x>－1} C.{x|－2<x<－1} D.{x|－1<x<2} 二、 并集的运算及应用 √ 解析　 画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}. 下页 结束 返回 上页 首页 跟踪训练1　已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于 A.{x|x>－1} B.{x|x<2} C.{x|－1<x<2} D.∅ √ 解析　在数轴上标出集合A，B，如图所示. 故A∩B＝{x|－1<x<2}. 下页 结束 返回 上页 首页 跟踪训练2　设集合A＝{x|x≤1或x≥3}，B＝{x|2x－3≤0}，则A∪B等于 √ 下页 结束 返回 上页 首页 (2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为 A.0 B.1 C.2 D.4 √ 解析　∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}， ∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4. 下页 结束 返回 上页 首页 核心素养之逻辑推理 HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI 含字母的集合运算忽视空集或检验 典例　(1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是 A.1或2 B.2或4 C.2 D.1 √ 解析　∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2. 当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}，不符合题意； 当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}，符合题意. 下页 结束 返回 上页 首页 (2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为__________. 解析　由题意，得A＝{1,2}.∵A∩B＝B，∴B⊆A， ∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2； 当B≠∅时， 当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意； 当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不符合题意. 综上所述，a的取值范围是[2，＋∞). [2，＋∞) 下页 结束 返回 上页 首页 素养提升 (1)经过数学运算后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视. (2)在本例(2)中，A∩B＝B⇔B⊆A，B可能为空集，极易被忽视. (3)通过对空集的讨论，培养逻辑推理素养. 下页 结束 返回 上页 首页 2.若集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤2或x≥3}，则A∩B等于 A.{x|2≤x≤3} B.{x|x<2或x≥3} C.{x|x≥3} D.{x|0<x≤2或x≥3} 1 2 3 4 5 √ 解析　借助数轴，可得A∩B＝{x|0<x≤2或x≥3}. 下页 结束 返回 上页 首页 3.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是 A.{0,1} B.{0} C.{－1,2,3} D.{－1,0,1,2,3} 1 2 3 4 5 √ 解析　 由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P. 因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}.故选D. 下页 结束 返回 上页 首页 31 1 2 3 4 5 4.已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|x≤－3}，则M∩N＝____. ∅ 解析　利用数轴表示集合M与N，可得M∩N＝∅. 下页 结束 返回 上页 首页 5.已知集合A＝(－1,2)，B＝(0,3)，则A∪B＝________. 1 2 3 4 5 (－1,3) 解析　 因为A＝(－1,2)，B＝(0,3)， 所以A∪B＝(－1,3). 下页 结束 返回 上页 首页 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 1.知识清单： (1)交集、并集的概念及运算. (2)交集、并集的性质. (3)由交集、并集的关系求参数值或范围. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论；求解参数后，易忽视代入原集合进行检验这一步骤. 下页 结束 返回 上页 首页 2.集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{0,2}，C＝{－1,0,1}，则(A∩C)∪B等于 A.{－1,0,1,2} B.{0,2} C.{0,1,2} D.{－1,0,2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　A∩C＝{－1,0,1}，(A∩C)∪B＝{－1,0,1,2}. 下页 结束 返回 上页 首页 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N等于 A.{－2，－1,0,1} B.{－3，－2，－1,0} C.{－2，－1,0} D.{－3，－2，－1} √ 解析　M∩N＝{－2，－1,0}，故选C. 下页 结束 返回 上页 首页 3.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于 A.{x|x≥－1} B.{x|x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|－1≤x≤2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　借助数轴可知A∪B＝{x|x≥－1}. 下页 结束 返回 上页 首页 5.(多选)集合M＝{x|－1≤x≤3}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素为 A.－1 B.0 C.1 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}， ∴M∩N＝{1,3}，故选CD. √ √ 下页 结束 返回 上页 首页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是__________. [2，＋∞) 解析　 ∵A∪B＝A，∴B⊆A. 又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2. 下页 结束 返回 上页 首页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值. 解　因为A∩B＝{3}，所以3∈A. 从而可得p＝8，所以A＝{3,5}. 又由于3∈B，且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}， 所以B＝{2,3}. 所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3. 由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6. 综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6. 下页 结束 返回 上页 首页 解　如图所示，A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∩B＝∅， ∴数轴上的点x＝a在x＝－1的左侧(含点x＝－1)， ∴a≤－1，即a的取值范围为(－∞，－1]. 10.集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}. (1)若A∩B＝∅，求a的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 下页 结束 返回 上页 首页 解　如图所示，A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∪B＝{x|x<1}， ∴数轴上的点x＝a在x＝－1和x＝1之间(含点x＝1，但不含点x＝－1)， ∴－1<a≤1，即a的取值范围为(－1,1]. (2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 下页 结束 返回 上页 首页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是_________，若A∩B＝∅，则a的取值范围为__________. {a|a>2} 解析　根据题意，集合A＝{x|1≤x≤2}， 在数轴上表示为： 若A∩B＝A，则有A⊆B，必有a>2， 若A∩B＝∅，必有a≤1. {a|a≤1} 下页 结束 返回 上页 首页 观察下列各个集合，你能说出集合C，D与集合A，B之间的关系吗？ A=｛2，8，10｝， B=｛3，8，12｝，C=｛8｝，D=｛2，3，8，10，12｝ (4)运算性质： A∩B B∩A， A∩B A， A∩B B； A∩A＝ ， A∩∅＝ ， A∩B＝A ⊆ ⊆ A ∅ 2．若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝________. 3．若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜-1}，则A∩B＝________. ∅ 4．若集合A＝{(x,y)|y=x+1}，B＝{(x,y)|y= -x+5}，则A∩B＝________. {(2,3)} 6．若集合A＝{1,2}，B＝{(1,2) , (3,4) }，则A∩B＝________. ∅ 5．若集合A＝{x|x＞1}，B＝{y|y＜2}，则A∩B＝ _________. 1．若集合A＝{1,6,7,8}，B＝{2,6,7,9}，则A∩B＝________. {6,7} 观察下列各个集合，你能说出集合C，D与集合A，B之间的关系吗？ A=｛2，8，10｝， B=｛3，8，12｝，C=｛8｝，D=｛2，3，8，10，12｝ 2．并集 一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集．记作A∪B (读作“A并B”)． (2)符号表示：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (3)图形表示: A A (4)并集运算性质： A∪B B∪A，A A∪B， B A∪B； A∪A＝ ， A∪∅＝ ， A∪B＝A ⊆ ⊆ (1)设集合M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝______________， M∪N＝______________； (2)若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N＝________，M∪N＝__________. (3)设集合A＝{x|x＜1}，B＝{y|y≥0}，则A∩B＝__________，A∪B＝________； 只需解得2≤k≤. 综合(1)(2)可知k的取值范围是. 所以即所以k∈∅. 解　由题意可知解得k＝3. 解　因为A∩B＝∅，所以解得－1≤a≤2. 解析　由解得∴M∩N＝{(3，－1)}. A.{x|x≤1或x≥3} B.{x|1≤x≤3} C. D. 解析　∵集合A＝{x|x≤1或x≥3}，B＝{x|2x－3≤0}＝， ∴A∪B＝. $$