1.2集合的基本关系　课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.2　集合的基本关系 下页 结束 返回 上页 首页 1.理解子集、真子集、集合相等的概念. 2.能用符号和Venn图表达集合间的关系. 3.掌握列举有限集的所有子集的方法. 学习目标 1 在第一组中集合A 中的任何一个元素都是集合B的元素.这时我们说集合A与集合B有包含关系.第二组的集合A与集合 B也有这种关系。 A={1，3，5，7}；B={1，2，3，4，5，6，7}. A= {高一1班的男生} ；B= {高一1班的学生} . 观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？ 3. A= {x∈Z|x＞7} ；B= {x|x＞7} . 4. A={x|x2－1=0}；B={－1，1}. 结论： 下页 结束 返回 上页 首页 5.A={x|x是正三角形}与B={x|x是等腰三角形}.   定义 符号表示 图形表示 子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集 A B(或B A) 或 1.子集、真子集、集合相等 知识点　子集、真子集、集合相等 ⊆ ⊇ 下页 结束 返回 上页 首页 集合 相等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集， 那么称集合A与集合B相等 A B   真子集 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集 A ≠ B(或B ≠ A)   ＝ 下页 结束 返回 上页 首页 且 集合A与集合B的元素完全一样。 思考　符号“∈”与符号“⊆”表示的含义相同吗？ 答案　不相同，“∈”表示的是元素与集合之间的关系，“⊆”表示的是两个集合之间的关系. 2.子集的性质 (1)任何一个集合都是它本身的 ，即A⊆A. (2)规定：空集是任何集合的子集. 子集 下页 结束 返回 上页 首页 空集是任何非空集合的真子集，即若A≠ ,则 A。 5. 子集的性质 任何一个集合是它本身的子集，即 对于集合A、B、C，如果 ，且 ，那么 . C B A 下页 结束 返回 上页 首页 子集的传递性 真子集的传递性 下页 结束 返回 上页 首页 总结：如果集合A中有n个元素则 子集的个数 真子集的个数 非空真子集个数 跟踪训练　已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，则集合A的子集的个数为 A.15 B.16 C.31 D.32 解析　A＝{0,1,2,3,4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32. √ 下页 结束 返回 上页 首页 答案　不相等.{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 思考　{0}与∅相等吗？ 下页 结束 返回 上页 首页 1.若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.(　　)2.任何一个集合都有子集.(　　) 3.空集是任何集合的真子集.(　　)4.{0,1,2}⊆{2,0,1}.(　　) 思考辨析 判断正误 √ √ 下页 结束 返回 上页 首页 例1　(1)下列各式中，正确的个数是 ①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③∅ {0}；④{0,1}＝{(0,1)}；⑤0＝{0}. A.1 B.2 C.3 D.4 √ ≠ × √ (2)指出下列各组集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； 解　集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. ②M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}. 下页 结束 返回 上页 首页 ≠ A=（0，2） B={x|x≤3} C=(-∞,3] A B C D D=(-∞,5] 下页 结束 返回 上页 首页 跟踪训练　能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是 解析　x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}， 易得NM，其对应的Venn图如选项B所示. √ 下页 结束 返回 上页 首页 ①当B＝{x|mx＝1}＝∅时，m＝0； 综上所述，m的值为0或－3或2. √ √ √ 下页 结束 返回 上页 首页 2.已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是 A.0⊆A B.{0}∈A C.∅∈A D.{0}⊆A 1 2 3 4 5 √ 下页 结束 返回 上页 首页 3.下列表示正确的是 A.{0}∈N B.{0}⊆N＋ C.{0}真包含于N D.{0}⊆∅ √ 5.已知集合A＝{x|x≤－2或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若B真包含于A，则实数a的取值范围是__________. 1 2 3 4 5 [1，＋∞) 解析　∵B真包含于A，∴a≥1. 下页 结束 返回 上页 首页 例2　已知集合A＝{x|ax2－5x＋6＝0}，若2∈A，列举集合A的子集并指出有多少个真子集. 二、子集、真子集的个数问题 解　依题意得4a－10＋6＝0，解得a＝1. 则x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3， 所以A＝{2,3}. 所以集合A的子集有∅，{2}，{3}，{2,3}，共4个. 真子集有∅，{2}，{3}，共3个. 下页 结束 返回 上页 首页 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围. ≠ 下页 结束 返回 上页 首页 解　(1)当B≠∅时，如图所示. 解这两个不等式组，得2≤m≤3. (2)当B＝∅时， 由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，m的取值范围是(－∞，3]. A B 解　(1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. (2)当B≠∅时，如图所示. 综上可得，m的取值范围是(－∞，3). 下页 结束 返回 上页 首页 例3　已知集合A＝{x|－2<x<5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围. ≠ B A 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A⊆B ，求实数m的取值范围. 解　当A⊆B时，此时B≠∅，如图所示. ∴m∈∅，即m的取值范围为∅. 下页 结束 返回 上页 首页 B A 反思感悟 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示. (2)涉及到“A⊆B”或“A真包含于B且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况. 下页 结束 返回 上页 首页 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 1.知识清单： (1)子集、真子集、集合相等的概念. (2)集合间关系的判断，求子集、真子集的个数问题. (3)由集合间的关系求参数的值或范围. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，求参数范围时，端点值能否取到容易出现错误. 下页 结束 返回 上页 首页 3.(多选)已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0，x，y∈R}，N＝{(x，y)|x<0，y<0，x，y∈R}，那么 A.M⊆N B.M⊇N C.M＝N D.M与N互不包含 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　若x<0，y<0，则x＋y<0，xy>0，故N⊆M， 若x＋y<0，xy>0，则x与y同号且为负，即x<0，y<0，故M⊆N， 所以M＝N，故选ABC. √ √ 下页 结束 返回 上页 首页 5.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于 A.0 B.1 C.2 D.－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　由A＝B，得x＝0或y＝0. 当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1. 由上知，x＝0不合适，故y＝0，x＝1， 经验证，符合题意，则2x＋y＝2. √ 下页 结束 返回 上页 首页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.判断下列两个集合间的关系： (1)若A＝{1,2,4}，B＝{x|x是8的约数}，则A_______B； ⊆ 解析　由A＝{1,2,4}，B＝{x|x是8的约数}＝{1,2,4,8}得集合A中元素均为B中的元素，故AB(或A⊆B)； (2)若A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6m，m∈N}，则A_____B； ⊇ 解析　因为A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6m，m∈N}＝{x|x＝2·3m，m∈N}，且是6的倍数，一定是3的倍数，但是3的倍数不一定是6的倍数，故BA(或B⊆A)； 下页 结束 返回 上页 首页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0，a∈R}，若A＝∅，则a的取值范围是______. a>1 解析　∵集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0，a∈R}，且A＝∅， ∴方程x2＋2x＋a＝0无解，即Δ＝4－4a<0，解得a>1， 故a的取值范围是a>1. 下页 结束 返回 上页 首页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知集合A＝{x|(a－2)x2＋2x－1＝0}有且仅有两个子集，求实数a的值及对应的两个子集. 下页 结束 返回 上页 首页 解　由题意可得集合A为单元素集， (2)当a≠2时，则Δ＝4＋4(a－2)＝0，解得a＝1时，此时集合A的两个子集是{1}，∅，∴实数a的值是1或2. 当a＝1，此时集合A的两个子集是{1}，∅. 解　∵C⊆A，∴分C＝∅和C≠∅两种情况讨论. 当C＝∅时，3a－2≥4a－3，解得a≤1； 当C≠∅时，3a－2<4a－3，解得a>1， 又C⊆A，数轴表示如图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤2}. 下页 结束 返回 上页 首页 10.集合A＝{x|1<x<5}，C＝{x|3a－2<x<4a－3}，若C⊆A，求实数a的取值范围. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　集合A＝{1,2,3,4,5,6}， 故B有16个子集. 下页 结束 返回 上页 首页 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知A＝{x|x2＋5x－6＝0}，B＝{x|x2＋px＋q＝0}，B⊆A，且B不是空集. (1)求集合B的所有可能情况；(2)求p，q的值. 解：(1)∵A＝{x|x2＋5x－6＝0}＝{－6,1}，B⊆A且B≠∅，则B＝{－6} 或B＝{1}或B＝{－6,1}. 下页 结束 返回 上页 首页 例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)填写下表，并回答问题. 原集合 子集 子集的个数 ∅ {a} { a，b} { a，b，c} 跟踪训练　(多选)若集合A＝，B＝{x|mx＝1}且B⊆A，则m的所有可能取值为 A.2 B.－3 C.0 D.1 解析　∵B⊆A，A＝，∴B＝∅或B＝或B＝. ②当B＝{x|mx＝1}＝时，＝－，可得m＝－3； ③当B＝{x|mx＝1}＝时，＝，可得m＝2， ∴或 ∴解得即2≤m<3， ∴即 (1)当a＝2时，A＝{x|2x－1＝0}＝， 此时集合A的两个子集是，∅， 当a＝2时，集合A的两个子集是，∅； ∴  B＝＝{1,2,3,6}， 12.集合A＝{1,2,3,4,5,6}，则B＝的子集的个数为 A.4 B.8 C.15 D.16 （2）若B＝{－6}，由根与系数的关系可得 解得 若B＝{1}，由根与系数的关系可得解得 若B＝{－6,1}，由根与系数的关系可得 解得 综上所述，或或 $$