1.3.3 二次根式的加减法（2大题型提分练，同步练习）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

1.3.3 二次根式的加减法 题型一 同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 5．在中，不能与合并的是 ． 6．若两个最简二次根式与可以合并，则合并后的结果是（    ） A． B． C． D． 7.下列各式中,哪些是同类二次根式? ① ② ③ ④ ⑤, ⑥ 题型二 二次根式的加减法运算 1．计算：______. 2．数轴上A、B两点所表示的数是和，点C是线段的中点，则点C所表示的数是_________． 3．已知，，则________． 4. 计算： (1) (2) (3) (4) 5．已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 6．设，则实数的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 7．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 1．如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．在如图所示的数轴上，两点对应的实数分别是和，点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知是有理数，，求． 5．计算：． 6．定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 7．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.3 二次根式的加减法 题型一 同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、＝，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故此选项符合题意； C、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 2．下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； C．，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式，于是可得，然后利用不等式的性质进行无理数的大小估算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式，无理数大小估算，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次根式的性质及无理数大小估算的方法是解题的关键． 4．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式和同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：6． 5．在中，不能与合并的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简与合并，掌握二次根式的化简方法是解题关键．将所给的二次根式进行化简即可得到答案． 【详解】解∶，，，， 则不能与合并的是， 故答案为∶． 6．若两个最简二次根式与可以合并，则合并后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据同类二次根式的定义求出m的值，然后代入合并即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴2m+5=4m-4， ∴m=4.5， ∴+ =+ =． 故选D． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 7.下列各式中,哪些是同类二次根式? ① ② ③ ④ ⑤, ⑥ 【答案】①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式.． 【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解：∵, ，, , ∴①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式. 故答案为：①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式.． 【点评】本题考查同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 题型二 二次根式的加减法运算 1．计算：______. 【答案】 【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可. 【详解】解：原式= 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键. 2．数轴上A、B两点所表示的数是和，点C是线段的中点，则点C所表示的数是_________． 【答案】 【分析】利用数轴上两点间距离计算即可． 【详解】解：设点C所表示的数是x， 由题意得：， 解得：， 所以：点C所表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴以及二次根式的运算，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键． 3．已知，，则________． 【答案】 【分析】利用二次根式的加减和乘法运算法则得出即可； 【详解】解：∵a＝2，b＝2， ∴a+b＝（2）+（2）＝4， a﹣b＝（2）﹣（2）＝2； ； 故答案为： ． 【点睛】此题主要考查了平方差以及二次根式的计算，正确进行二次根式混合运算是解题关键． 4. 计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】(1)化成最简二次根式，后合并同类二次根式即可． （2）分母有理化，，后合并同类二次根式即可． （3）化成最简二次根式，后合并同类二次根式即可． （4）化简，后合并同类二次根式即可． （1） = =． （2） = =． （3） = =． （4） = =． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减，熟练掌握二次根式化简，分母有理化是解题的关键． 5．已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】本题考查了二次根式的加法，也考查了等腰三角形的性质：两腰相等，注意要用三角形的三边关系确定出第三边． 先由三角形的三边关系确定出第三边的长，再求周长． 【解答】解：∵， ∴只能是腰长为， ∴等腰三角形的周长． 故选：B． 6．设，则实数的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，掌握二次根式的性质化简，二次根式的加减运算是解题的关键． 根据二次根式的性质化简，再计算，最后由无理数的估算的计算方法即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 7．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先利用二次根式的性质将各项化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘除，然后求算术平方根和立方根即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （4）先计算二次根式的乘法，然后利用二次根式的性质将各项化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （5）先求立方根、化简绝对值并计算零指数幂和负整数指数幂，然后按照实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式，完全平方公式，平方差公式，求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则及实数的运算法则是解题的关键． 1．如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据同类二次根式的定义得到，，然后解两个方程组成的方程组即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，． 故选：D． 2．在如图所示的数轴上，两点对应的实数分别是和，点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，根据题意求出的长，进而得到的长以及的长，即可确定点C对应的实数． 【详解】解：由题意知， 点到点的距离与点到点的距离相等， ， ， 点所对应的实数是， 故选D． 3．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件可以求出长方形ABCD的长和宽，从而求出长方形ABCD的面积，最后即可求出空白部分的面积． 【详解】解：由已知可得： 长方形ABCD的长为，宽为4， ∴长方形ABCD的面积为 ∴空白部分的面积为： 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义和长方形、正方形的面积公式是解题关键． 4．已知是有理数，，求． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的含义，求解一个数的平方根，二元一次方程组的解法，理解题意建立方程组解题是关键． 由 都是有理数，且 ，建立方程组求出，再代入即可解题． 【详解】解：∵， ∴． ∵是有理数， ∴且， 解得：， ∴． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 6．定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)；；④ (2)是；理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”； （2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“实验数”； ∵， ∴与是关于的“实验数”，即； ∵， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ， ∴与是关于的“实验数”． 7．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$