1.3.1 二次根式的乘法（2大题型提分练，同步练习）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

1.3.1 二次根式的乘法 乘法法则：=（,b0），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘； 积的算术平方根： =（,b0），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 题型一 利用乘法法则计算 1．计算的结果是（　　） A．9 B．3 C．3 D． 2．下列计算结果不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（1）填空： 　 　； （2）填空：　 　，　 　； （3）已知1.772，则　 　，　 　． 4．化简   （    ） A． B． C． D． 5．估计2×的值应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．若一个长方体的长为cm，宽为cm，高为cm，则它的体积为（      ） A． B． C．21 D．24 题型二 根据积的算术平方根计算 1．四个等式：①＝12；②；③；④中正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．①② D．③④ 2．设，，用含的式子表示，则下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知：是整数，则满足条件的最小正整数为(          ) A．2 B．3 C．4 D．5 4．化简： （1）；   （2）；   （3）；（4）；     （5） 5.将根号外的数移入根号内并化简： （1）；   （2） 1．小明在微机课上设计了一幅矩形图片，矩形的长是cm，宽是cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助小明求出圆的半径． 2．下列四个式子中与相等的是（　　） A． B． C． D． 3．计算：　 　． 4．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b，例如3※2，求8※12的值． 5．如图，从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形，求留下部分（即阴影部分）的面积． 6．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的，请在括号内打“√”，不成立的请在括号内打“×” ①　 　 ②　 　 ③　 　 ④　 　 （2）判断完以上各题之后，从正确的各式中你发现什么规律？请用含有n（n≥2的自然数）的式子将规律表示出来，并写出运算过程． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.1 二次根式的乘法 乘法法则：=（,b0），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘； 积的算术平方根： =（,b0），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 题型一 利用乘法法则计算 1．计算的结果是（　　） A．9 B．3 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的乘法法则对所给算式进行计算即可． 【解答】解：． 故选：B． 【小结】本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 2．下列计算结果不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘法法则运算逐项判断即可． 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【小结】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 3．（1）填空： 　 　； （2）填空：　 　，　 　； （3）已知1.772，则　 　，　 　． 【答案】（1）32； （2）80，0.4； （3）177.2，0.1772． 【分析】（1）开二次根式后相乘； （2）开二次根式； （3）开二次根式后相乘、相除． 【解答】解：（1）8×4＝32， 故答案为：32； （2）80，0.4， 故答案为：80，0.4； （3）100177.2，0.1772， 故答案为：177.2，0.1772． 【小结】本题考查了二次根式的乘法，关键是学会开二次根式． 4．化简   （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 5．估计2×的值应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【分析】先根据根式的运算法则进行化简，再判断它的取值范围． 【详解】解： = = = ∵16＜24＜25 ∴4<<5， 故选：B． 【点睛】本题考查了根式的运算和估算无理数的大小，熟练掌握根式运算是解题的关键． 6．若一个长方体的长为cm，宽为cm，高为cm，则它的体积为（      ） A． B． C．21 D．24 【答案】D 【分析】直接根据长方体体积公式求解可得． 【详解】解：∵长方体的长为cm，宽为cm，高为cm ∴长方体的体积=×× =24() 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的乘法的应用、求长方体的体积，解题的关键是知道长方体体积为长×宽×高，注意二次根式相乘的最终结果要化为最简二次根式． 题型二 根据积的算术平方根计算 1．四个等式：①＝12；②；③；④中正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】①②利用二次根式的性质进行判断．③④用二次根式乘法运算判断． 【详解】解：①（3）2＝18，∴①的运算错误． ②，∴②的运算错误． ③，∴③的运算正确． ④，∴④的运算正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式乘法运算及如何化简二次根式． 2．设，，用含的式子表示，则下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算ab的值，然后将进行化简，从而即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ 又∵ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算，难度不大，掌握计算法则正确计算是解题关键． 3．已知：是整数，则满足条件的最小正整数为(          ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】试题解析：∵=，且是整数， ∴2是整数，即5n是完全平方数， ∴n的最小正整数为5． 故选D． 点睛：解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 4．化简： （1）；   （2）；   （3）；（4）；     （5） 【答案】(1)；(2)；(3)(4)(5) 【详解】试题分析：根据二次根式的运算法则进行运算即可. 试题解析： (1)； (2) ； (3) (4) (5) 5.将根号外的数移入根号内并化简： （1）；   （2） 【答案】（1） ； （2） 【详解】试题分析：（1）由题意可得x＜0，然后把根式外的x移到根式内部得答案； （2）根据二次根式有意义的条得到a＞2，然后利用二次根式的乘法法则进行计算． 试题解析：（1）根据二次根式的概念，若有意义，则有-x>0， 于是，. （2）易知a-2>0，于是（a-2）. 1．小明在微机课上设计了一幅矩形图片，矩形的长是cm，宽是cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助小明求出圆的半径． 【答案】见试题解答内容 【分析】设圆的半径为R，根据圆的面积公式和矩形面积公式得到πR2•，再根据二次根式的性质化简后利用平方根的定义求解． 【解答】解：设圆的半径为R， 根据题意得πR2•，即πR2＝2π••， 解得R1，R2（舍去）， 所以所求圆的半径为cm． 【小结】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 2．下列四个式子中与相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件可得出3﹣a＞0，可得a﹣3＜0，由此可将a﹣3变形得出答案． 【解答】解：由题意得：3﹣a＞0，可得a﹣3＜0， ∴（3﹣a）． 故选：D． 【小结】本题考查二次根式的乘除法，难度不大，关键是判断出a和3的大小关系． 3．计算：　 　． 【答案】－2y． 【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【解答】解：， ∵y＜0， ∴， 故答案为：－2y． 【小结】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 4．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b，例如3※2，求8※12的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：8※12． 【小结】此题考查了二次根式的性质与化简，弄清题中的新定义是解本题的关键． 5．如图，从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形，求留下部分（即阴影部分）的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形， 大正方形的边长是2， 留下部分（即阴影部分）的面积是（）2﹣15﹣24 ＝12（cm2）． 【小结】本题考查了算术平方根，利用了开方运算． 6．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的，请在括号内打“√”，不成立的请在括号内打“×” ①　 　 ②　 　 ③　 　 ④　 　 （2）判断完以上各题之后，从正确的各式中你发现什么规律？请用含有n（n≥2的自然数）的式子将规律表示出来，并写出运算过程． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）计算等式左右两边是否相等，然后做出判断． （2）由2，，，故根据上述规律可知n，（n≥2）． 【解答】解：（1）①√②√③√④√ （2）规律：（n≥2） 运算过程：（n≥2） 【小结】本题主要考查二次根式的化简的知识点，找出等式规律很重要． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$