第六章 平面向量及其应用 章末题型归纳总结（能力篇）（10大题型）-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 章末题型归纳总结（能力篇） 【题型归纳目录】 题型一：向量的线性运算 题型二：向量的数量积运算、夹角、模长 题型三：向量范围与最值问题 题型四：余弦定理、正弦定理 题型五：平面向量的实际应用 题型六：解三角形范围与最值问题 题型七：图形类问题 题型八：三角形形状判断与多解问题 题型九：解三角形的实际应用 题型十：中线、角平分线、高问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识点3：平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 知识点5：平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 知识点6：数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 知识点7：数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 知识点8：数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 知识点9：正余弦定理 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 知识点10：正余弦定理的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 知识点11：解三角形的实际应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． 3、方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． 4、坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 【典型例题】 题型一：向量的线性运算 【例1】如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【变式1-1】如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 题型二：向量的数量积运算、夹角、模长 【例2】已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【变式2-1】在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，.    (1)当，时，求向量和夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 【变式2-2】已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值. 【变式2-3】已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 题型三：向量范围与最值问题 【例3】如图，在方格纸（每个小方格边长为1）上有A，B，C三点，已知向量以A为始点.    (1)试以B为始点画出向量，使在方向上的投影向量为，且，并求的值 (2)设点D是线段上的动点，求的最大值. 【变式3-1】如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点.      (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若，，求的最大值. 【变式3-2】如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【变式3-3】如图，在菱形中，，是的中点，且． (1)求； (2)以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值． 题型四：余弦定理、正弦定理 【例4】在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】在中，分别是角的对边，若. (1)求角的值； (2)若，且满足，求外接圆的半径. 【变式4-3】已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 题型五：平面向量的实际应用 【例5】一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【变式5-3】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，给出以下结论： ①越大越费力，越小越省力；②的范围为； ③当时，；④当时， 其中正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型六：解三角形范围与最值问题 【例6】已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【变式6-1】在中，，，分别为内角所对的边，且满足． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【变式6-2】已知的内角的对应边分别为，在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：已知 ． (1)求角大小； (2)求的最大值. 【变式6-3】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 题型七：图形类问题 【例7】如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，． (1)求角； (2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积． 【变式7-1】如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 【变式7-2】如图，四边形中，，． (1)求； (2)若，求． 【变式7-3】如图，在梯形中，已知，，，，，求： (1)的长； (2)的面积． 题型八：三角形形状判断与多解问题 【例8】在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式8-1】已知a，b，c是的三边，若满足，即，为直角三角形.类比此结论：若满足时，的形状为（    ）. A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式8-2】在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有一解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：解三角形的实际应用 【例9】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 【变式9-1】某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【变式9-2】如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 【变式9-3】如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. (1)求此时该外国船只与D岛的距离； (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 题型十：中线、角平分线、高问题 【例10】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若的面积为，角的平分线与AC交于点，且，求边的值． 【变式10-1】在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，且. ①若是的平分线，求的面积； ②若为线段的中点，求的面积. 【变式10-2】如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且． (1)求的值； (2)求的面积； (3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围． 【变式10-3】已知中，，，为边上的点． (1)若，求边上的高； (2)若为的中点，且，求线段的长； (3)若平分，求线段长的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用 章末题型归纳总结（能力篇） 【题型归纳目录】 题型一：向量的线性运算 题型二：向量的数量积运算、夹角、模长 题型三：向量范围与最值问题 题型四：余弦定理、正弦定理 题型五：平面向量的实际应用 题型六：解三角形范围与最值问题 题型七：图形类问题 题型八：三角形形状判断与多解问题 题型九：解三角形的实际应用 题型十：中线、角平分线、高问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识点3：平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 知识点5：平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 知识点6：数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 知识点7：数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 知识点8：数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 知识点9：正余弦定理 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 知识点10：正余弦定理的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 知识点11：解三角形的实际应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． 3、方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． 4、坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 【典型例题】 题型一：向量的线性运算 【例1】如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【解析】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 【变式1-1】如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 【变式1-2】如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，易知， 由题设，， 由题意， 故选：D 【变式1-3】如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 【答案】B 【解析】因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 所以， 所以. 故选：B. 题型二：向量的数量积运算、夹角、模长 【例2】已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 【变式2-1】在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，.    (1)当，时，求向量和夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，同理， 而，故， 故， 而，， 故. （2）,, 故 ， 因为，故， 故的取值范围为. 【变式2-2】已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值. 【解析】（1）因为， 所以，故， 又， 所以， （2）因为， 所以，又， 所以， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 因为， 又，，， 所以. 【变式2-3】已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 题型三：向量范围与最值问题 【例3】如图，在方格纸（每个小方格边长为1）上有A，B，C三点，已知向量以A为始点.    (1)试以B为始点画出向量，使在方向上的投影向量为，且，并求的值 (2)设点D是线段上的动点，求的最大值. 【解析】（1）由图知，， 因为在方向上的投影向量为，所以在方向上投影数量为， 设，则，即， 又，所以，所以， 故以B为始点的向量如图， 所以. （2）易知，， 设，则，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最大值4. 【变式3-1】如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点.      (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若，，求的最大值. 【解析】（1）如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6， 则，所以，， 设点，则， 由，得， 所以，即，得到， 设，则， 所以，解得. （2）因为三点共线，且， 所以， 设正方形的边长为1，， 则， 所以，，， 所以， 又，所以， 所以，， 所以， 若，则， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述：的故大值为1. 【变式3-2】如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【解析】（1）因为所以， 所以, 所以. （2）由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. （3）易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【变式3-3】如图，在菱形中，，是的中点，且． (1)求； (2)以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值． 【解析】（1）因为，， 所以， 所以， 所以，又，所以． 为等边三角形，又是中点， ，是直角三角形，，， ，； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 则，，设， 所以，， 所以， 其中，，，故， 故当时，取最小值， 所以，此时． 题型四：余弦定理、正弦定理 【例4】在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得：， 即：，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 【变式4-1】的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 【变式4-2】在中，分别是角的对边，若. (1)求角的值； (2)若，且满足，求外接圆的半径. 【解析】（1）由正弦定理得， ，则， 又，则， ，又，故. （2）由. 由余弦定理得：，又， 所以 ， . 【变式4-3】已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 【解析】（1）由，由正弦定理得， 从而有，，则， 由； （2）因为，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以周长为， 设外接圆半径为R，由，得， 所以外接圆面积. 题型五：平面向量的实际应用 【例5】一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 【变式5-1】如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设与所成的角为， 由题意得，， 则 . 故选:A 【变式5-2】有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【答案】A 【解析】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度． 设为渡口在对岸对应的点，则， 在中，∵，∴， ∴E和重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 故选：A. 【变式5-3】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，给出以下结论： ①越大越费力，越小越省力；②的范围为； ③当时，；④当时， 其中正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【解析】根据题意，得，，与的夹角为， 所以， 解得， 对于①，因为时，单调递减， 所以越小越省力，越大越费力，故①正确； 对于②：由题意知的取值范围是，故②错误； 对于③：因为，所以当时，， 所以，故③正确； 对于④：因为，所以当时，， 所以，故④错误. 故选：A. 题型六：解三角形范围与最值问题 【例6】已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【解析】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 【变式6-1】在中，，，分别为内角所对的边，且满足． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则， 可得，即，所以. （2）由余弦定理可得：， 即，可得， 又因为，可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为. 【变式6-2】已知的内角的对应边分别为，在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：已知 ． (1)求角大小； (2)求的最大值. 【解析】（1）选①，， 由正弦定理得，即，，， 又，所以； 选②， 由正弦定理，及得，所以， 又三角形中，所以，而，所以，即； 选③， 由正弦定理得，即， 所以，又， 所以． （2），则，， ， 所以，即时，取得最大值． 【变式6-3】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 由正弦定理可得， 又因为， 代入可得， 即， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以． 法二：由正弦定理可得：， 则， 则， 又，故， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， （2）因为为锐角三角形，， 所以， 由，解得， 又故． （3）由（2）知． 由， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以的取值范围为． 题型七：图形类问题 【例7】如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，． (1)求角； (2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积． 【解析】（1）由，联立方程组，解得， 不妨设，可得 由余弦定理得， 因为，所以. （2）由，由（1）知，可得， 因为过作的垂线并延长到点，使四点共圆， 在直角中，可得，则， 因为，可得， 在直角中，可得，即， 所以， 所以， 所以四边形的面积为. 【变式7-1】如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 【解析】（1）因为在中，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为在中，，所以． （2）在中，设，， 则由正弦定理得，即，① 又在中，，， 则由正弦定理得，即，② 则由①②两式得，，即， 展开并整理得，即，所以， 因为在中，，所以， 把代入①式得，． 【变式7-2】如图，四边形中，，． (1)求； (2)若，求． 【解析】（1）中，设，则，解得 ，； （2）设，则 设，， 中， 中， ，，可得，化简得，即 又，，即 ，解得 【变式7-3】如图，在梯形中，已知，，，，，求： (1)的长； (2)的面积． 【解析】（1）在中，， 由正弦定理得：，即 故：． （2） ∴ 在中，由余弦定理得： 即，解得：或舍． 故：的面积为7. 题型八：三角形形状判断与多解问题 【例8】在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 【变式8-1】已知a，b，c是的三边，若满足，即，为直角三角形.类比此结论：若满足时，的形状为（    ）. A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】A 【解析】易知角最大，故, 由 ， 故为锐角三角形， 故选：A. 【变式8-2】在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，过作于，如下图示， 则，可得时，三角形有两解. 当，即时，三角形不存在； 当或时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形； 当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形； 故选：B 【变式8-3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有一解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理得，即， 则， 若有一解，则 ①，则， ②，则， 综上，的取值范围为， 故选：D. 题型九：解三角形的实际应用 【例9】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 【解析】（1）在中，因为，，， 所以， （2）在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得. 【变式9-1】某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【解析】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 【变式9-2】如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 【解析】（1）在中，由，得，解得， 则， 由正弦定理，得， 所以，两点间的距离. （2）①在中，由正弦定理得， 解得，， 所以. ②令，则，则， 其中锐角由确定，于是， 则有，而，解得，当且仅当时取等号， 即当时，有最小值， 所以总费用的最小值为万元，此时的长度为. 【变式9-3】如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. (1)求此时该外国船只与D岛的距离； (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 【解析】（1）依题意，在中，， 由余弦定理得 ， ∴， 即此时该外国船只与D岛的距离为海里. （2）建立以点A为坐标原点，为x轴，过点A往正北方向为y轴的坐标系，如图， 则，，， 设经过t小时外国船只到达点. 又，所以. 由,解得或（舍去）, 故（小时）， 则， ∴， ∴海监船的航向为东偏北41.8°， ∴海监船的速度（海里/小时）. 又， 故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时. 题型十：中线、角平分线、高问题 【例10】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若的面积为，角的平分线与AC交于点，且，求边的值． 【解析】（1）在中，由正弦定理，可得， 又由，得， 即，即，所以， 可得，又因为，. （2）由及角的平分线与交于点，可得， 因为，所以的面积 同理可得的面积, 又的面积， 所以，， 在中，由余弦定理得，， 解得：. 【变式10-1】在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，且. ①若是的平分线，求的面积； ②若为线段的中点，求的面积. 【解析】（1）由正弦定理知，由得， 所以， 所以， 所以， 所以， 又在三角形中， 所以， 又 所以. （2）①：由平分得，， ， 即. 在中，由余弦定理得， 又， 联立得， 解得（舍去）， . ②：因为， ，得， 在中，由余弦定理得， 即， 联立，可得， . 【变式10-2】如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且． (1)求的值； (2)求的面积； (3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围． 【解析】（1）由， 由正弦定理，可得， 由余弦定理，可得， 得，且，所以； （2）由为边上中线，可得， 则， 由，可得， 则，则， 则， ， 则； （3）由，可得， 设， 由的面积为面积的，可得， 则，则，设，由为中线，可得， 则，由共线可得， ， 由可得， 由，可得，则 【变式10-3】已知中，，，为边上的点． (1)若，求边上的高； (2)若为的中点，且，求线段的长； (3)若平分，求线段长的取值范围． 【解析】（1）如图，在中，，作高， 由余弦定理得， (负值舍去)， 所以BC边上的高为 （2）因为M是BC的中点，所以， 平方得， ， 所以(负值舍去)， （3）设， 因为AM平分，所以， 因为， 所以， 即， 整理得，因为， 所以，即线段AM长的范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$