第六章 平面向量及其应用 章末题型归纳总结（基础篇）（10大题型）-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：向量的线性运算 题型二：向量的数量积运算、夹角、模长 题型三：向量范围与最值问题 题型四：余弦定理、正弦定理 题型五：平面向量的实际应用 题型六：解三角形范围与最值问题 题型七：图形类问题 题型八：三角形形状判断与多解问题 题型九：解三角形的实际应用 题型十：中线、角平分线、高问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识点3：平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 知识点5：平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 知识点6：数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 知识点7：数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 知识点8：数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 知识点9：正余弦定理 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 知识点10：正余弦定理的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 知识点11：解三角形的实际应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． 3、方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． 4、坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 【典型例题】 题型一：向量的线性运算 【例1】如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意有： 故选：B. 【变式1-1】如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选：D. 【变式1-2】如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 【变式1-3】在中，为边上的中点，是上靠近的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 由已知可得，，所以， 所以． 故选：A 题型二：向量的数量积运算、夹角、模长 【例2】已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【解析】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 【变式2-1】已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【解析】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 【变式2-2】已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 【解析】（1）因为， 所以， 即， 解得，由，得. （2）由（1）得， . 【变式2-3】已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以； （2）因为向量与的夹角为，且， 所以， 若，即，解得， 当与共线时，此时满足，解得， 此时与共线，且方向相反， 故与夹角为钝角时，且， 所以的取值范围是． 题型三：向量范围与最值问题 【例3】已知是夹角为的两个单位向量，，（）. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 【解析】（1）因为可以作为一组基底，所以不平行， 又不共线，所以，即， 所以，实数的取值范围为. （2）因为垂直，所以， 即， 又，， 所以，解得. （3）由（2）知，， 因为， 所以，当时，取得最小值3， 所以的最小值为. 【变式3-1】已知在平面直角坐标系中，，其中为坐标原点． (1)求在方向上的投影向量; (2)证明：三点共线，并求的最小值． 【解析】（1）在方向上的投影向量为： . （2）因为，则， 即，又AC与AB有公共点，所以A、B、C三点共线;； ， 当时，的最小值为. 【变式3-2】如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求： (1)的值； (2)的最大值． 【解析】（1）依题意建立如图所示平面直角坐标系， 则，，， 设，， 所以，， 所以． （2）因为，， 所以， 因为， 所以的最大值是1． 【变式3-3】已知向量，． (1)若，，且，求实数的值； (2)若，求的最大值． 【解析】(1)当，时，，又， 所以， 若，则，即，解得． (2)因为，，所以， 因为，所以，则， 所以， 故当或时，的最大值为6． 题型四：余弦定理、正弦定理 【例4】在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 则，所以，即， 因为为三角形内角，所以，，则，所以； 故选：B 【变式4-1】在中，若，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理可知，可化为， 又，则，即， 再根据正弦定理可知，， 又，即，则， 又，所以. 故选：D. 【变式4-2】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【解析】（1）由题设，整理可得， 所以，，故. （2）由题意，又， 所以，故的周长为. 【变式4-3】在中，角所对的边分别为，已知，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求和的值. 【解析】（1），且， ， 由正弦定理得， 又， ； （2）， . 由余弦定理得：， . 题型五：平面向量的实际应用 【例5】已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为该物体静止，所以，所以， 又因为，所以， 故选：B. 【变式5-1】一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（   ） A．－41 B．－1 C．1 D．41 【答案】A 【解析】由题意可知，， 所以对该物体所做的功为-41． 故选：A． 【变式5-2】在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　） A．北偏西， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏东， 【答案】A 【解析】 如图，船从点O出发，沿方向行驶才能使船垂直到达对岸， 依题意，，， 则，则， 因为为锐角，故， 故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸. 故选:A. 【变式5-3】已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限， 由已知可得，为正三角形，，所以． 又，，则， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：D. 题型六：解三角形范围与最值问题 【例6】在中，角的对边分别为为的面积，若． （1）求； （2）若，求周长的范围． 【解析】（1） ，所以 （2）根据正弦定理可得 设周长为C． 【变式6-1】已知的内角，，所对的边分别是，，，且． (1)求角； (2)若，求周长的最小值，并求出此时的面积． 【解析】（1）因为，即， 由正弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，所以. （2）由余弦定理， 即， 所以，所以，解得或（舍去）， 当且仅当时取等号，所以， 即的周长的最小值为，此时 【变式6-2】已知中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【解析】（1）由正弦定理及倍角公式得 ，得， 即，故. （2）由余弦定理可得， 解得， 当且仅当时取等号， 的面积． 故面积的最大值为． 【变式6-3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若． (1)求角A的大小； (2)若，求△ABC面积的最大值． 【解析】（1）， 由正弦定理得， ，， 即，是△ABC的内角， ． （2）由，得， 则，当且仅当时等号成立， ， △ABC面积的最大值为． 题型七：图形类问题 【例7】如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.    (1)求的大小; (2)若,求的面积. 【解析】（1）因为是的角平分线,所以, 在中,根据余弦定理得, 所以, 则, 因为, 所以. （2）因为,所以, 在中,由正弦定理得, 在四边形中,, 所以, 则. 【变式7-1】如图，在四边形中，的面积为．    (1)求； (2)证明：． 【解析】（1）设， 因为的面积为， 所以，解得， 所以． 在中，由余弦定理得， 所以． 在中，，所以， 所以； （2）由（1）可得， 在中，由正弦定理得， 所以，且． 由（1）可得，又， 所以． 【变式7-2】如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 【解析】（1）由已知得， ，， 所以 是等腰三角形，， 所以， 所以. （2）由（1）知中，，， 又， 所以. 【变式7-3】如图，在平面四边形中，，，，，． (1)求边的长； (2)求的面积． 【解析】（1）在中，， 由正弦定理得． （2）在中，由余弦定理得 ． ∴． ∴． 题型八：三角形形状判断与多解问题 【例8】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由，可得，即 则，又，则 则的形状为钝角三角形 故选：A 【变式8-1】已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 【变式8-2】中，角对应的边分别为，解下列三角形，只有一解的时（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】中，，由正弦定理， ，，则，有两解，A选项错误； 中，，由正弦定理， ，，则，有两解，B选项错误； 中，，由正弦定理， ，，则，有两解，C选项错误； 中，，由正弦定理， ，，则，有一解，D选项正确； 故选：D. 【变式8-3】在中，，，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，，过作于， 则， 以为圆心，为半径画圆弧， 要使有两个解， 则圆弧和边应该有两个交点， 故且， 即， 解得． 故选：B. 题型九：解三角形的实际应用 【例9】如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市，且与海岸距离为的海上处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 【解析】（1）设小艇以的速度从处出发，沿方向，后与运动员在处相遇，过作的垂线，则，在中，，则. 由余弦定理，得， 即. 整理得. 当，即时，取得最小值9，即， 所以小艇至少以的速度行驶才能追上这位运动员. （2）当时， 在中，， 由余弦定理，得， 所以， 所以小艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为. 【变式9-1】如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，． (1)求的面积（用字母表示）； (2)若，，，，，求M，N之间的距离． 【解析】（1）由题意可知，由正弦定理，得， 面积. （2）由（1）知， 在中，，， 在中，， 由余弦定理可得 ， 所以. 【变式9-2】如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． (1)求处与小岛之间的距离； (2)求，两座小岛之间的距离． 【解析】（1）由题可知在中：，， 所以， 由正弦定理可得：， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 【变式9-3】要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h，航测员先测得对山顶的俯角为，经过飞过M点后又测得对山顶的俯角为，（可能要用到的数据：） (1)求BM的长度；（结果带根号） (2)求山顶的海拔高度．（精确到m） 【解析】（1）因为飞机的速度为，经过飞过M点， 所以， 在中， 由， 则 ， 由正弦定理， 可得. （2）如图所示，过点作，垂足为， 因为， 所以， 因此山顶的海拔高度为. 题型十：中线、角平分线、高问题 【例10】如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 【解析】（1）因为，为的中点，所以, 在中， ， 所以 （2）因为为的中点，所以， 又， 所以, 所以， ， 所以， 又与的夹角相等， 所以， 所以的余弦值为. 【变式10-1】已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，AC边上的中线，求的面积S． 【解析】（1）， 因为，所以 （2） 【变式10-2】设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的周长为． (1)求； (2)若的平分线交于点，且，求的边上的高． 【解析】（1）由题意可知，， 由正弦定理可知，， 即， 整理得，． 由余弦定理可知，． 又，故． （2）由，得， 所以， 又，所以， 由，且，得， 解得或（舍去）， 所以． 设的边上的高为，则，解得． 故的边上的高为． 【变式10-3】已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，为边边上一点，为的平分线，且，求的面积． 【解析】（1）由，即， 因为，所以， 所以，得． （2）由为的平分线，得， 因为， 所以， 即，① 由余弦定理得， 即，② 由①②，得， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用 章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：向量的线性运算 题型二：向量的数量积运算、夹角、模长 题型三：向量范围与最值问题 题型四：余弦定理、正弦定理 题型五：平面向量的实际应用 题型六：解三角形范围与最值问题 题型七：图形类问题 题型八：三角形形状判断与多解问题 题型九：解三角形的实际应用 题型十：中线、角平分线、高问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识点3：平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 知识点5：平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 知识点6：数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 知识点7：数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 知识点8：数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 知识点9：正余弦定理 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 知识点10：正余弦定理的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 知识点11：解三角形的实际应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． 3、方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． 4、坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 【典型例题】 题型一：向量的线性运算 【例1】如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，为边上的中点，是上靠近的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 题型二：向量的数量积运算、夹角、模长 【例2】已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【变式2-1】已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【变式2-2】已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 【变式2-3】已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 题型三：向量范围与最值问题 【例3】已知是夹角为的两个单位向量，，（）. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 【变式3-1】已知在平面直角坐标系中，，其中为坐标原点． (1)求在方向上的投影向量; (2)证明：三点共线，并求的最小值． 【变式3-2】如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求： (1)的值； (2)的最大值． 【变式3-3】已知向量，． (1)若，，且，求实数的值； (2)若，求的最大值． 题型四：余弦定理、正弦定理 【例4】在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】在中，若，则角（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【变式4-3】在中，角所对的边分别为，已知，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求和的值. 题型五：平面向量的实际应用 【例5】已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（   ） A．－41 B．－1 C．1 D．41 【变式5-2】在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　） A．北偏西， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏东， 【变式5-3】已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（    ） A． B． C． D． 题型六：解三角形范围与最值问题 【例6】在中，角的对边分别为为的面积，若． （1）求； （2）若，求周长的范围． 【变式6-1】已知的内角，，所对的边分别是，，，且． (1)求角； (2)若，求周长的最小值，并求出此时的面积． 【变式6-2】已知中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【变式6-3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若． (1)求角A的大小； (2)若，求△ABC面积的最大值． 题型七：图形类问题 【例7】如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.    (1)求的大小; (2)若,求的面积. 【变式7-1】如图，在四边形中，的面积为．    (1)求； (2)证明：． 【变式7-2】如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 【变式7-3】如图，在平面四边形中，，，，，． (1)求边的长； (2)求的面积． 题型八：三角形形状判断与多解问题 【例8】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【变式8-1】已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式8-2】中，角对应的边分别为，解下列三角形，只有一解的时（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】在中，，，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：解三角形的实际应用 【例9】如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市，且与海岸距离为的海上处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 【变式9-1】如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，． (1)求的面积（用字母表示）； (2)若，，，，，求M，N之间的距离． 【变式9-2】如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． (1)求处与小岛之间的距离； (2)求，两座小岛之间的距离． 【变式9-3】要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h，航测员先测得对山顶的俯角为，经过飞过M点后又测得对山顶的俯角为，（可能要用到的数据：） (1)求BM的长度；（结果带根号） (2)求山顶的海拔高度．（精确到m） 题型十：中线、角平分线、高问题 【例10】如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 【变式10-1】已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，AC边上的中线，求的面积S． 【变式10-2】设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的周长为． (1)求； (2)若的平分线交于点，且，求的边上的高． 【变式10-3】已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，为边边上一点，为的平分线，且，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$