专题05 线，角和三角形（5类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（广东专用）

专题05 线，角和三角形 课标要求 考点 考向 1. 要求学生理解平行线的性质，能进行简单的推理和计算，能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 2. 掌握角平分线的性质定理及逆定理，能运用其解决相关的几何问题。 3. 理解三角形外角的性质，能运用其进行角度的计算和大小比较。 4. 掌握全等三角形的判定方法和性质，能运用其进行证明和计算，培养逻辑推理能力。 5. 掌握三角形中位线定理，能运用其进行相关的计算和证明，体会转化思想在几何中的应用。 线和角 考向一 平行线的性质 三角形 考向一 三角形的外角性质 考向二 角平分线的性质 考向三 全等三角形的判定与性质 考向四 三角形中位线定理 考点一 线与角 ►考向一 平行线的性质 易错易混：易与平行线的判定混淆，性质是由平行得角的关系，判定是由角的关系得平行。 平行线的性质 平行线的判定 两直线平行，同位角相等。 同位角相等，两直线平行。 两直线平行，内错角相等。 内错角相等，两直线平行。 两直线平行，同旁内角互补。 同旁内角互补，两直线平行。 解题技巧：标注已知条件和图形中的平行、角等关系，结合题目要求明确是用性质还是判定，证明时注意逻辑顺序。 1.（2024•深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】由平行线的性质推出∠1＝∠3，由反射定律得到∠3＝∠4，因此∠4＝∠1＝50°． 【解答】解：∵入射光线是平行光线， ∴∠1＝∠3， 由反射定律得：∠3＝∠4， ∴∠4＝∠1＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1＝∠3，由反射定律得到∠3＝∠4． 2.（2024•广州）如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，则∠2的度数为 　 　. 【分析】由邻补角的性质得到∠3＝180°﹣71°＝109°，由平行线的性质推出∠2＝∠3＝109°． 【解答】解：∵∠1＝71°， ∴∠3＝180°﹣71°＝109°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝109°． 故答案为：109°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠3＝109°． 3.（2023•广东）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝（　　） A．43° B．53° C．107° D．137° 【分析】由平行线的性质即可求解． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝137°， 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握性质解解题关键． 考点二 三角形 ►考向一 三角形的外角性质 解题技巧/易错易混 易错易混：易忽略外角与不相邻内角的关系，错用与相邻内角的关系；多个外角和内角一起时，易找错对应关系。 解题技巧：标注三角形的内角和外角，明确所求角与已知角的位置关系，利用外角性质建立等式求解角度问题 1.（2024•广东）如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【分析】根据∠ACD＝∠ABC+∠A及∠ECD的度数即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∠ACD＝∠ABC+∠A＝90°， 又∵∠ECD＝30°， ∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，熟知三角形的外角的性质是解题的关键． ►考向二 角平分线的性质 易错易混：使用角平分线性质时易忽略“到角两边的距离”这一垂直条件；对性质和判定的条件与结论易混淆。 解题技巧：见到角平分线，考虑过其上一点向角两边作垂线构造相等线段；证明线段相等时，看是否可通过角平分线性质转化。 1.（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 　 　． 【分析】过E作EH⊥AD于H，由角平分线的性质得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD＝＝13，由三角形面积公式得到13EH＝12×5，因此EH＝，即可得到点E到直线AD的距离． 【解答】解：过E作EH⊥AD于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE＝DF＝5， ∵AE＝12， ∴AD＝＝13， ∵△ADE的面积＝AD•EH＝AE•DE， ∴13EH＝12×5， ∴EH＝， 点E到直线AD的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是由三角形的面积得到AD•EH＝AE•DE． ►考向三 全等三角形的判定与性质 易错易混：“SSA”不能判定全等却易误当作判定方法；找全等三角形的对应边和对应角时易出错。 解题技巧：牢记判定定理条件，按顺序罗列条件证明全等；找对应元素时，根据全等符号对应位置确定，或结合图形中边、角的位置关系。 1.（2024•广州）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　　） A．18 B．9 C．9 D．6 【分析】由等腰直角三角形的性质可得AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得S△ADE＝S△CDF，即可求解． 【解答】解：如图，连接AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点， ∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴S△ADE＝S△CDF， ∴四边形AEDF的面积＝S△ADC＝S△ABC＝9， 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2.（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E． 【分析】先证出AB＝BD，再由平行线证出同位角相等∠ABC＝∠D，然后由SAS证明△ABC≌△BDE，得出对应角相等即可． 【解答】证明：∵B是AD的中点， ∴AB＝BD， ∵BC∥DE， ∴∠ABC＝∠D， 在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（SAS）， ∴∠C＝∠E． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． ►考向四 三角形中位线定理 易错易混：易与三角形中线概念混淆；使用定理时，易忽略中位线与第三边的双重关系。 解题技巧：对比中位线和中线的定义、性质加深理解；有中位线的题目，利用其平行和数量关系转移线段或角，构建平行四边形等辅助图形解题。 1.（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 　1.2　.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 　3≤S≤4　． 【分析】依据题意，根据三角形中位线定理可得DE＝AM＝1.2；设AM＝x，从而DE＝x，由DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，进而DE∥FG，DE＝FG，从而四边形DEFG是平行四边形，结合题意可得DE边上的高为（4﹣x），故四边形DEFG面积S＝4x﹣x2，进而利用二次函数的性质可得S的取值范围． 【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点， ∴DE是三角形ABM的中位线． ∴DE＝AM＝1.2． 如图， 设AM＝x， ∴DE＝AM＝x． 由题意得，DE∥AM，且DE＝AM， 又FG∥AM，FG＝AM， ∴DE∥FG，DE＝FG． ∴四边形DEFG是平行四边形． 由题意，GF到AC的距离是x，BC＝＝8， ∴DE边上的高为（4﹣x）． ∴四边形DEFG面积S＝2x﹣x2，＝﹣（x﹣4）2+4． ∵2.4＜x≤6， ∴3≤S≤4． 故答案为：1.2；3≤S≤4． 【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先根据内错角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，同位角相等即可得到． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得到，再由，即可得到． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，将一张矩形纸片沿着所在直线剪开并错位放置，点在一条直线上，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，由题意可得，，即可得，，据此即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中， ．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；② 分别以D，E 为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③ 作射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的作图、角平分线的定义，根据三角形外角的性质求出，再由平分即可得到答案. 【详解】解：∵ ． ∴ 由题意可知，平分， ∴ 故选：B 5．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于点，先利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故选：． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数，由平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∵一束平行于主光轴的光线， 故选：A． 7．（2024·广东广州·模拟预测）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】分别连接，，作，交的延长线于，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，；证明，则，利用等腰三角形的三线合一性质得到，从而得到，，，四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当取最大值时，则等于直径，利用勾股定理即可求得结论． 【详解】解：如图，分别连接，，作，交的延长线于， 和是等边三角形， ，，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， 当取最大值时，则等于直径， 为直径， ， ∴， 四边形为矩形， ， ， 而， 点在上， 于， ，两点重合， 如图： 此时为中点，， ． ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，四点共圆等，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，D，E分别是的边，的中点，若的周长为6，则的周长为（    ） A． B．3 C．12 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵点分别是的边，的中点， ∴，即， ∵的周长为6， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 9．（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 10．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在中，，点，分别是，的中点，且，则的周长是（   ） A．16 B．20 C．22 D．24 【答案】C 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的周长等知识，求得是解题的关键．由点，分别是，的中点，根据三角形的中位线定理得，而四边形是平行四边形，所以，，即可求得的周长是22，于是得到问题的答案． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， ， 的周长是22， 故选：C 二、填空题 11．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，，，B为射线上的一个动点，分别以为直角边，B为直角顶点，在两侧作等腰，等腰，连接交于点P．当B在上运动时，的长度为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线， 构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．过点E作，首先证明再证即可解决问题； 【详解】解：如图，过点C作，垂足为点N， ，，均为等腰直角三角形， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， 故答案为：3． 12．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ． 【答案】 【分析】取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O，根据勾股定理求出的长，由折叠性质以及等腰三角形的判定与性质得出共线，即O与重合，利用中位线性质，勾股定理得出一元二次方程，求出结果即可得出结论． 【详解】解：如图所示，取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O， 在中 为中点， ， 由折叠可知：， 点G是中点，在中有，且， 在中，， 在中，E为中点，G为中点， ， 取中点为，则， ， ， 共线，即O与重合， ， 在中，， 为的中点，D为的中点， ， ， ， 在中，设，则， ， ， 在中，，即， 整理得：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的几何应用，中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，折叠性质，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键． 13．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，为中点，为上一点，且，过点作交的延长线于点，交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，以及三角形中位线的性质，证明是的中位线是解答本题的关键． 由，得出，进而得出，然后证明为的中位线，进而根据即可求出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 为的中点，， 为的中点， 为的中位线， ， ， 故答案为：． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形的长，将矩形对折，折痕为，展开后，再将折到的位置，使点C刚好落在线段的中点F处，则折痕 ． 【答案】/ 【分析】过点F作于点G，交于点H，由矩形的性质得，可证明，，则，求得，由折叠得，，，则，所以，由，得，则， ，求得，再证明，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：过点F作于点G，交于点H，如图： ∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴，， 由折叠得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题 15．（2024·广东·模拟预测）如图，是的角平分线，过点D分别作和的平行线，交于点E，交于点F．试判断四边形的形状，并给出证明．    【答案】四边形是菱形，证明见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据菱形的判定即可得． 【详解】解：四边形是菱形，证明如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 16．（2024·广东惠州·模拟预测）综合实践 【提出问题】在一个等腰三角形中，过其中一个顶点作一条直线，把原三角形分为两个等腰三角形，原等腰三角形的顶角的度数是多少？能确定吗？ 【探究问题】如图，是锐角三角形，过点B作交于点D，使得，且． （1）求的度数． （2）当等腰三角形是锐角三角形时，还存在其他的情况吗？若存在，画出大致图象，根据图象求出的度数；若不存在，请说明理由． 【再次探究】（3）除“探究问题”的情况之外，还存在其他类型的等腰三角形吗？若存在，请画出大致图象并求出它的顶角度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2），图见解析（3）见解析 【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角性质以及三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由得出，又因为则，运用三角形内角和性质得，即可作答． （2）先作图，再在上取一点D，使得，与（1）同理，运用三角形内角和性质以及角的运算，即可作答； （3）进行分类讨论：①当顶角为直角时，该三角形为等腰直角三角形，并作图；②当顶角为钝角时，并作图，与前面解题过程同理，运用三角形内角和性质以及角的运算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：存在．如图， 在上取一点D， 使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）解：存在． ①当顶角为直角时，该三角形为等腰直角三角形，如图， 易知等腰直角三角形斜边上的中线把该等腰直角三角形分为两个等腰三角形．此时 ②当顶角为钝角时，如图，在上取一点D，使得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 17．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中，是的角平分线． (1)实践与操作：用尺规作图法，在上找到一点E使得为以为底边的等腰三角形；(保留作图痕迹，不写作法) (2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作交于点F，求证： 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作垂直平分线，角平分线的定义，三角形全等的判定及性质，解题的关键是作出相应的辅助线； （1）理解是需要作线段的垂直平分线即可； （2）利用垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质证明出，再通过等量代换即可证明． 【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：作图如下： 是的角平分线，的垂直平分线交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 18．（2024·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了尺规作垂线，角平分线的定义，垂直平分线的性质，全等三角形的判断．正确的作垂线是解题的关键． （1）以D为圆心，适当长为半径画弧交于M、N，以M、N为圆心，大于长为半径画弧，交于点G，连接，交于E，则是线段的垂直平分线， 即为所求； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质得，，证，即可得出结论． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）证明：为的平分线，为的垂线，， ，， 在和中 ， ， ， ． 19．（2024·广东广州·模拟预测）已知和如图放置，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 20．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，． (1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可． （2）由（1）得为的平分线，利用角平分线的性质可得，再利用三角函数得到，再根据三角形全等的判断及性质即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）解：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图（角平分线），角平分线的定义，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质． 21．（2024·广东汕头·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接． (1)求证：； (2)直接写出和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，证明是解答本题的关键． （1）先证明，然后根据即可证明； （2）延长交于点F，交于点N，由全等三角形的性质得，由可证，进而可证结论成立． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）延长交于点F，交于点N ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 线，角和三角形 课标要求 考点 考向 1. 要求学生理解平行线的性质，能进行简单的推理和计算，能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 2. 掌握角平分线的性质定理及逆定理，能运用其解决相关的几何问题。 3. 理解三角形外角的性质，能运用其进行角度的计算和大小比较。 4. 掌握全等三角形的判定方法和性质，能运用其进行证明和计算，培养逻辑推理能力。 5. 掌握三角形中位线定理，能运用其进行相关的计算和证明，体会转化思想在几何中的应用。 线和角 考向一 平行线的性质 三角形 考向一 三角形的外角性质 考向二 角平分线的性质 考向三 全等三角形的判定与性质 考向四 三角形中位线定理 考点一 线与角 ►考向一 平行线的性质 易错易混：易与平行线的判定混淆，性质是由平行得角的关系，判定是由角的关系得平行。 平行线的性质 平行线的判定 两直线平行，同位角相等。 同位角相等，两直线平行。 两直线平行，内错角相等。 内错角相等，两直线平行。 两直线平行，同旁内角互补。 同旁内角互补，两直线平行。 解题技巧：标注已知条件和图形中的平行、角等关系，结合题目要求明确是用性质还是判定，证明时注意逻辑顺序。 1.（2024•深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 2.（2024•广州）如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，则∠2的度数为 　 　. 3.（2023•广东）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝（　　） A．43° B．53° C．107° D．137° 考点二 三角形 ►考向一 三角形的外角性质 解题技巧/易错易混 易错易混：易忽略外角与不相邻内角的关系，错用与相邻内角的关系；多个外角和内角一起时，易找错对应关系。 解题技巧：标注三角形的内角和外角，明确所求角与已知角的位置关系，利用外角性质建立等式求解角度问题 1.（2024•广东）如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° ►考向二 角平分线的性质 易错易混：使用角平分线性质时易忽略“到角两边的距离”这一垂直条件；对性质和判定的条件与结论易混淆。 解题技巧：见到角平分线，考虑过其上一点向角两边作垂线构造相等线段；证明线段相等时，看是否可通过角平分线性质转化。 1.（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 　 　． ►考向三 全等三角形的判定与性质 易错易混：“SSA”不能判定全等却易误当作判定方法；找全等三角形的对应边和对应角时易出错。 解题技巧：牢记判定定理条件，按顺序罗列条件证明全等；找对应元素时，根据全等符号对应位置确定，或结合图形中边、角的位置关系。 1.（2024•广州）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　　） A．18 B．9 C．9 D．6 2.（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E． ►考向四 三角形中位线定理 易错易混：易与三角形中线概念混淆；使用定理时，易忽略中位线与第三边的双重关系。 解题技巧：对比中位线和中线的定义、性质加深理解；有中位线的题目，利用其平行和数量关系转移线段或角，构建平行四边形等辅助图形解题。 1.（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 　1.2　.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 　3≤S≤4　． 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，将一张矩形纸片沿着所在直线剪开并错位放置，点在一条直线上，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 4．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中， ．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；② 分别以D，E 为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③ 作射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（2024·广东广州·模拟预测）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（　　） A．2 B． C． D． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，D，E分别是的边，的中点，若的周长为6，则的周长为（    ） A． B．3 C．12 D．36 9．（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 10．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在中，，点，分别是，的中点，且，则的周长是（   ） A．16 B．20 C．22 D．24 二、填空题 11．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，，，B为射线上的一个动点，分别以为直角边，B为直角顶点，在两侧作等腰，等腰，连接交于点P．当B在上运动时，的长度为 ． 12．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ． 13．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，为中点，为上一点，且，过点作交的延长线于点，交于点，则的值为 ． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形的长，将矩形对折，折痕为，展开后，再将折到的位置，使点C刚好落在线段的中点F处，则折痕 ． 三、解答题 15．（2024·广东·模拟预测）如图，是的角平分线，过点D分别作和的平行线，交于点E，交于点F．试判断四边形的形状，并给出证明．    16．（2024·广东惠州·模拟预测）综合实践 【提出问题】在一个等腰三角形中，过其中一个顶点作一条直线，把原三角形分为两个等腰三角形，原等腰三角形的顶角的度数是多少？能确定吗？ 【探究问题】如图，是锐角三角形，过点B作交于点D，使得，且． （1）求的度数． （2）当等腰三角形是锐角三角形时，还存在其他的情况吗？若存在，画出大致图象，根据图象求出的度数；若不存在，请说明理由． 【再次探究】（3）除“探究问题”的情况之外，还存在其他类型的等腰三角形吗？若存在，请画出大致图象并求出它的顶角度数；若不存在，请说明理由． 17．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中，是的角平分线． (1)实践与操作：用尺规作图法，在上找到一点E使得为以为底边的等腰三角形；(保留作图痕迹，不写作法) (2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作交于点F，求证： 18．（2024·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：． 19．（2024·广东广州·模拟预测）已知和如图放置，，求证：． 20．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，． (1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积． ． 21．（2024·广东汕头·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接． (1)求证：； (2)直接写出和的位置关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$