专题10 解三角形中结合三角函数、几何图形能力的考查（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题10 解三角形中结合三角函数、几何图形能力的考查 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、解三角形结合三角函数 2 题型二、解三角形中几何图形问题 3 压轴能力测评（12题） 6 一、两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 二、二倍角公式 ①； ②； ③； 三、降幂公式 四、辅助角公式 （其中）． 五、三角形角的关系 （1）中，, = （2）， （3）， 【题型一 解三角形结合三角函数】 一、解答题 1．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 3．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知的内角的对边分别为. (1)判断的形状； (2)若是内一点，且，求面积的最大值. 4．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 5．（2024·安徽淮南·一模）记的内角的对边分别为，已知，． (1)求； (2)若为边上任意一点，作于，设，试用表示，并求的最大值． 6．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的最大值是4，函数图象的一条对称轴是，一个对称中心是． (1)求的解析式； (2)已知中，是锐角，且，边长为3，求的面积的最大值． 【题型二 解三角形中几何图形问题】 一、解答题 1．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 2．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 3．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，点在边上，． (1)若，，，求； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围． 4．（23-24高一下·山东烟台·期中）近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设． (1)是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：） 5．（23-24高一下·四川内江·期中）为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC区域）进行分区改造．△BNC区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC区域规划为学生自主栽培区．△MNC的周围将筑起护栏．已知m，m，，，设． (1)若m，求护栏的长度（△MNC的周长）； (2)试用表示△MNC的面积，并研究△MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 6．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在中，点为边上靠近点的三等分点，，．    (1)若，求三角形的面积； (2)当最小时，求的长． 7．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，. (1)若，求的面积； (2)①求的值； ②求的最大值. 8．（23-24高一下·湖北·阶段练习）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作. (1)当时，称为调和点列，若，求的值； (2)①证明：； ②已知，点为线段的中点，，，求，. 一、解答题 1．（贵州省安顺市2025届高一第三次质量监测考试数学试卷）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，求的面积． 2．（23-24高一下·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为．    (1)求； (2)若，求． 3．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 4．（23-24高一上·广西柳州·阶段练习）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中分别在上．设．    (1)若，求的边长； (2)求的边长最小值． 5．（23-24高一下·广东云浮·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围. 6．（2024·湖南·模拟预测）已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 7．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）在平面四边形中（在的两侧），. (1)若，求； (2)若，求四边形的面积的最大值. 8．（24-25高一上·福建宁德·期中）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 9．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，. (1)求角B的大小； (2)若E为的中点，F是边上的点，且满足，，求的值. 10．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)在中，，其外接圆直径为（如图），，求和． 11．（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，在等边中，，点分别在边上，且，，    (1)用表示; (2)若为等腰直角三角形，求的取值范围； (3)若，求的面积的最小值 12．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值； (3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 解三角形中结合三角函数、几何图形能力的考查 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、解三角形结合三角函数 2 题型二、解三角形中几何图形问题 8 压轴能力测评（12题） 18 一、两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 二、二倍角公式 ①； ②； ③； 三、降幂公式 四、辅助角公式 （其中）． 五、三角形角的关系 （1）中，, = （2）， （3）， 【题型一 解三角形结合三角函数】 一、解答题 1．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得. 【详解】（1）由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； （2）由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）利用辅助角公式得到，结合，求出； （2）由余弦定理列出方程，求出，故，求出答案； （3）由正弦定理，表达出，结合，求出的取值范围. 【详解】（1），故， 因为，所以， 故，解得； （2）由余弦定理得， 又，，所以， 故，所以， 故，； （3）由正弦定理得，为外接圆半径， 故， 又，故， 因为，故， 故， 又， 则 ， 因为，所以，故， . 3．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知的内角的对边分别为. (1)判断的形状； (2)若是内一点，且，求面积的最大值. 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】（1）先应用正弦定理边角转化再结合余弦定理得出勾股定理计算即可； （2）先设，再应用正弦定理边角转化,表示面积为，最后结合三角恒等变换结合正弦函数的最值计算面积最大值即可. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以. 因为，所以，整理得， 则，故为直角三角形. （2）设.因为，所以. 在中，由正弦定理得. 因为，所以， 则. 设的面积为，则 . 当，即时，取得最大值，即面积的最大值为. 4．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为 (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的余弦公式，辅助角公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【详解】（1）， 令，则，， 函数的对称中心为． （2）由可知，， 化简有， 则 ． （3）由可得，即， 又，所以， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 5．（2024·安徽淮南·一模）记的内角的对边分别为，已知，． (1)求； (2)若为边上任意一点，作于，设，试用表示，并求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理可求角大小，再由，可得角； （2）在中，由正弦定理求，在直角中求，再利用三角恒等变换求的最值. 【详解】（1）由得， ， 又，且； （2）由（1）知，，则为直角三角形， 在中，由正弦定理知，即， 在中，， 所以 由，当，即时，取得最大值为. 6．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的最大值是4，函数图象的一条对称轴是，一个对称中心是． (1)求的解析式； (2)已知中，是锐角，且，边长为3，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数性质可确定解析式； （2）根据余弦定理，基本不等式可得面积最大值． 【详解】（1）设的最小正周期为， ∵图象的一条对称轴是，一个对称中心是， ∴， ∴，解得， ∵，则， ∵图象的一条对称轴为， ∴， ∵，∴， 又∵的最大值是4， ∴，则． （2）∵，∴， 又，∴，即， 在中，， 当且仅当时取等号，则， 则的面积为， 所以的面积的最大值为． 【题型二 解三角形中几何图形问题】 一、解答题 1．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值. （2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【详解】（1）在中，，，则、均为锐角， 则，， . （2）在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 2．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件得，在中，由余弦定理得即可； （2）设，，在和中都由正弦定理得，，即，最后化简即可. 【详解】（1）因为在中，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为在中，，所以． （2）在中，设，， 则由正弦定理得，即，① 又在中，，， 则由正弦定理得，即，② 则由①②两式得，，即， 展开并整理得，即，所以， 因为在中，，所以， 把代入①式得，． 3．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，点在边上，． (1)若，，，求； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，在与中，利用余弦定理求解即得. （2）由给定条件，求出角的范围，再利用正弦定理边化角，借助差角的正弦及正切函数的性质求解即得. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，即， 而，解得，则， 在中，， 由余弦定理得. （2）在锐角中，，，且，则， 由正弦定理得， 显然，即有，因此，即， 所以的取值范围是. 4．（23-24高一下·山东烟台·期中）近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设． (1)是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：） 【答案】(1)是定值； (2)8742元． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. 【详解】（1）是定值； 理由如下：在中，，，所以， 由正弦定理得，，所以． 在中，，，， 由正弦定理得，，所以． 所以为定值． （2）由题意可知，要使总费用最低，只需最小， 在中， ， 当且仅当时“=”成立， 所以，所以的最小值为， ， （元） 所以修路费用最少为8742元． 5．（23-24高一下·四川内江·期中）为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC区域）进行分区改造．△BNC区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC区域规划为学生自主栽培区．△MNC的周围将筑起护栏．已知m，m，，，设． (1)若m，求护栏的长度（△MNC的周长）； (2)试用表示△MNC的面积，并研究△MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)（m） (2)，最小值为． 【分析】（1）利用余弦定理证得，从而判断得是正三角形，由此得解； （2）在与中，利用正弦定理求得与关于的表达式，从而利用三角形的面积公式得到关于的表达式，再结合三角函数的最值即可得解. 【详解】（1）依题意，在中，m，m，， 所以，则， ，即， 所以，又，故， 所以是正三角形，则m，m， 所以护栏的长度为（m）． （2）学生自主栽培区的面积有最小值，理由如下： 设，在△ANC中，， 则， 由正弦定理得，得， 在中，， 由正弦定理得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时， 的面积取得最小值为． 6．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在中，点为边上靠近点的三等分点，，．    (1)若，求三角形的面积； (2)当最小时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求得的长，即可得的长，由三角形面积公式即可求得答案. （2）设，利用余弦定理表示出，即可得的表达式，结合基本不等式确定其最小值，即可求得答案. 【详解】（1）在中，，，故，， 由正弦定理得，即， 而， 故， 故， 故的面积为 . （2）设，则， 则在中，， 在中，， 故 ， 由于，当且仅当，即时取等号， 故， 即取到最小值即取最小值时，， 即此时. 7．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，. (1)若，求的面积； (2)①求的值； ②求的最大值. 【答案】(1) (2)①27；②. 【分析】（1）利用余弦定理求解边长，再利用等腰三角形的性质求解面积即可； （2）①利用余弦定理求解即可； ②在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理得，结合三角函数求解最值即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得，， 且是等腰直角三角形，则 （2）①设，因为，由余弦定理可得，， ，即； ②在中，， 由正弦定理可得，则， ，又， 在中，由余弦定理得 （其中为锐角，且）， 由可得， 所以当时，即时，取得最大值. 8．（23-24高一下·湖北·阶段练习）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作. (1)当时，称为调和点列，若，求的值； (2)①证明：； ②已知，点为线段的中点，，，求，. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②， 【分析】（1）设，，结合可整理得到，由此可得的值； （2）①根据，，，，结合三角形面积公式和角之间的等量关系可整理得到结论； ②根据可整理得到，由和可构造方程组求得结果. 【详解】（1）由知：两点分属线段内外分点， 不妨设，， 则，， 由知：，， ，即. （2）①在中， ， ， 则 在中， ， ， 则， 又， ， 即； ②，，即， 又点为线段的中点，即，则， 又，则，， 设，，且， 由可知：， 即，整理可得：； 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得，， 且， 则，即， 由得：或（舍），即，. 一、解答题 1．（贵州省安顺市2025届高一第三次质量监测考试数学试卷）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求解； （2）利用正弦定理得，再结合（1）中结果，求得，再利用面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 即，得到， 又，则，所以，解得. （2）由（1）知，又，所以， 又，所以， 又， 所以. 2．（23-24高一下·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为．    (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式求出的长，再由余弦定理可求出. （2）根据已知条件可由正弦定理优先求出，进而可由内角和为,以及诱导、三角恒等变换公式可求出. 【详解】（1）因为，又， 所以．在中，由余弦定理得： ， 所以. （2）在中，由正弦定理得，即， 解得，又，所以， 所以， ， ，故． 3．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）（1）因为， 可得 ， 因为，所以. （2）解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则，所以函数的值域是. 4．（23-24高一上·广西柳州·阶段练习）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中分别在上．设．    (1)若，求的边长； (2)求的边长最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据几何关系列方程求解即可； （2）利用正弦定理和辅助角公式求解最小值即可. 【详解】（1）设的边长为千米，由得， 中， 为等边三角形，， 故，即的边长为. （2）设的边长为千米，所以， 中，， 由正弦定理得，，故， 其中，当时，取得最小值， 即的边长最小值为. 5．（23-24高一下·广东云浮·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解法一：根据可得利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而分析求解；解法二：由内角和定理结合正弦定理得出，再由三角恒等变换得出； （2）由正弦定理得，结合余弦定理得出，再由锐角三角形的定义得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）解法一：由可得，代入， 得，即， 则. 由正弦定理得， 即， 即，可得. 因为，则， 可知，解得. 解法二：因为，所以. 又因为，则. 即， 由正弦定理得. 且 ， 即有.解得. 由，可得. （2）由（1）可得， 由正弦定理得，① 由余弦定理得. 对①式进行变形可得， 所以. 因为为锐角三角形，所以即 解得，从而， 又，所以，即的取值范围为. 6．（2024·湖南·模拟预测）已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域； （2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案 【详解】（1）， 所以要使有意义， 只需，即， 所以，解得 所以函数的定义域为， 由于，所以， 所以函数的值域为； （2）由于，所以， 因为，所以，所以即， 由锐角可得，所以， 由正弦定理可得， 因为，所以所以， 所以的最大值为2. 7．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）在平面四边形中（在的两侧），. (1)若，求； (2)若，求四边形的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之间的关系，在中用正弦定理可求出； （2）将四边形，分成，，的面积为定值，的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即. 因为，，所以， 又，所以. 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以； （2）设，所以. 在中，由余弦定理得. 所以的面积 ， 所以，此时， 又的面积， 所以四边形的面积的最大值为 8．（24-25高一上·福建宁德·期中）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由正余弦定理得，接着切化弦得，从而求得即可得解. （2）先由余弦定理得，接着由平方得，由正弦定理边化角结合三角恒等变换公式计算化简得，再结合角B的取值范围即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正余弦定理得， 又， 所以，又是锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以. （2）由余弦定理可得，即， 又， 所以， 又由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由题意得，解得，则， 所以，所以， 所以，所以线段长的取值范围为. 9．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，. (1)求角B的大小； (2)若E为的中点，F是边上的点，且满足，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用降幂公式结合辅助角公式化简即可得解； （2）先利用正弦定理化边为角，求出角，再结合（1）的结论以点为原点建立平面直角坐标系，根据，得，再根据数量积得坐标公式即可得解. 【详解】（1）由， 得，即， 所以， 又，所以， 所以，所以； （2）由及正弦定理可得： ， 又，所以， 如图以点为原点建立平面直角坐标系， 设，则， 则， 所以，设， 则， 因为， 所以，解得， 所以. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 10．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)在中，，其外接圆直径为（如图），，求和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简函数，由，得到，即可求解； （2）由（1）知，可得，求得，结合，即可求解； （3）设，圆的半径为，利用正弦定理，列出方程求得的值，结合直角三角形的性质和面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为，可得，即， 又因为，可得，所以，可得. （2）解：由（1）知，可得, 因为为锐角，所以，解得， 则， 因为，可得，所以， 所以的取值范围为. （3）解：因为为圆直径，所以且 设，可得，， 设圆的半径为，在中，可得， 在中，可得， 所以，即，可得， 又因为，解得， 所以， 又由， 所以， 四边形的面积为 . 11．（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，在等边中，，点分别在边上，且，，    (1)用表示; (2)若为等腰直角三角形，求的取值范围； (3)若，求的面积的最小值 【答案】(1)、且； (2)； (3)最小值为. 【分析】（1）在、中应用正弦定理用表示出，注意范围； （2）根据得到，结合范围求的取值范围； （3）由题设得，结合，且令，从而得到，进而有求参数范围，即可得面积最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由，且，，则； 由，且，，，则. 所以，，. （2）为等腰直角三角形，则，即， 所以，而，则，且， 所以. （3）若，则， 令， 则且， 所以，则或（舍）， 存在，使，此时成立， 综上，的面积的最小值为 【点睛】关键点点睛：第二问，根据得到关于的表达式求范围；第三问，将面积作为参数，结合三角恒等变换及正弦型函数性质得到不等关系，求参数范围. 12．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值； (3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？ 【答案】(1) (2) (3)当为何值时，最短 【分析】（1）由题意可知：，结合数量积的运算律分析求解； （2）利用正弦定理可得，结合长度关系分析求解； （3）设，利用面积关系和余弦定理可得，结合三角恒等变换以及基本不等式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：，则， 即， 且，整理可得，即或（舍去）， 所以的值为. （2）在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即， 若为的角平分线，则，即， 且，则， 即，可知， 则，可知， 又因为，则，所以. （3）由（2）可知：，则， 且最短，即为最短， 设，则，，， 可知，可得， 由余弦定理可得， 则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 由（1）可知：，即， 可得，即（负值舍去） 所以当为何值时，最短. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$