专题09 解三角形中有关中线、角平分线、垂线问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题09 解三角形中有关中线、角平分线、垂线问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、中线 2 题型二、角平分线 10 题型三、垂线 16 压轴能力测评（13题） 23 一、中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③ 【题型一 中线】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 二、填空题 2．（23-24高一下·广西柳州·开学考试）三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为 . 【答案】 【分析】先由余弦定理得到，由平面向量基本定理得到，两边平方，结合向量数量积运算法则得到答案. 【详解】由余弦定理得， ，两边平方得， 故. 故答案为： 3．（23-24高一下·山东·期中）在底边为的等腰中，腰边上的中线为，若的面积为4，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，应用三角形面积公式、余弦定理得到含参数关于的方程，根据方程有解求的最小值. 【详解】设，，则，得， 在中，由余弦定理得，得， 由上式平方相加得：，即， 令，设，则在上必有零点， 的对称轴为，则，得，即. 故答案为： 三、解答题 4．（23-24高一下·河南南阳·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且. (1)求面积的最大值； (2)若为边BC的中点，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式，可得，再由余弦定理即可求得答案； （2）由向量的线性运算以及数量积的运算律可得的表达式，再结合（1）的结果推出，即可求得答案. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， 即， 由余弦定理可得， 又，故， 又，，，当且仅当时取等号． ， 故面积的最大值为； （2）是边BC的中点，， ． ，，， 又由（1）知，， ，， 即线段AD的长度为. 5．（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）. 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. (1)求角B的大小； (2)AC边上的中线，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到，再由余弦定理得到，即可求解； 若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到，得到，即可求解； 若选③：由正弦定理化简可得到，求得，即可求解. （2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到，结合面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：若选①：在中，因为， 由， 可得， 由正弦定理得，即， 则， 又因为，故. 若选②：由，可得，所以， 因为，所以. 若选③：因为， 正弦定理得， 又因为，所以， 即， 因为，，所以， 又因为，可得； 综上所述：选择①②③，都有. （2）解：由，可得， 所以，可得，当且仅当时取等号，   则，当且仅当时取等号， 则的面积的最大值为. 6．（2024·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的中线，求的最大值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）. . （2）为中线结果. 【详解】（1）由题可得，，结合正弦定理可得， 因为，所以，得， 因为，所以． （2）易知，（技巧：向量的平行四边形法则） 两边同时平方得，得． 法一：可化为， 因为，所以， 所以，得， 当且仅当时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到） 所以的最大值是4． 法二：， 令 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立．（点拨：三角函数的有界性） 所以的最大值为4． 7．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 8．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求B的大小； (2)若是的中线，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和得到，结合求出； （2）先求出，在中，由正弦定理得，故当时，求出最小值. 【详解】（1）由正弦定理得， 又， 故， 即， 又，故， 故，， 又，故； （2）因为，为的中线， 所以， 又， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故当时，取得最小值，最小值为. 【题型二 角平分线】 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得，由基本不等式可得，然后可得面积最小值. 【详解】在中，记所对的边为， 因为， 所以， 即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正余弦定理可得，即可根据等面积法可得，利用余弦定理可得，由二倍角公式即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得得，    由余弦定理可得， 由于所以， ， 由于，所以， 由于，， 由余弦定理可得， ， ，， ，， ， 故选：B 3．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，可得，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得的值，进而根据余弦定理可得的值． 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， 即， 在中，， 所以， 所以，即， 因为，， 所以，因为， 所以， 因为是的角平分线， 所以， 在中，，① 在中，，② 因为，所以， 由①②可得，， 解得，， 所以，由余弦定理可得，. 故选：A 二、解答题 4．（23-24高一下·辽宁·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角； （2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为角的角平分线交于点， 所以， 因为，所以由，得 ， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. 5．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角B； (2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理即可得到答案； （2）根据面积法得，再利用乘“1”法即可得到最小值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，即， 又因为，则， 因为，所以. （2）因为 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当时，取得最小值. 6．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出； （2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值． 【详解】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理有，又， 所以； （2）①由（1）知，又的面积为， 则，解得， 也， 则 ， 当且仅当时，等号取得到， 所以； ②由题，， 所以， 因为，所以， 所以， 又，， 故， 由基本不等式，当且仅当时，等号取得到， 故， 故，所以． 【题型三 垂线】 一、单选题 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）在△ABC中，若，，，则边上的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先利用余弦定理求得的长，再利用三角形等面积法即可求得边上的高. 【详解】由余弦定理，得， 设边上的高为，则，解得. 故选：C. 2．（23-24高一下·云南昆明·期中）的内角的对边分别为若边上的高等于，且的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，求出，再结合正弦定理，以及勾股定理，即可求解. 【详解】因为的面积为，则， ，则，又，， 设边上的高为，则，， ， 又，， 故选：D． 二、填空题 3．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，角，，所对的边分别为，，c，若，是边上的高，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理可得，根据重要不等式及三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 又，所以， 又因为，所以，即， 当且仅当时取等号， 又是边上的高，则， 所以，则的最大值为． 故答案为：. 三、解答题 4．（23-24高一下·福建厦门·期末）已知分别为锐角三角形三哥内角的对边，且. (1)求； (2)已知，点为的垂心，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和差公式计算得出正切值进而求出角； （2）先根据图形特征应用余弦定理，再应用基本不等式计算求出周长最大值或应用正弦定理再应用三角恒等变换结合角的范围得出周长得最大值. 【详解】（1）依题，由正弦定理， 得， 由，得，代入得 ， 即， 由，得， 得， 由，得. （2）解法一：如图，由为锐角三角形的垂心，有，垂足为，垂足为，即. 由，四边形内角和为，得 设 在中，由余弦定理， 得，即， 由，得，当且仅当时，等号成立 ，得 当时，的最大值为2 故周长的最大值为 解法二：由为锐角三角形的垂心，有，垂足为，垂足为，即. 由，四边形内角和为，得 设则, 在中，由正弦定理, 则, , 因为,故当时，， 故周长的最大值为. 5．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C的值； (2)若，求周长的最大值； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得； （2）根据余弦定理化简后，利用基本不等式即可求得的最大值，即得周长最大值； （3）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； （2）由余弦定理，，即， 整理得，，当且仅当时等号成立，即， 于是，，即当时，周长的最大值为； （3）由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数的图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 【点睛】思路点睛：对于三角形的周长最大值，可考虑余弦定理和基本不等式相结合解决；对于三角形面积的范围，一般考虑利用正、余弦定理将面积化成与正弦型函数相关的解析式，利用三角函数的值域求解. 6．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为． (1)证明：； (2)求角的大小； (3)若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将和代入，根据两角和与差的正弦公式即可证明； （2）由得出，由得出，根据（1）的结论及二倍角公式化简即可求解； （3）根据余弦定理求出和，设，则，，根据三角形面积公式及余弦定理表示出和，进而表示出，再根据基本不等式即可证明． 【详解】（1）证明： ． （2）因为，所以， 因为，所以，所以， 因为， 所以，由正弦定理得，， 由（1）得， ， 所以，即， 因为，所以，所以，即． （3）证明：设，，则， 由余弦定理得，， 整理得，，代入， 得，解得，或 因为，所以， 设，则，， 则， 在中，由余弦定理得，，即， 整理得，， 所以 ， 因为， 当且仅当时，即时等号成立， 又 ， 所以， 即，所以， 所以． 一、单选题 1．（23-24高一下·江西南昌·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理可得，再根据三角形的面积列方程即可得解. 【详解】由余弦定理可知，即， 又，， 则， 所以的面积， 又面积，即， 解得， 故选：B. 2．（23-24高一下·四川宜宾·期末）在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用角平分线表示面积求出边长t,再应用三角形面积公式计算即可. 【详解】设, ， 所以, 所以 故选：D. 3．（23-24高一下·重庆涪陵·期中）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解. 【详解】由余弦定理得，即，即，又， ，即，当且仅当时等号成立. ， . . 故选：B 4．（23-24高一下·浙江衢州·期末）在中，，是的中点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由正弦定理可得，即可得到，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可求解. 【详解】 因为，，在中， 由正弦定理可得， 则， 且是的中点，则， 又，则， 则 ， 又，则， 所以，则， 即的取值范围为. 故选：C 二、填空题 5．（2024高一·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为是的角平分线，若，则的最小值为 【答案】 【分析】利用张角定理得到，再利用不等式中的妙用来求解最值. 【详解】是的角平分线， ， 由张角定理得:， 即， ， ， （当且仅当，即时取“=”）. 故答案为：. 6．（23-24高一下·吉林·期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC中BC边上的高，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用正弦定理，求出，利用辅助角公式求解范围. 【详解】依题意可得，则， 则，解得，， 所以 ． 因为，即，故， 所以,即, 当，即，即时， 取得最大值，且最大值为． 故答案为： 7．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且.则 ；若，是边上的高，且，则 . 【答案】 【分析】由，利用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得，可求的值；以为基底，由，代入数据运算得的关系. 【详解】中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又为的内角，即，，则， 于是，解得，因此，得； 由，，得， 显然， 由，得， 即． 即，所以． 故答案为：； 三、解答题 8．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意结合正、余弦定理边角转化即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理和面积公式可得，，再根据中线性质结合数量积的运算律分析求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由题意可知：，， 又因为，则，， 且，则，即， 整理可得，， 又因为为边上的中线，则， 可得， 所以. 9．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为．已知． (1)求． (2)若点为边的中点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由二倍角公式化简已知等式，然后由正弦定理角化边再结合余弦定理求得. （2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得面积的最大值即可. 【详解】（1）由二倍角公式，得， 即． 由正弦定理，得，即． 由余弦定理，得． 因为，所以． （2）因为点为边的中点，所以， 所以， 即，解得，当且仅当时，等号成立． 所以， 所以面积的最大值为． 10．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角之间互化，再根据三角恒等变化化简求值； （2）利用三角形面积公式得到，从而利用基本不等式求得，由此可得面积的最小值. 【详解】（1）由正弦定理可得，, 所以，即， 因为是的内角，所以， 得，所以， 所以. （2）因为，平分，所以，又， 则由，得， 所以， 又，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故最小值为. 11．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图．在锐角中，点D为边上一点，=，且，．    (1)求边的长； (2)若点D为边BC的中点，求的面积． (3)若AD为的平分线，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求得,再由正弦定理即可求得 （2）首先求得sin, 再由正弦定理求得,根据 为中点，得,即可求得三角形的面积； （3）由角平分线定理，结合余弦定理，求得, 即为中点，再根据（2）的结果即可得三角形面积. 【详解】（1）由, 可得, 所以 又, 在中，由正弦定理可得 即, 故边的长为 （2）由, 可得, 所以. 在中，由正弦定理，可得, 即, 又点为边的中点， 所以 （3）若为的平分线，由角平分线定理，可得, 设, 在中，由余弦定理可得 整理得,解得或（舍去）， 故, 由可知，此时为中点， 故 12．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， (1)求； (2)若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）依题意可得，利用诱导公式及和差角公式得到，即可得解； （2）（ⅰ）由余弦定理得到，再由已知条件得到，由等面积法得到，从而得证；（ⅱ）设，，在中由余弦定理，由三角形相似得到，，从而得到，，则，再利用换元法及函数的性质求出的最大值，即可求出的最大值. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 即， 又， 所以， 所以， 又，所以，所以，即， 因为，所以. （2）（ⅰ）因为，即， 由余弦定理，即， 所以，则， 所以， 又，所以， 所以； （ⅱ）设，， 在中由余弦定理， 由（ⅰ）可得，， 因为，即，即， 且，即，即， 则，所以，， 所以， 且，， 令，则原式， 且，当且仅当时取等号， 所以，又越大则的值越小， 所以， 所以当时，取得最大值， 即，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的第（ⅱ）问关键是设，，得到，通过条件表示出、，然后通过换元以及基本不等式得到的最大值. 13．（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．    (1)若，求的值； (2)过点B作BC的垂线l，D为l上一点． ①若，，求线段AD的长； ②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正弦定理可得，，进而可得可得结论； （2）①由正弦定理可得，可求，进而可求得；②设，则，，由正弦定理可得，进而可求得 ，可求得其取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，∴，， 代入，整理得∴； （2）①在中，由正弦定理，得， ∴，∴或（舍），∴， ∵，且，所以三点共线， ∴，故， ∴，∴． ②设，，，则，， 在中，，则， 在中，， 则 ， 因为，故，， 则，即的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 解三角形中有关中线、角平分线、垂线问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、中线 2 题型二、角平分线 4 题型三、垂线 5 压轴能力测评（13题） 6 一、中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③ 【题型一 中线】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高一下·广西柳州·开学考试）三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为 . 3．（23-24高一下·山东·期中）在底边为的等腰中，腰边上的中线为，若的面积为4，则的最小值为 . 三、解答题 4．（23-24高一下·河南南阳·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且. (1)求面积的最大值； (2)若为边BC的中点，求线段的长度． 5．（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）. 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. (1)求角B的大小； (2)AC边上的中线，求的面积的最大值. 6．（2024·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的中线，求的最大值． 7．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 8．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求B的大小； (2)若是的中线，求的最小值． 【题型二 角平分线】 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（    ） A． B． C． D．4 二、解答题 4．（23-24高一下·辽宁·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 5．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角B； (2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 6．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 【题型三 垂线】 一、单选题 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）在△ABC中，若，，，则边上的高为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24高一下·云南昆明·期中）的内角的对边分别为若边上的高等于，且的面积为，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，角，，所对的边分别为，，c，若，是边上的高，，则的最大值为 ． 三、解答题 4．（23-24高一下·福建厦门·期末）已知分别为锐角三角形三哥内角的对边，且. (1)求； (2)已知，点为的垂心，求的周长的最大值. 5．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C的值； (2)若，求周长的最大值； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 6．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为． (1)证明：； (2)求角的大小； (3)若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：． 一、单选题 1．（23-24高一下·江西南昌·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川宜宾·期末）在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆涪陵·期中）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 4．（23-24高一下·浙江衢州·期末）在中，，是的中点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024高一·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为是的角平分线，若，则的最小值为 6．（23-24高一下·吉林·期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC中BC边上的高，，则的最大值为 ． 7．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且.则 ；若，是边上的高，且，则 . 三、解答题 8．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 9．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为．已知． (1)求． (2)若点为边的中点，且，求面积的最大值． 10．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值. 11．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图．在锐角中，点D为边上一点，=，且，．    (1)求边的长； (2)若点D为边BC的中点，求的面积． (3)若AD为的平分线，求的面积． 12．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， (1)求； (2)若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 13．（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．    (1)若，求的值； (2)过点B作BC的垂线l，D为l上一点． ①若，，求线段AD的长； ②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$