第06章 图形的相似 章节整合练习（15个知识点+40题练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第06章 图形的相似 章节整合练习（15个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点5．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点6．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似. 知识点7．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点8．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点9．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点10．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． 知识点11．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点12．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点13．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点14．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 知识点15．相似形综合题 主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大． 章节整合练习题 一、单选题 1．若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 2．在平面直角坐标系中，已知，，连接、、，以原点为位似中心，位似比为，把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 3．在△ABC与△DEF中，，，如果∠B=50°，那么∠E的度数是（  ）． A．50°； B．60°； C．70°； D．80°． 4．已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是(    )． A．100000:1 B．1000:1 C．1:100000 D．1:1000 5．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 6．已知甲、乙两地图的比例尺分别为和，如果甲图上、两地的距离与乙图上、两地的距离恰好一样长，那么、两地的实际距离与、两地的实际距离之比为（ ） A．5:2 B．2:5 C．1:4 D．4:1 7．下列说法中正确的有（    ） ①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81；④边数相同的正多边形一定相似；⑤矩形都相似． A．1个 B．3个 C．4个 D．2个 8．如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（ ） A．40° B．60° C．80° D．100° 10．如图，在菱形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，交于点O，若S△AOB：S△DOE＝25：9，则CE：BC等于（　　） A．2：5 B．3：5 C．16：25 D．9：25 11．如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（    ） A．E为AC的中点 B．DE是中位线或AD·AC=AE·AB C．∠ADE=∠C D．DE∥BC或∠BDE+∠C=180° 12．下列条件：①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠A′=45°，A′B′=16，A′C′=20；②∠A=47°，AB=1.5，AC=2，∠B′=47°，A′B′=2.8，B′C′=2.1；③∠A=47°，AB=2，AC=3，∠B′=47°，A′B′=4，B′C′=6，其中能判定△ABC与△A′B′C′相似的有 (    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为，则这个相似三角形的最短边为（    ） A． B． C． D． 14．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在中，，，，依次裁下宽为的矩形彩条、、……．若使裁得的矩形纸条的长都不小于，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条总数是（      ） A． B． C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点是线段上一点，过点C作轴，垂足为D，轴，垂足为E，．若双曲线经过点C，则k的值为（    ） A． B． C． D． 16．如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（   ） A．4 cm2 B．6 cm2 C．8cm2 D．10cm2 二、填空题 17．如图，、相交于点，与不平行，当满足条件 时，． 18．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为 ． 19．已知线段a，b，c，d成比例，且a＝6 cm，b＝3 dm，d＝dm，则线段c的长为 cm． 20．如图，要使△ AEF∽△ ACB，已具备的条件是 ，从边上来说还需补充的条件是 ． 21．黄金分割比是，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是 ． 22．D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要使△AED∽△ABC，添加一个条件 （只能填一个）即可． 23．若，则＝ ． 24．如图，l1l2l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF= ． 25．二次函数的图像过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ． 26．早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为的杆子（“表”）在间距为的两个地点测日影，测得影长分别为、，用这种方式计算出的日高公式 ．（用、、、的代数式表示） 27．如图，在中，点D为边上一点，，点E为的中点，，若，的值为 ． 28．如图，过坐标原点O的直线与两函数，的图象分别交于A，B两点，作轴于H，连接BH交x轴于点C，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 29．如图，AC＝30，BC＝15，EC＝10，CD＝5，试证明△ABC∽△EDC. 30．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长． 31．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的变成了，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？ 32．下图是我国北方某地一棵树在一天不同时刻拍下的五张图片，仔细观察后回答下列问题． (1)说出这五张图片所对应的时间的先后顺序； (2)根据生活经验，谈谈由早到晚该地物体影子的长短变化规律． 33．如图，已知D为上一点，点C在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点E，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求BE的长 34．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为边CD延长线上一点，连接BE交边AD于点F．请找出一对相似三角形，并加以证明． 35．如图，已知在ABC中，AB=，AC=2，BC=3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMIN与△ABC相似，求线段MN的长．    36．如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM于点H，延长DH与AC的延长线交于点E，与BC交于点F 求证：（1） AED∽CBM； （2）AE·CM＝AC·CD 37．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是的重心． （1）求证：； （2）若的面积是1，求的面积． 38．给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点在反比例函数上，若点绕着点旋转度后得到点，我们称是关于的“伴随点”． (1)若的横坐标为，则点关于的“伴随点”的所表示的点是______； (2)若的横坐标为，一次函数与该反比例函数的交点记为，则点关于的“伴随点”的所表示的点是______； (3)若关于的“伴随点”为，由、和坐标原点构成的三角形为等腰直角三角形，且为直角边，求的值． 39．如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 40．同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答： (1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________； (2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积； (3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 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（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点6．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似. 知识点7．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点8．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点9．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点10．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． 知识点11．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点12．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点13．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点14．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 知识点15．相似形综合题 主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大． 章节整合练习题 一、单选题 1．若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 【答案】C 【分析】根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解． 2．在平面直角坐标系中，已知，，连接、、，以原点为位似中心，位似比为，把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【详解】解：∵， ∴的坐标为或， 即的坐标为或， 故选：C． 3．在△ABC与△DEF中，，，如果∠B=50°，那么∠E的度数是（  ）． A．50°； B．60°； C．70°； D．80°． 【答案】C 【分析】根据已知可以确定；根据对应角相等的性质即可求得的大小，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴ 与是对应角，与是对应角， 故． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，本题中得出和是对应角是解题的关键． 4．已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是(    )． A．100000:1 B．1000:1 C．1:100000 D．1:1000 【答案】C 【分析】比例尺=图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺． 【详解】∵10km=1000000cm， ∴比例尺为10：1000000=1：100000． 故选C． 【点睛】掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．比例尺=图上距离：实际距离，图上距离在前，实际距离在后. 5．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 6．已知甲、乙两地图的比例尺分别为和，如果甲图上、两地的距离与乙图上、两地的距离恰好一样长，那么、两地的实际距离与、两地的实际距离之比为（ ） A．5:2 B．2:5 C．1:4 D．4:1 【答案】C 【分析】根据题意，列比例式分别求出A、B和C、D两地的实际距离，再求得A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比的值． 【详解】解：把图上距离看作单位1，设A. B和C. D两地的实际距离分别为x和y，则： 1:5000=1:x， 解得x=5000， 1:20000=1:y， 解得y=20000， ∴x:y=5000:20000=1:4． 故选C． 【点睛】解答此题的关键是把图上的距离看做单位1，根据比例尺分别表示出实际距离，进一步求得比值． 7．下列说法中正确的有（    ） ①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81；④边数相同的正多边形一定相似；⑤矩形都相似． A．1个 B．3个 C．4个 D．2个 【答案】D 【分析】根据位似图形、相似三角形、相似多边形的判定与性质即可作出判断． 【详解】解：①位似图形都相似，正确． ②两个等腰三角形不一定相似，错误； ③两个相似多边形的面积比为4：9，周长比应该是2：3，错误； ④边数相同的正多边形相似，角相等，边成比例，正确； ⑤矩形不一定相似，边不一定成比例，错误 故选：D． 【点睛】本题考查相似图形的有关性质，解题的关键是理解相似三角形、相似多边形的定义和性质，属于中考常考题型． 8．如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断四边形为平行四边形得到，再利用平行线分线段成比例，由得到，然后利用比例性质得到，从而可得到的长． 【详解】∵，，， 四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．正确构造出是解答本题关键． 9．如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（ ） A．40° B．60° C．80° D．100° 【答案】C 【详解】解：∵△ABC∽△AED ∴∠C＝∠ADE＝80°． 故应选C 10．如图，在菱形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，交于点O，若S△AOB：S△DOE＝25：9，则CE：BC等于（　　） A．2：5 B．3：5 C．16：25 D．9：25 【答案】A 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，平行四边形的对边平行且相等，平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD，CD∥AB ∴△AOB∽△EOD ∴S△AOB：S△DOE=（AB）2：（DE）2=25：9 ∴AB：DE=5：3 ∴设AB=5a，则DE=3a ∴BC=CD=5a，EC=2a ∴EC：BC=2：5 故选A． 【点睛】考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 11．如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（    ） A．E为AC的中点 B．DE是中位线或AD·AC=AE·AB C．∠ADE=∠C D．DE∥BC或∠BDE+∠C=180° 【答案】D 【分析】如图，分两种情况分析：由△ADE与△ABC相似，得，∠ADE=∠B或∠ADE=∠C，故DE∥BC或∠BDE+∠C=180°. 【详解】因为，△ADE与△ABC相似， 所以，∠ADE=∠B或∠ADE=∠C 所以，DE∥BC或∠BDE+∠C=∠BDE+∠ADE=180° 故选D 【点睛】本题考核知识点：相似性质.解题关键点：理解相似三角形性质. 12．下列条件：①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠A′=45°，A′B′=16，A′C′=20；②∠A=47°，AB=1.5，AC=2，∠B′=47°，A′B′=2.8，B′C′=2.1；③∠A=47°，AB=2，AC=3，∠B′=47°，A′B′=4，B′C′=6，其中能判定△ABC与△A′B′C′相似的有 (    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法依次判断即可解答. 【详解】①，∠A=∠A′=45°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△A′B′C′；②，∠A=∠B′=47°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△B′C′A′；③，∠A=∠B′=47°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△B′A′C′. 故选D. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，熟知判定定理是解决本题的关键. 13．三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为，则这个相似三角形的最短边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】设这个相似三角形的最短边为， 三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为， ， 解得：， 这个相似三角形的最短边为． 故选． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 14．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在中，，，，依次裁下宽为的矩形彩条、、……．若使裁得的矩形纸条的长都不小于，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条总数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】试题分析：设所求的矩形有x张，其中最小的矩形的长为，则由题意可得，解得，再结合即可求得结果． 【详解】设所求的矩形有x张，其中最小的矩形的长为， 则，解得 又∵ ∴，解得 ∴最多能裁张 故选：C． 【点睛】本题是相似三角形的基础应用题，体现了“数学来源于生活，服务于生活”，同时将方程及不等式的知识综合应用，难度适中． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点是线段上一点，过点C作轴，垂足为D，轴，垂足为E，．若双曲线经过点C，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线求出OA，OB的长，设出C(x，)，证明，得出CE，CD的长，进而得出结论． 【详解】解：对于，当时，；当时，， ， ， 设， 根据题意知，四边形ODCE是矩形， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 解得： 经检验，是原方程的根， ∵点C在反比例函数的图象上， ，即， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质以及待定系数法求函数的解析式等，难度适中，正确求得C的坐标是关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 16．如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（   ） A．4 cm2 B．6 cm2 C．8cm2 D．10cm2 【答案】B 【详解】试题解析：：∵△ABC被一平行于BC的矩形所截， ∴EH∥FG∥BC， ∴△AEH∽△AFG∽△ABC， 又∵AB被截成三等份， ∴，， ∴S△AEH=2cm2，S△AFG=8cm2， 则S阴影=S△AFG-S△AEH=6cm2． 故选B． 二、填空题 17．如图，、相交于点，与不平行，当满足条件 时，． 【答案】∠B 【分析】由相似三角形的判定可直接进行求解． 【详解】解：当满足条件∠C=∠B时，△AEC∽△DEB，理由如下： ∵∠AEC=∠DEB，∠C=∠B， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 18．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为 ． 【答案】2：3 【详解】试题分析：根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比可得：△ABC与△DEF对应边上的中线的比为2:3． 考点：相似三角形的应用． 19．已知线段a，b，c，d成比例，且a＝6 cm，b＝3 dm，d＝dm，则线段c的长为 cm． 【答案】3 【分析】根据比例线段的定义得出，即，解之可得c． 【详解】根据题意，得， 即，解得c＝3． 故线段c的长为3 cm． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是关键． 20．如图，要使△ AEF∽△ ACB，已具备的条件是 ，从边上来说还需补充的条件是 ． 【答案】 ∠ FAE=∠ BAC 【详解】试题解析：由图示可知∠EAF=∠CAB 要使△AEF和△ACB相似 根据三角形相似的判定定理，需要补充条件是∠EAF=∠CAD，或∠AEF=∠C，或． 从边上来说是：． 故答案为∠EAF=∠CAB， ． 点睛：三角形相似的判定定理为： ①两角对应相等两三角形相似； ②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似； ③三边对应成比例，两个三角形相似． 21．黄金分割比是，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是 ． 【答案】0.6180 【分析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是3，不需往前面进一位． 【详解】解：根据题意，0.61803398…≈0.6180， 故答案是：0.6180． 【点睛】本题主要考查了有效数字的定义,，解题的关键是掌握从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．注意运用四舍五入法取近似数时，要看保留位数的下一位是舍还是入，与其它数位无关． 22．D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要使△AED∽△ABC，添加一个条件 （只能填一个）即可． 【答案】∠AED=∠B或∠ADE=∠C或.(只写出一种即可) 【详解】试题分析：∵∠AEB=∠B，∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC， 故添加条件∠AEB=∠B即可以使得△AED∽△ABC， 故答案为∠AEB=∠B． 考点：相似三角形的判定． 23．若，则＝ ． 【答案】 【分析】设=k(k≠0)，分别用k表示出x、y和z,进而求出的值. 【详解】设 =k，即x=3k，y=4k，z=5k， 故 = =． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了比例的性质,解题的关键是设出 =k ,进而求解. 24．如图，l1l2l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF= ． 【答案】4 【分析】根据l1∥l2∥l3，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案． 【详解】∵l1∥l2∥l3， ∴， 又∵AB=5，DE=2，AC=15， ∴BC=10， ∴ ∴EF=4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容，找准对应关系是解题的关键． 25．二次函数的图像过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求出点B的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，易证△BFM∽△AOB，然后根据相似三角形的性质可求得BF的长，进而可得点M坐标；当∠BAM=90°时，辅助线的作法如图2，同样根据△BAE∽△AMH求出AH的长，继而可得点M坐标． 【详解】解：对，当x=0时，y=3，∴点B坐标为（0，3）， 抛物线的对称轴是直线：， 当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，则， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 又∠MFB=∠BOA=90°， ∴△BFM∽△AOB， ∴，即，解得：BF=3， ∴OF=6， ∴点M的坐标是（，6）； 当∠BAM=90°时，如图2，过点A作EH⊥x轴，过点M作MH⊥EH于点H，过点B作BE⊥EH于点E，则， 同上面的方法可得△BAE∽△AMH， ∴，即，解得：AH=9， ∴点M的坐标是（，﹣9）； 综上，点M的坐标是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点和对称轴、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 26．早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为的杆子（“表”）在间距为的两个地点测日影，测得影长分别为、，用这种方式计算出的日高公式 ．（用、、、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，，即：，可得，同理，可得，即：，则有，问题随之得解． 【详解】如图， 根据题意有：，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 同理， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 27．如图，在中，点D为边上一点，，点E为的中点，，若，的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，解方程，解题的关键是正确作出辅助线． 如图，过点C作交的延长线于点G，在上取点F，连接，证出，解得．设，则，得出，，设，则，，列出方程即可求解 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G，在上取点F，连接，使． 则， ∴， 即， ∴． 设，则， ∴，，， ∴，， ∴． 设，则，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴． 故答案为：． 28．如图，过坐标原点O的直线与两函数，的图象分别交于A，B两点，作轴于H，连接BH交x轴于点C，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据反比例函数的性质，得到；设A点坐标为（m，），得到H（0，），进而求得OA的解析式，OA解析式和联立，求得B（，），由相似可以判断②③；求出BH解析式，然后求得C点坐标，根据三角形面积即可判断④． 【详解】解：①根据反比例函数的性质，得到，故①正确； 设A点坐标为（m，），则H（0，） 设直线AB的解析式为，代入A点坐标，得 ， 解得 ∴直线AB的解析式为 将和联立， 解得 ∴B点坐标为（，） 设直线BH的解析式为，代入B、H坐标得， ， 解得 ∴直线BH的解析式为 当y=0时，x= ∴， ∵OC∥AH ∴ ∴相似比为， ∴，，故②正确，③错误 ∵ ∴ ∴，故④正确 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，对于反比例函数，k过图像上的点向两坐标轴做垂线，所形成的矩形的面积． 三、解答题 29．如图，AC＝30，BC＝15，EC＝10，CD＝5，试证明△ABC∽△EDC. 【答案】见解析 【分析】因为夹角相等，所以只要证明即可证明相似. 【详解】解:∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形判定定理，如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，则两个三角形相似. 30．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长． 【答案】EC的长为． 【分析】根据AD∥EB∥FC，由平行线分线段成比例可得EC：AC= BF：DF，代入数据计算即可． 【详解】∵AD∥EB∥FC， ∴EC：AC= BF：DF， ∴EC：12=7：10， ∴EC=． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线写出对应比例式是解题的关键． 31．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的变成了，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？ 【答案】放缩比例是3：1，面积扩大为原来的9倍 【分析】根据放缩比例等于对应边的比解答；根据相似多边形面积的比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm， ∴这次复印的放缩比例是6：2=3：1， ∴这个多边形的面积变为原来的9倍． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似比的求解以及相似多边形面积的比等于相似比的平方． 32．下图是我国北方某地一棵树在一天不同时刻拍下的五张图片，仔细观察后回答下列问题． (1)说出这五张图片所对应的时间的先后顺序； (2)根据生活经验，谈谈由早到晚该地物体影子的长短变化规律． 【答案】(1)按时间先后顺序分别是(b)(d)(a)(c)(e)；(2)上午太阳光照射物体产生影子较长，后逐渐变短，到中午最短，到下午又逐渐变长． 【详解】解：（1）根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．然后依次为西北-北-东北-东， 故分析可得：按时间先后顺序分别是（b）（d）（a）（c）（e）； （2）由上午太阳光照射物体产生影子较长，后逐渐变短，到中午最短，到下午又逐渐变长. 33．如图，已知D为上一点，点C在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点E，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求BE的长 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接．根据等腰三角形的性质得到，根据切线的判定和性质即可得到结论； （2）根据切线的性质得到，由（1）知，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵与相切，是半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切； （2）解：∵与相切， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 34．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为边CD延长线上一点，连接BE交边AD于点F．请找出一对相似三角形，并加以证明． 【答案】见解析． 【分析】选择△ABF∽△DEF，根据四边形ABCD是平行四边形可知AB∥CD，再由平行线的性质得出∠ABF＝∠E，∠A＝∠FDE，据此可得出结论． 【详解】解①选择：△ABF∽△DEF 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠ABF＝∠E，∠A＝∠FDE， ∴△ABF∽△DEF． ②选择：△EDF∽△ECB 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠C＝∠FDE． 又∵∠E＝∠E， ∴△EDF∽△ECB． ③选择：△ABF∽△CEB 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠A＝∠C． ∴∠ABF＝∠E． ∴△ABF∽△CEB． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是找出熟知相似三角形的判定方法． 35．如图，已知在ABC中，AB=，AC=2，BC=3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMIN与△ABC相似，求线段MN的长．    【答案】或 【分析】分△AMN∽△ABC与△ANM∽△ABC两种情况进行讨论，即可求解． 【详解】当△AMN∽△ABC时， ∵点M为AB的中点，AB=，AC=2，BC=3， ∴， ∴， 解得：MN=， 当△ANM∽△ABC时， ∵，即：， 解得：MN=． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质定理，掌握相似三角形对应边成比例，是解题的关键． 36．如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM于点H，延长DH与AC的延长线交于点E，与BC交于点F 求证：（1） AED∽CBM； （2）AE·CM＝AC·CD 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由CD是Rt△ABC斜边AB上的高，得到∠ACB＝∠ADC＝90°，等量代换得∠A＝∠BCM，同理可得∠MDH＝∠MBD，再代换得到∠ADE＝∠CMB，即可证得△AED∽△CBM； （2）由（1）可得对应边成比例，再由△ACD∽△ABC，得，等量代换得到结论． 【详解】证明：（1）∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高， ∴∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCM＋∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCM.同理可得∠MDH＝∠MBD. ∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD， ∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH， ∴∠ADE＝∠CMB.又∵∠A＝∠BCM， ∴△AED∽△CBM. （2）由（1）可知△AED∽△CBM， ∴，即AE·CM＝AD·CB. ∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD∽△ABC， ∴， 即AD·BC＝AC·CD， ∴AE·CM＝AC·CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、性质，利用角进行等量代换是关键． 37．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是的重心． （1）求证：； （2）若的面积是1，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）6． 【分析】（1）连接DE，则DE是△ABC的中位线，从而可得DE∥AC且AC=2DE，即可得△DEG∽△ACG，即可求得AG=2DG，从而可得结论； （2）利用底高的两个三角形面积比等于底的边、三角形中线平分三角形面积的性质即可求得结果． 【详解】如图，连接DE ∵AD、CE是△ABC的中线 ∴DE是△ABC的中位线 ∴DE∥AC且AC=2DE ∴△DEG∽△ACG ∴ ∴AG=2DG ∴AD=AG+DG=3DG （2）∵△ACG、△DCG的底边AG、DG 上的高相等 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵AD是△ABC的边BC上的中线 ∴ ∴ 即△ABC的面积为6 【点睛】本题考查了三角形的重心含义、与三角形中线有关的面积问题、三角形的中位线的性质、三角形相似的判定与性质，关键是通过辅助线，三角形中位线性质与三角形相似完美解决了本题．当然本题有多种辅助线的作法． 38．给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点在反比例函数上，若点绕着点旋转度后得到点，我们称是关于的“伴随点”． (1)若的横坐标为，则点关于的“伴随点”的所表示的点是______； (2)若的横坐标为，一次函数与该反比例函数的交点记为，则点关于的“伴随点”的所表示的点是______； (3)若关于的“伴随点”为，由、和坐标原点构成的三角形为等腰直角三角形，且为直角边，求的值． 【答案】(1)(0，-1) (2)(5，2)或 (3) 【分析】（1）根据“伴随点”的定义可知，点为的中点，利用中点坐标公式可得答案； （2）首先联立方程得，求出点的坐标，再利用中点坐标公式可得答案； （3）分点在第三象限和第一象限，作于，利用∽，得，表示出点的坐标，从而得出答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，且的横坐标为， ， 点为的中点， ， 即， 故答案为：； （2）解：的横坐标为， ， 当时， 解得或， 或， 当时，根据中点坐标公式得， 当时，根据中点坐标公式得， 故答案为：或； （3）解：当点在第三象限时，如图，作于， 则， ， ， ∽， ， ，， ，， ， ， 解得正值舍去， ∴； 当点在第一象限时，如图， 则， ， ， ∽， ， ，， ，， ， ， 解得负值舍去， ∴ 综上，由、和坐标原点构成的三角形为等腰直角三角形，且为直角边，． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，中点坐标公式，相似三角形的判定与性质等知识，理解定义，并利用相似三角形的性质表示出点的坐标是解题的关键． 39．如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【点睛】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 40．同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答： (1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________； (2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积； (3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)BP的长度为2或3或6或7． 【分析】（1）由正方形的性质可得，，根据ASA可证，由全等三角形的性质可得结论； （2） 过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，证明△进而证明； （3）分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ ∵是对角线， ∴∠， ∴∠， ∵四边形是正方形， ∴∠， ∴∠ 又∠ ∴， ∴ ∴ 故答案为: （2）过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图， ∵点O是正方形ABCD的中心， ∴ 又∠A=90° ∴四边形ATOM是正方形， ∴ 同（1）可证△ ∴ （3）解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形， ①当∠AFP=90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q， ∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°， ∴四边形ABEQ是矩形， ∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E， ∴∠EFP+∠EPF=90， ∵∠AFP=90°， ∴∠EFP+∠AFQ=90°， ∴△EFP∽△QAF， ∴， ∵QF=EQ-EF=4， ∴， ∴EP=1， ∴BP=BE-EP=7； ②当∠APF=90°时，如图⑤， 同①的方法得，△ABP∽△PEF， ∴， ∵PE=BE-BP=8-BP， ∴， ∴BP=2或BP=6； ③当∠PAF=90°时，如图⑥， 过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N， 同①的方法得，四边形ABPM是矩形， ∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°， 同①的方法得，四边形ABEN是矩形， ∴AN=BE=8，EN=AB=6， ∴FN=EN-EF=4， 同①的方法得，△AMP∽△FNA， ∴， ∴， ∴AM=3， ∴BP=3， 即BP的长度为2或3或6或7． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$