第02章 直线与圆的位置关系 章节整合练习（8个知识点+40题练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第02章 直线与圆的位置关系 章节整合练习（8个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点6.切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点7．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点8．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 章节整合练习 一、单选题 1．用尺规作图作三角形的内切圆，用到了哪个基本作图（    ） A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角 C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线 2．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=110°，则∠ACB的度数为（   ） A．70° B．60° C．55° D．50° 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是（   ） A．1 B． C． D． 4．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB=40°，下列说法不正确的是（　　） A．PA=PB B．∠APO=20° C．∠OBP=70° D．∠AOP=70° 5．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（　　） A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3 6．已知⊙O的面积为9πcm2，若圆心O到直线的距离为3cm，则直线与⊙O的位置关系是(　 　) A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 7．如图，在⊙O中，AD，CD是弦，连接OC并延长，交过点A的切线于点B，若∠ADC=25°，则∠ABO的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 8．下列判断正确的是（ ） ①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交． A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 9．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O.若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ） A．20° B．25° C．40° D．50° 10．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（   ） A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点 B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点 C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点 D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点 12．如图，PA＝，∠APO＝30°，要使PA切⊙O于A，那么PO长为(    )． A． B．2 C．1 D． 13．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 14．下列命题中的真命题是（　　） ①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 15．下列说法中，不正确的是 (     ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 16．如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为(     ) A．70° B．90° C．60° D．45° 二、填空题 17．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 18．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝ ． 19．已知的半径为，直线，且与相切，圆心O到的距离为，则与的距离为 ． 20．如图，上三点A，B，C，半径，的切线交 延长线于点P，则的长为 ． 21．如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则的度数为 ．    22．已知：如图：AB是⊙O的直径，BD＝OB，∠CAB＝30°．请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除AO＝OB＝BD 外）；① ；② ；③ ． 23．如图是的弦，交于点，过点的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为 ．    24．如图，△ABC中，若AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的内切圆半径R= ． 25．已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 26．如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线相切．设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当时， ． 三、解答题 27．直线l与半径为r的⊙相交，且点O到直线l的距离为5，求r的取值范围． 28．如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 29．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线． 30．如图，矩形中，，，E是边上的点，以为直径的恰好与相切，切点为G． (1)求的半径； (2)延长交的延长线于点F，求的值． 31．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，F为弧BC上一点，且∠FBC＝∠ABC，连接DF，分别交BC、AB于E、G． (1)如图1，求证：DF⊥BC； (2)如图2，连接EH，过点E作EM⊥EH，EM交⊙O于点M，交AB于点N． ①求证：EN＝GN； ②连接OC，求证：△CHO≌△HEN． 32．如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，OA长为半径的圆与、分别交于点D、E，且． (1)判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 33．如图，在中，，，． 的外接圆半径为______； 用直尺和圆规作出的内切圆保留作图痕迹，不写作法，并求出的内切圆半径． 34．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆相交于点，连接．    (1)若，，求的度数； (2)求证：． 35．如图，内接于⊙O，于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，，．求： （1）的度数； （2）线段AD的长；（结果保留根号） （3）图中阴影部分的面积． 36．如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F． （1）求∠AFE的度数； （3）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）． 37．如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线． 38．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长． 39．如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为． （1）求与直线相切时点的坐标． （2）请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 40．如图，在中，，，以边上上一点为圆心，为半径作，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点．    （1）求证:是的切线． （2）若，是半圆上一动点，连接，，．填空： ①当的长度是________时，四边形是菱形； ②当的长度是___________时，是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 直线与圆的位置关系 章节整合练习（8个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点6.切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点7．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点8．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 章节题型整合练习 一、单选题 1．用尺规作图作三角形的内切圆，用到了哪个基本作图（    ） A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角 C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线 【答案】C 【分析】根据三角形内心的定义解答． 【详解】解：三角形的内切圆的圆心叫三角形的内心，是三角形三个角平分线的交点， ∴用尺规作图作三角形的内切圆，用到了作角的平分线的作法， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形内心的定义，正确理解定义是解题的关键． 2．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=110°，则∠ACB的度数为（   ） A．70° B．60° C．55° D．50° 【答案】A 【分析】连接OB和OA，根据切线的性质求出∠OBM，求出∠OBA，根据等腰三角形的性质求出∠OAB，再求出∠AOB，最后根据圆周角定理求出∠ACB即可． 【详解】连接OB和OA， ∵BM切⊙O于B， ∴∠OBM=90°， ∵∠MBA=110°， ∵∠OBA=∠MBA-∠OBM=20°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=20°， ∴∠AOB=180°-20°-20°=140°， ∴由圆周角定理得：∠ACB=∠AOB=70°， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】设AC与⊙O相切于点D，连接OD，AO．在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC=6，再证明BC=PC，所以可求∠BPC=45°．设⊙O的半径是r，根据三角形ABP的面积的两种表示方法，得2r+10r=12，解方程即可求解． 【详解】解：设AC与⊙O相切于点D，连接OD，AO，⊙O的半径是r， ∵∠C=90°，AC=8，AB=10， ∴BC=6， ∵PC=8-2=6， ∴BC=PC； ∴∠BPC=45°， ∴S△APB=S△APO+S△AOB=S△ABC-S△BCP， ×2r+×10r=×6×8-×6×6 2r+10r=12， 解得r=1． 故选A． 【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理．熟练运用勾股定理，根据已知条件发现特殊直角三角形，运用三角形面积的不同表示方法列方程求解． 4．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB=40°，下列说法不正确的是（　　） A．PA=PB B．∠APO=20° C．∠OBP=70° D．∠AOP=70° 【答案】C 【分析】根据切线长定理得A，B是正确的；再根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余得D是正确的；根据切线的性质定理得C错误. 【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，且∠APB=40º， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO=20º，∠OAP=∠OBP=90º， ∴∠BOP=∠AOP=70º， ∴C是错误的. 故选C. 【点睛】本题考查了切线长定理和切线的性质定理，要求对于切线的性质比较熟练. 5．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（　　） A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3 【答案】B 【详解】因为直线l与⊙O至少有一个公共点，所以包括直线与圆有一个公共点和两个公共点两种情况，因此d≤r，即d≤3. 故选B． 6．已知⊙O的面积为9πcm2，若圆心O到直线的距离为3cm，则直线与⊙O的位置关系是(　 　) A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】设圆的半径是r，根据圆的面积公式求出半径,再和点到直线的距离比较即可. 解：设设圆的半径是r，则πr2=9π. ∴r=3 ∵圆心O到直线的距离为3cm， ∵3=3，即：r=d， ∴直线l与⊙O的位置关系是相切， 故选A. 7．如图，在⊙O中，AD，CD是弦，连接OC并延长，交过点A的切线于点B，若∠ADC=25°，则∠ABO的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】B 【详解】解：连接AO， ∵OA为半径， ∴∠OAB=90°， ∵∠AOB=2∠ADC=50°， ∴∠ABO=180°-90°-50°=40°． 故选B． 8．下列判断正确的是（ ） ①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交． A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 【答案】D 【详解】试题分析：根据直线和圆的位置关系的特征依次分析各小题即可． ①正确说法应为：圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离，故本小题错误； ②正确说法应为：圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切，故本小题错误； ③直线上一点到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交，本小题正确． 故选D. 考点：本题考查的是直线和圆的位置关系 点评：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 9．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O.若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ） A．20° B．25° C．40° D．50° 【答案】D 【详解】如图，连接OA， ∵AC是⊙O的切线， ∴∠OAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=20°， ∴∠AOC=40°， ∴∠C=50°． 故选D． 考点：切线的性质. 10．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】首先过点A作AM⊥BC，根据三角形面积求出AM的长，得出直线BC与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系． 【详解】解：过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∴AM×BC=AC×AB，∴AM===2.4． ∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，DE=BC=2.5，∴AN=MN=AM，∴MN=1.2． ∵以DE为直径的圆半径为1.25，∴r=1.25＞1.2，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交． 故选B． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理得出BC到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（   ） A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点 B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点 C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点 D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点 【答案】C 【详解】连接AD，作AE的中垂线交AD于O，连接OE， ∵AB=AC，D是边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴AD是BC的中垂线， ∵BC是圆的切线， ∴AD必过圆心， ∵AE是圆的弦， ∴AE的中垂线必过圆心， ∴该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点． 故选C． 12．如图，PA＝，∠APO＝30°，要使PA切⊙O于A，那么PO长为(    )． A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据切线的性质，得到∠OAP=90°，再利用三角函数即可求解． 【详解】∵PA切⊙O于A, ∴∠OAP=90°． ∵PA=，∠APO=30°，则PO==2,故选B. 【点睛】本题考查了切线的性质、三角函数值的运用，关键是理解这些性质. 13．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】连接OB，根据切线的性质以及圆的性质即可求出答案． 【详解】连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝20°， ∴∠DBC＝70°， ∵∠AOC＝90°， ∴∠ODA＝∠BDC＝70°， ∴∠OCB＝40°， 故选C． 【点睛】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定与性质，本题属于基础题型． 14．下列命题中的真命题是（　　） ①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据对顶角、矩形的性质、切线的判定、中点四边形有知识逐一进行判断即可得. 【详解】①相等的角不一定是对顶角，故①错误； ②矩形的对角线互相平分且相等，故②正确； ③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，故③错误； ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故④正确， 所以正确的是②④， 故选D． 【点睛】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握切线判定、矩形的性质、中点四边形等相关知识是解决此题的关键. 15．下列说法中，不正确的是 (     ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 【答案】C 【分析】根据三角形的内心的性质得出A、B、D正确；根据切线的判定定理得出C不正确；即可得出结果． 【详解】由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，故可知A正确； 由三角形内心的概念，可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，故可知B正确； 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故可知C不正确； 由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，可知三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故可知D正确． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内心与性质、切线的判定定理；熟练掌握三角形的内心性质与切线的判定定理是解决问题的关键． 16．如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为(     ) A．70° B．90° C．60° D．45° 【答案】B 【分析】由于AD、DC、CB都是⊙O的切线，根据切线长定理知：∠ADO=∠CDO，∠DCO=∠BCO；而AD∥BC，则2∠ODC和2∠OCD互补，由此可求得∠DOC的度数． 【详解】∵DA、CD、CB都与⊙O相切， ∴∠ADO=∠ODC，∠OCD=∠OCB； ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180°； ∴∠ODC+∠OCD=90°，即∠DOC=90°； 故选B． 【点睛】此题主要考查的是切线长定理及平行线的性质，准确的确定角的关系是解题关键． 二、填空题 17．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，若直线与圆有两个公共点，直线与圆相交，通过观察可直接选出答案． 【详解】由题可知，太阳与海天交接所看成的圆和直线有两个公共点，所以太阳和海天交界处所看出看成的直线位置关系是相交． 18．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝ ． 【答案】50° 【分析】根据切线长定理得到∠BPO＝∠APO，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠BPO＝∠APO＝25°， ∴∠BPA＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了切线长定理，熟知切线长定理的性质是解题的关键． 19．已知的半径为，直线，且与相切，圆心O到的距离为，则与的距离为 ． 【答案】1或15 【分析】根据直线与圆的位置关系由l1与⊙O相切得到O点到l1的距离为7cm，而圆心O到l2的距离89cm，根据平行线间的距离的定义得到当圆心O在两平行直线之间：l1与l2之间的距离=8cm+7cm；当圆心O在两平行直线的同侧：l1与l2之间的距离为8cm-7cm． 【详解】解：∵l1与⊙O相切， ∴O点到l1的距离为7cm， 当圆心O在两平行直线之间：l1与l2之间的距离=8cm+7cm=15cm； 当圆心O在两平行直线的同侧：l1与l2之间的距离为8cm-7cm=1cm， ∴l1到l2的距离为1cm或15cm． 故答案为：1或15． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了平行线间的距离． 20．如图，上三点A，B，C，半径，的切线交 延长线于点P，则的长为 ． 【答案】1 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理求出，进而求出 ，根据含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为1． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、含角的直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 21．如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则的度数为 ．    【答案】/36度 【分析】连接，如图，根据切线的性质得，即可求得，再利用等腰三角形的性质与外角性质得出，然后根据角的和差计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵与相切于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了切线的性质，根据切线的性质，添加合适的辅助线是解题关键． 22．已知：如图：AB是⊙O的直径，BD＝OB，∠CAB＝30°．请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除AO＝OB＝BD 外）；① ；② ；③ ． 【答案】 答案不唯一，AB=2BD； ∠ACD=120°； △BCD∽△CAD. 【分析】首先连接OC，BC，由AB是⊙O的直径，BD=OB，∠CAB=30°，易得△OBC是等边三角形，△ACD是等腰三角形，继而可得CD是⊙O的切线． 【详解】连接OC，BC， ①∵BD＝OB，AO=OB， ∴BD=AO=OB， ∴AB=2BD； ②∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠CAB＝30° ∴∠COB=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∵BD=OB， ∴BD=OB=BC=OC， ∴∠D=∠BCD=∠CBO=30°， ∴∠ACD=30°+60°+30°=120°； ③∠A=∠BCD=30°，∠D=∠D， ∴△BCD∽△CAD． 故答案为此题答案不唯一，如①B=2BD；②∠ACD=120°；③△BCD∽△CAD． 【点睛】此题考查了圆周角定理的推论、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形外角的性质以及相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 23．如图是的弦，交于点，过点的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为 ．    【答案】2 【分析】根据切线的性质可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相等，对顶角相等可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质，以及等腰三角形的判定是解题的关键． 24．如图，△ABC中，若AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的内切圆半径R= ． 【答案】1 【分析】先根据已知条件得出△ABC为直角三角形，再根据三角形的面积公式计算出△ABC的面积，再连接AO，BO，CO，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，设内切圆半径为r，再根据面积公式计算即可得出结论． 【详解】解：∵AB=5，AC=4，BC=3，32+42=52， ∴AB2=AC2+BC2， ∴△ABC为直角三角形， ∴S△ABC=×AC×BC=×4×3=6， 设△ABC的内切圆圆心为O，连接AO，BO，CO， ∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC， 设内切圆半径为r，则ABr+BCr+ACr=6， 5r+3r+4r=6， 解得r=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆半径，解题的关键是利用等积法求三角形的内切圆的半径． 25．已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理， （1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，可得结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论； 正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1， ∵，的半径是，， ∴当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大， 最大值为：， 故答案为：； （2）如图2， ∵，是直线与的公共点，线段的长度最大， ∴线段是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 26．如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线相切．设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当时， ． 【答案】 【分析】根据题意作出圆心与切点的连线，表示出直线原点O与圆心之间的线段关系，然后寻找规律得出答案． 【详解】解：分别过半圆，半圆，…，半圆的圆心作，如图， ∵半圆与直线l相切， ∴， 当直线l与x轴所成锐角为时，， 在中，， ∴， 在中，，即， ∴， 同理可得，， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，找出规律是解题的关键． 三、解答题 27．直线l与半径为r的⊙相交，且点O到直线l的距离为5，求r的取值范围． 【答案】 【分析】直线和圆有三种位置关系：已知的半径为，圆心到直线的距离是，①当时，直线和相切，②当时，直线和相交，③当时，直线和相离，根据以上内容得出即可． 【详解】解：直线与半径为的相交，且点到直线的距离为5， ． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，主要考查学生对直线和圆的位置关系的理解能力，注意：直线和圆有三种位置关系：已知的半径为，圆心到直线的距离是，①当时，直线和相切，②当时，直线和相交，③当时，直线和相离． 28．如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥DE，再证明OC∥BE得到∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE； （2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明△OAC等边三角形得到AC＝OA＝2，再利用勾股定理可计算出BC＝，然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形，. ∴， ∴ ∵，且， ∴. ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点连圆心得半径”． 29．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线． 【答案】证明见解析． 【分析】利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A，然后利用∠COB＝2∠PCB即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线． 【详解】连接AC， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO． ∴∠COB＝2∠ACO． 又∵∠COB＝2∠PCB， ∴∠ACO＝∠PCB． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB＝90°． ∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP． ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线． 【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定及圆周角定理的运用，关键是利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A． 30．如图，矩形中，，，E是边上的点，以为直径的恰好与相切，切点为G． (1)求的半径； (2)延长交的延长线于点F，求的值． 【答案】(1) (2)15．6 【分析】连接OG，并延长GO交AD于点H，根据BC为的切线，可得OG⊥BC，从而得到HG=AB=9，AH=DH=，设的半径为r，则OD=OG=r，可得OH=HG-OG=9-r，再由勾股定理即可求解； （2）证明△OGH∽△DCF，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接OG，并延长GO交AD于点H， ∵BC为的切线， ∴OG⊥BC， 在矩形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC， ∴HG⊥AD， ∴HG=AB=9，AH=DH=， 设的半径为r，则OD=OG=r， ∴OH=HG-OG=9-r， ∵， ∴， 解得：，即的半径为； （2）解：由（1）得：， ∵∠C=∠CDH=∠DHG=90°， ∴四边形CDHG是矩形，OG∥CD， ∴△OGF∽△DCF，CG=DH=6， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 31．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，F为弧BC上一点，且∠FBC＝∠ABC，连接DF，分别交BC、AB于E、G． (1)如图1，求证：DF⊥BC； (2)如图2，连接EH，过点E作EM⊥EH，EM交⊙O于点M，交AB于点N． ①求证：EN＝GN； ②连接OC，求证：△CHO≌△HEN． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由垂直的定义、同弧所对的圆周角和等量代换得出∠BEF＝90°，则可得出结论； （2）①由垂径定理得出HE＝CD＝CH＝DH，由等腰三角形的性质得出∠D＝∠HED，证得∠DEN＝∠EGN，则可得出结论；②连接OC，根据AAS可证得△COH≌△HNE． 【详解】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠BHC＝90°， ∴∠C+∠ABC＝90°， ∵∠FBC＝∠ABC，∠F＝∠C， ∴∠F+∠FBC＝90°， ∴∠BEF＝90°， ∴DF⊥BC． （2）①证明：由（1）得∠CED＝∠BEF＝90°， ∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴点H为CD的中点， ∴HE＝CD＝CH＝DH， ∴∠D＝∠HED， ∵EM⊥EH， ∴∠HED+∠DEN＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠D+∠DGH＝90°， ∴∠DEN＝∠DGH， 又∵∠DGH＝∠EGN， ∴∠DEN＝∠EGN， ∴EN＝GN； ②连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， 由①得∠DEN＝∠EGN， ∴∠BEN＝∠OBC， ∴∠OCB＝∠BEN， ∴∠COH＝∠HNE， 在△COH和△HNE中， ， ∴△COH≌△HNE（AAS）． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 32．如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，OA长为半径的圆与、分别交于点D、E，且． (1)判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)相切；理由见解析 (2) 【分析】（1）连结，根据等角的余角相等以及平角的定义，得到，即可得证； （2）证明，利用相似比即可得解． 【详解】（1）直线与的位置关系是相切． 证明：连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵为半径， ∴是⊙O的切线． （2）解：∵， ∴， ∵． ∴． ∴ ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查圆和三角形的综合应用．熟练掌握切线的判定方法，以及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 33．如图，在中，，，． 的外接圆半径为______； 用直尺和圆规作出的内切圆保留作图痕迹，不写作法，并求出的内切圆半径． 【答案】（1）2.5；（2）该三角形内切圆的半径长是1． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的外心是斜边的中点，即可求出答案． （2）作两角的平分线，交点为圆心，以交点到边的距离为半径作出圆即可．根据三角形面积公式求出内切圆半径即可． 【详解】解：在中，，，，由勾股定理得：， 即三角形的外接圆的半径长是， 故答案为． 如图所示：即为所求 连接OA、OB、OC、OD、OE、OF， 设内切圆的半径长为r，则， 由 得： 解得：， 即该三角形内切圆的半径长是1． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆和三角形的外接圆的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力 34．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆相交于点，连接．    (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）可求，，即可求解； （2）连接，可证，，从而可证，即可得证． 【详解】（1）解：，， ， 点是的内心， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点是的内心， ，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形内心的定义，圆的基本性质，三角形外角与内角的关系，理解定义，掌握性质是解题的关键． 35．如图，内接于⊙O，于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，，．求： （1）的度数； （2）线段AD的长；（结果保留根号） （3）图中阴影部分的面积． 【答案】（1）60°；（2）4；（3）8- 【分析】（1）∠AOC与∠B是同弧所对的圆心角与圆周角，因而∠AOC＝2∠B，进而即可求解； （2）在Rt△OAD中，根据含30°角的直角三角形的三边长关系，即可求解； （3）阴影部分的面积是△OAD与扇形OAC的面积差，可据此来求阴影部分的面积． 【详解】解：（1）∵∠B＝30°， ∴∠AOC＝2∠B＝60°； （2）∵∠AOC＝60°，AO＝CO， ∴△AOC是等边三角形； ∵， ∴AO＝4； ∵AD与⊙O相切， ∴AD＝4； （3）∵S扇形OAC＝ ＝，S△AOD＝ ×4×4=8， ∴S阴影＝8-． 【点睛】本题主要考查了圆心角与同弧所对的圆周角的关系．不规则图形的面积，掌握圆周角定理和扇形的面积公式，是解题的关键． 36．如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F． （1）求∠AFE的度数； （3）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）． 【答案】（1）∠AFE=60°；（2）S阴影=π﹣． 【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAB=30°，于是得到结论； （2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）连接OD，OC， ∵C、D是半圆O上的三等分点， ∴ ， ∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°， ∴∠CAB=30°， ∵DE⊥AB， ∴∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°﹣30°=60°； （2）由（1）知，∠AOD=60°， ∵OA=OD，AB=4， ∴△AOD是等边三角形，OA=OD=2， ∵DE⊥AO， ∴OE=1,DE=， ∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=×2=π﹣． 37．如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线． 【答案】证明见解析 【分析】证明OD⊥CD即可．通过证明△COD≌△COB得∠ODC=∠OBC=90°得证． 【详解】提示:连结OC,证△AOC与△BOC全等 可知∠COD=∠COB， 在△COD和△COB中, OD=OB，∠COD=∠COB，OC=OC ∴△COD≌△COB， ∴∠CDO=∠CBO. ∵BC与O相切于点B， ∴BC⊥OB,即∠CBO=90∘. ∴∠CDO=90∘，即DC⊥OD. ∴CD是O切线. 【点睛】本题考查切线的判断，解题的关键是证直角，可用全等间接证直角. 38．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长． 【答案】AC=6． 【分析】如图，作直径AD，连接CD．利用圆周角定理得到△ACD是含30度角的直角三角形，由该三角形的性质和勾股定理求得AC的长度即可． 【详解】如图，作直径AD，连接CD． ∴∠ACD=90°． ∵∠B=60°， ∴∠D=∠B=60°． ∵⊙O的半径为6， ∴AD=12． 在Rt△ACD中，∠CAD=30°， ∴CD=6． ∴AC=6． 【点睛】本题考查了圆周角定理．注意题中辅助线的作法． 39．如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为． （1）求与直线相切时点的坐标． （2）请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为或（2）当时，与直线相交．当或时，与直线相离 【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点P的横坐标，再根据直线的解析式求得点P的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时x的取值范围． 【详解】（1）过作直线的垂线，垂足为． 当点在直线右侧时，，得，． 当点在直线左侧时，，得，． 当与直线相切时，点的坐标为或． （2）当时，与直线相交． 当或时，与直线相离 40．如图，在中，，，以边上上一点为圆心，为半径作，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点．    （1）求证:是的切线． （2）若，是半圆上一动点，连接，，．填空： ①当的长度是________时，四边形是菱形； ②当的长度是___________时，是直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）①  ②或 【分析】（1）首先连接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好经过边BC的中点D，易得AB=BD，继而证得∠ODB=∠BAC=90°，即可证得结论； （2）①易得当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度数，半径OD的长，则可求得答案； ②分别从∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵在中，，， ∴， ∵是的中点，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，即， ∴是的切线. （2）解：①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；    如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE=2DM， ∵∠C=30°， ∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC， ∵∠BAC=90°， ∴DE∥AB， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵AB=BD， ∴四边形ABDE是菱形； ∵AD=BD=AB=CD=BC=， ∴△ABD是等边三角形，OD=CD•tan30°=1， ∴∠ADB=60°， ∵∠CDE=90°-∠C=60°， ∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°， ∴∠AOE=2∠ADE=120°， ∴的长度为：； 故答案为：； ②若∠ADE=90°，则点E与点F重合，此时 的长度为：=π； 若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时 的长度为：π； ∵AD不是直径，∴∠AED≠90°； 综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形． 故答案为：π或π． 【点睛】本题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及弧长公式等知识．注意准确作出辅助线，利用分类讨论思想求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$