7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第七章 三角函数 7.3函数y=Asin(ωx+φ)的图像 如图7-3-1,假设分针的旋转中心到针尖末端的长度为A,设t=0分时，分针针尖指向点Po,随着t的增加，分针沿顺时针方向走动，设经过t分钟，针尖指向点P. 以分针的旋转中心为坐标原点，建立如图7-3-1所示的平面直角坐标系.设指向点P的针尖末端对应的点的纵坐标为y,因为分针每分钟旋转 弧度，所以针尖末端对应的点在角 (弧度)的终边上，从而其纵坐标y关于时间t变化的函数关系为y=A sin( ),t∈(0,+∞). 函数y=Asin(ωx+φ) 在物理学和工程技术的许多问题中，经常也会遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ均是常数).例如，物体做简谐运动(如单摆或弹簧的振动)的过程中，物体离开平衡位置的位移y与时间x的关系为 y=Asin(ωx+φ)(A>0,w>0). 上式中，A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为该称为该振动的振幅.A越大，振动的幅度越大. 单摆或弹簧往复振动一次所需的时间 称为该振动的周期(即前面所说的最小正周期).w越大，振动的周期越小. 在单位时间内振动的次数 称为该振动的频率,而ω=2πf相应地称为圆频率.ω越大，振动的频率越大. ωx+φ称为该振动的相位.当x=0时的相位φ称为初始相位. 下面，我们来探讨A、ω、φ的变化对函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图像的影响. 0  0 1 0 -1 0 2 0  0 1 0 -1 0 2   探索φ对的图象的影响 A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图像的影响 1 -1 o x y 规律一、φ对的图象的影响 一般地,函数的图象,可以看作是把的图象上所有的点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.   0  0 1 0 -1 0 2 0  0 1 0 -1 0 2   探索对的图象的影响 1 -１ 2 -2 x y 3 -3 y=sin(2x +　)②　　 y=sin(x+　)①　　 O 规律二、对的图象的影响 一般地，函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短（当>1时）或伸长（当0<<1时）到原来的1/倍（纵坐标不变）而得到的. 1.列表： 0 -3 0 3 0 0 1 0 -1 0   2. 描点、作图： x  O y 2 1 2 2 1 3 -3 3 思考：上述函数 图象如何由正弦 函数图象变换得到？ 规律三：可以看出的图象可以看作是把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变）而得到的. 结论：函数的图象，可以看作是把上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的，从而，函数的值域是[-A，A]，最大值是A，最小值是-A. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 想一想：函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？ 根据周期性将作出的简图左右扩展. x y o 3 -3 因为T=，所以用“五点法”先作长度为一个周期的闭区间上的简图. 总结函数 的简图得到的方式. 函数 的图象 （3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍 的图象 （1）向左平移 的图象 纵坐标不变 （2）横坐标缩短到原来的 倍 还可以通过平移伸缩变换得到. 1 -１ 2 -2 o x y 3 -3 2  y=sin(2x +　)②　　 y=sinx 　　 y=sin(x+　)①　　 y=3sin(2x+　)③　　 方法1:先平移后伸缩演示 的图象 函数的图象 （3）纵坐标伸长()或缩短() 到原来的倍（横坐标不变） 的图象 （1）向左( >0)或向右( <0) 平移|  |个单位长度 （2）横坐标缩短(>1)或伸长(0<<1)到 原来的 倍（纵坐标不变） 先平移后伸缩一般规律 （3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍 的图象 的图象 （1）横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 （2）向左平移 函数 的图象 【思考交流】还有其他变换方式吗？ 1 -１ 2 -2 o x y 3 -3 2  y=sin(2x+　)②　　 y=sinx　　 y=3sin(2x+　)③　　 y=sin2x①　 方法2:先伸缩后平移演示 y=sin( x+  ) 的图象 （3）横坐标不变，纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的A倍 y=Asin(x+  )的图象 函数 y=sinx y=sin  x 的图象 (1)横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到 原来的 倍，纵坐标不变 （2）向左( >0)或向右( <0) 平移| |个单位长度 先伸缩后平移一般规律 y=Asin(ωx+φ)和的图象两种变换关系图 作y=sinx（长度为2的某闭区间） y=sin(x+φ) y=sinωx y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上 沿x轴平移 |φ|个单位 横坐标变为1/ω 横坐标变为1/ω 纵坐标 变为A倍 沿x轴平移 个单位 题型归纳 描点、连线，如图所示， 【答案】(1)D　(2)A 【答案】D　 (2)通过若干特殊点代入函数式，通过解方程组求相关待定系数A，ω，φ. (3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝A sin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数． 三角函数图象的对称轴、对称中心的求法 题型6　三角函数性质的综合应用 方向1　三角函数的奇偶性 【答案】B　 显然要使g(x)＝a＋1的图象与f(x)的图象有两个交点， 只需－2＜a＋1＜0或a＋1＝2.即－3＜a＜－1或a＝1. 所以实数a的取值范围是{a|－3＜a＜－1或a＝1}． 与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦型函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 提示：可以，只要横向“伸”或“缩”倍y＝sin x的图象即可． x－ 0 π 2π x π 4π 7π sin 0 0 － 0 解：(1)列表： ＋ 0 π 2π x － f(x) 0 2 0 －2 0 函数 对称轴 对称中心 y＝A sin (ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求对称中心的横坐标 y＝A cos (ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求对称中心的横坐标 y＝A tan (ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)，求对称中心的横坐标 $$