第02章 二次函数 章节整合练习（15个知识点+40题练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02章 二次函数 章节整合练习（15个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点5．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点6．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点7．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点8．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点9．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点10．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点11．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点12．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点13．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点14．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点15．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 章节题型整合练习 一、单选题 1．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数y＝m在其图象对称轴右侧，y随x值的增大而增大，则m的值为（　　） A．m≠0 B．m＝±1 C．m＝1 D．m＝﹣1 3．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是(    ) A．向上， B．向下， C．向下， D．向上， 4．二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 5．下列函数是y关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．抛物线y＝x2﹣2x＋1与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y1)，(，y2)， (－3，y3)，则你认为y1，y2，y3的大小关系应为(    ) A．y1>y2>y3 B．y2>y3>y1 C．y3>y1>y2 D．y3>y2>y1 8．要得到抛物线y=﹣4，可将抛物线y=（　　）单位． A．向上平移4个 B．向下平移4个 C．向右平移4个 D．向左平移4个 9．小明将图中两水平线与的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两铅垂线与的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并且在此平面直角坐标系上画出二次函数的图象，则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是（  ） A．为x轴，为y轴 B．为x轴，为y轴 C．为x轴，为y轴 D．为x轴，为y轴 10．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝时，点E的运动路程为或或，则下列判断正确的是(   ) A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 11．点为线段上的一个动点，，分别以和为一边作等边三角形，用表示这两个等边三角形的面积之和，下列判断正确的是（　   　） A．当为的三等分点时，最小 B．当是的中点时，最大 C．当为 的三等分点时，最大 D．当是的中点时，最小 12．已知二次函数的图象如下图所示，则下列五个结论：①abc＞0；②a＋c＞b；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④3b＞2c；⑤（其中m为实数，且m≠1），其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．③④⑤ D．①②③④ 13．二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a＋b<0；③ 4a－2b＋c=0；④ a︰b︰c= －1︰2︰3.其中正确的是（） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 14．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是（    ） A．销售单价降低15元时，每天获得利润最大 B．每天的最大利润为1250元 C．若销售单价降低10元，每天的利润为1200元 D．若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元 15．如图，抛物线经过点（-1，0），与y轴交于点（0，2），抛物线的对称轴为直线，关于此题，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：，； 乙：方程的解为-1和3； 丙：．下列判断正确的是（　　） A．甲对，乙错 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对 16．如图，在中，点P从点C出发，以的速度沿折线C－A－B做匀速运动，到达点B时停止运动．点P出发一段时间后，点Q从点B出发，以相同的速度沿做匀速运动，到达点C时停止运动．已知当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．设的面积为，点P的运动时间为，则能反映S与t之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 17．如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是 ． 18．已知二次函数的图象经过、、；则二次函数的解析式 ． 19．若抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，则这条抛物线的解析式为 ． 20．将抛物线写成的形式是 ． 21．若抛物线与x轴的一个交点为，则该抛物线与直线y＝2的两个交点之间的距离是 ． 22．已知二次函数图像上的两点和，则和的大小关系是 . 23．抛物线经过、、三点，直线经过、两点． （1）则方程的解为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 24．小华大学毕业创业，他成功研发出一种产品．产品生产成本为元/件．已知此产品每一季度的销售量(万件)与售价(元/件)之间满足函数关系式．销售量等于产量，那么小华每一季度生产的这种产品利润的最大值是 ． 25．如图，一条抛物线（m<0）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）．若点M、N的坐标分别为(0，—2)、(4，0)，抛物线与直线MN始终有交点，线段AB的长度的最小值为 ． 26．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与轴交于点，这个二次函数的解析式可以是 ． 27．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，M点在抛物线的对称轴上，当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为 ． 28．已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． （1）若，则b= ． （2）若，，抛物线与线段没有交点，则b的取值范围为 ． 三、解答题 29．在同一平面直角坐标系中作出和的图象． 30．若函数y＝(m-4) 是二次函数，求m的值． 31．已知二次函数． （1）将其化成的形式； （2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； （3）求图象与两坐标轴的交点坐标； （4）画出函数图象； （5）说明其图象与抛物线的关系； （6）当x取何值时，y随x增大而减小； （7）x取何值时，； （8）当x取何值时，函数y有最值？并求出最值？ （9）时，y的取值范围； （10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积． 32．已知二次函数． (1)将解析式化成顶点式； (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)取什么值时，随的增大而增大；取什么值时，随增大而减小． 33．已知二次函数y=x2﹣5x+6． （1）画出这个二次函数的图象． （2）观察图象确定：x取什么值时，①y=0；②y＞0；③y＜0． 34．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 35．已知二次函数的图象经过三点（1,0)， (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点； (3)当x为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？ 36．汽车租赁公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务供不应求，为适合市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金．经市场调查发现，一辆汽车的日租金每增加10元，每天出租的汽车相应地减少6辆，若不考虑其他因素，一辆汽车的日租金提高几个10元时，才能使公司的日租金收入最高？公司的日租金总收入比提高租金前增加了多少？（公司日租金总收入每辆汽车的日租金公司每天出租的汽车数） 37．某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个． (1)求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 38．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？    39．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，它们的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连接BE交MN于点F.已知点A的坐标为（﹣1，0）. （1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）求△EMF与△BNF的面积之比. 40．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为. （1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）在（2）中的矩形周长最大时，连接，已知点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，是否存在这样的点，使直线把分成面积为的两部分；若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由. 备用图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 二次函数 章节整合练习（15个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点5．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点6．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点7．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点8．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点9．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点10．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点11．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点12．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点13．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点14．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点15．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 章节题型整合练习 一、单选题 1．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键． 根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标． 【详解】， ∴二次函数的图象的顶点坐标为， 故选：A． 2．二次函数y＝m在其图象对称轴右侧，y随x值的增大而增大，则m的值为（　　） A．m≠0 B．m＝±1 C．m＝1 D．m＝﹣1 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数y＝m在在其图象对称轴右侧，y随x值的增大而增大和二次函数的性质可以求得m的值． 【详解】解：∵二次函数y＝m在其图象对称轴右侧，y随x值的增大而增大， ∴， 解得，m＝1， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义和二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是(    ) A．向上， B．向下， C．向下， D．向上， 【答案】B 【分析】对于抛物线y=a(x−h)2+k(a≠0),当a＞0时,开口向上;当a＜0时,开口向下,顶点坐标为(h,k),据此即可完成解答. 【详解】由二次函数图象的性质可知,抛物线y=−3x2+4=−3(x2-0)+4，则抛物线y=−3x2+4的开口向下,顶点坐标为(0,4).故选择B. 【点睛】本题考查抛物线的开口方向、顶点坐标，解题的关键是掌握抛物线的开口方向、顶点坐标的求法. 4．二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】直接把二次函数的一般式化为顶点式即可排除选项． 【详解】解：由二次函数可得：， ∵， ∴当x=1时，二次函数有最大值为-4； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．下列函数是y关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义：“形如（其中为常数，且）”的函数叫做二次函数，对各选项进行一一分析判定即可． 【详解】解：由二次函数的定义：“形如（其中为常数，且）”的函数叫做二次函数 A. ，是一次函数，没有二次项，故选项A不正确； B. ，是一次函数，没有二次项，故选项B不正确； C. ，是二次函数，二次项系数不为0，故选项C正确     D. ，当a=0时，是一次函数，当a≠0时，是二次函数，不能确定是一次还是二次函数，故选项D不正确． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题关键． 6．抛物线y＝x2﹣2x＋1与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】当时，求出与轴的纵坐标；当时，求出关于的一元二次方程的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线与轴的交点个数． 【详解】解：当时，，则与轴的交点坐标为， 当时，， ， 所以，该方程有两个相等的解，即抛物线与轴有1个点． 综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数是2个． 故选C． 【点睛】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，其中令抛物线解析式中，求出的值即为抛物线与轴交点的纵坐标；令，求出对应的的值，即为抛物线与轴交点的横坐标． 7．小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y1)，(，y2)， (－3，y3)，则你认为y1，y2，y3的大小关系应为(    ) A．y1>y2>y3 B．y2>y3>y1 C．y3>y1>y2 D．y3>y2>y1 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先判断二次函数y=2x2+4x+5的对称轴为x==-1，（-3，y3）得对称点的横坐标为x3=-1×2-（-3）=1，对称点坐标为（1，y3），根据二次函数图象的性质：a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大即可得答案. 【详解】解：∵对称轴为x==-1， ∴（-3，y3）的对称点坐标为（1，y3）， ∵-1＜＜1，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∴y3＞y2＞y1． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，找到二次函数的对称轴并利用二次函数的性质求解是解题关键. 8．要得到抛物线y=﹣4，可将抛物线y=（　　）单位． A．向上平移4个 B．向下平移4个 C．向右平移4个 D．向左平移4个 【答案】B 【分析】根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：要得到抛物线y=﹣4，可将抛物线y=向下平移4个单位， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 9．小明将图中两水平线与的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两铅垂线与的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并且在此平面直角坐标系上画出二次函数的图象，则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是（  ） A．为x轴，为y轴 B．为x轴，为y轴 C．为x轴，为y轴 D．为x轴，为y轴 【答案】D 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象 【详解】y=-x2-2x+1 =-（x+1）2+2， 故抛物线的对称轴为：直线x=-1，顶点坐标为：（-1，2）， 则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是：l2为x轴，l4为y轴． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确求出二次函数的对称轴与顶点坐标是解题关键． 10．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝时，点E的运动路程为或或，则下列判断正确的是(   ) A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由已知，AB=a，AB+BC=5，当E在BC上时，如图，可得△ABE∽△ECF，继而根据相似三角形的性质可得y=﹣，根据二次函数的性质可得﹣，由此可得a=3，继而可得y=﹣，把y=代入解方程可求得x1=，x2=，由此可求得当E在AB上时，y=时，x=，据此即可作出判断． 【详解】解：由已知，AB=a，AB+BC=5， 当E在BC上时，如图， ∵E作EF⊥AE， ∴△ABE∽△ECF， ∴， ∴， ∴y=﹣， ∴当x=时，﹣， 解得a1=3，a2=（舍去）， ∴y=﹣， 当y=时，=﹣， 解得x1=，x2=， 当E在AB上时，y=时， x=3﹣=， 故①②正确， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 11．点为线段上的一个动点，，分别以和为一边作等边三角形，用表示这两个等边三角形的面积之和，下列判断正确的是（　   　） A．当为的三等分点时，最小 B．当是的中点时，最大 C．当为 的三等分点时，最大 D．当是的中点时，最小 【答案】D 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【详解】【分析】根据四个选择项，可知要判断的问题是C在AB的什么位置时，S有最大或最小值．由于点C是线段AB上的一个动点，可设AC=x，然后用含x的代数式表示S，得到S与x的函数关系式，最后根据函数的性质进行判断． 【详解】设AC=x，则CB=1-x， S=x2+（1-x）2， 即S=x2-x+=（x-）2+， ∵a=>0， ∴当x=时，S最小， 此时，C是AB的中点， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据题意建立二次函数的关系式，然后根据二次根式的性质进行解答是关键． 12．已知二次函数的图象如下图所示，则下列五个结论：①abc＞0；②a＋c＞b；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④3b＞2c；⑤（其中m为实数，且m≠1），其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．③④⑤ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，所以ab＜0． 抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以abc＜0，故①错误； ②当x=-1时，y=a-b+c＜0，即b＞a+c，故②错误； ③由图可知，x＜0时，y随x的增大而增大，故③正确； ④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=-=1， 即a=-，代入得9（-）+3b+c＜0，得3b＞2c，故④正确； ⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c， 而当x=m时，y=am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即，故⑤正确． 综上所述，③④⑤正确． 故选：C． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 13．二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a＋b<0；③ 4a－2b＋c=0；④ a︰b︰c= －1︰2︰3.其中正确的是（） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【详解】根据二次函数图象和性质分别作出判断： ∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根． ∴b2－4ac＞0．选项①正确． 又∵对称轴为直线x=1，即，∴2a＋b=0．选项②错误． ∵由图象知，x=－2对应的函数值为负数，∴当x=－2时，y=4a－2b＋c＜0．选项③错误． ∵x=－1对应的函数值为0，∴当x=-1时，y=a-b＋c=0． 联立2a＋b=0和y=a-b＋c=0可得：b=－2a，c=－3a． ∴a：b：c=a：（－2a）：（－3a）=－1：2：3．选项④正确． 综上所述，正确的选项有：①④．故选D． 14．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是（    ） A．销售单价降低15元时，每天获得利润最大 B．每天的最大利润为1250元 C．若销售单价降低10元，每天的利润为1200元 D．若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元 【答案】D 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】设每件降价x元，由“每降低5元，每天可多售出10件”可知每降价1元可多售2件，根据题意可知每天的利润为（20+2x）（40-x），据此一一判断选项即可. 【详解】因为每降低5元，每天可多售出10件，所以每降价1元可多售2件， 设每件降价x元，每天的利润为y元，则每天可售（20+2x）件，每件利润为40-x， 所以每天的利润为 将整理成顶点式有， 由顶点式可知当销售单价降低15元时，每天获得利润最大，每天的最大利润为1250元，故A、B正确； 将x=10代入到解析式中解得y=1200，故C正确； 令y=1050，则，解得，即当每天的利润为1050元，则销售单价可能降低了5元，也可能降低了25元，所以D错误； 综上所述，答案选D. 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，能够根据题意列出每天利润与降低单价的二次函数方程是解题的关键. 15．如图，抛物线经过点（-1，0），与y轴交于点（0，2），抛物线的对称轴为直线，关于此题，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：，； 乙：方程的解为-1和3； 丙：．下列判断正确的是（　　） A．甲对，乙错 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】甲：由抛物线经过（-1，0）可得，由抛物线对称轴为可得； 乙：由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而可得方程的解为-1和3； 丙：由抛物线与y轴交点坐标可得c的值，由抛物线开口向下可得，从而可判断． 【详解】解：抛物线经过点（-1，0）， ， ， 抛物线的对称轴为， ， ，故甲正确； 抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为（-1，0）， 抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， 方程的解为-1和3，故乙正确； 抛物线与y轴交于点（0，2）， ， 抛物线开口向下， ， ，故丙正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键． 16．如图，在中，点P从点C出发，以的速度沿折线C－A－B做匀速运动，到达点B时停止运动．点P出发一段时间后，点Q从点B出发，以相同的速度沿做匀速运动，到达点C时停止运动．已知当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．设的面积为，点P的运动时间为，则能反映S与t之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意可得点Q是在点P出发后开始运动的，然后分三种情况：当，，时，画出图形，用含t的式子表示出相关线段，再根据三角形的面积公式可求得相应的函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵在中， ∴， ∴点P运动的路程是cm，运动的时间是， 又∵点P到达点B时，点Q恰好到达点C，且点Q、P的运动速度相同， ∴点Q是在点P出发后开始运动的， 当时，点Q未动，点P在上运动，如图1所示： ，是正比例函数关系； 当时，点Q未动，点P在上运动，如图2所示： 此时，， 作于H， 则， ∴， ∴，是一次函数关系； 当时，点Q在上，点P在上，如图3所示： 作于H，同理可得，， ∴；是二次函数关系，且抛物线的开口向上； 综合各选项，符合题意的是选项A； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确分类、灵活应用数形结合思想、求出三种情况下的相应函数关系式是解题的关键． 二、填空题 17．如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是 ． 【答案】m＞1 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得． 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 18．已知二次函数的图象经过、、；则二次函数的解析式 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据点A，B，C在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，点的坐标满足方程的关系，将A（-1，-1）、B（0，2）、C（1，3）代入y=ax2+bx+c得a=-1，b=2，c=2．从而得出二次函数的解析式为y=-x2+2x+2． 【详解】设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， ∵点A，B，C在二次函数y=ax2+bx+c的图象上， ∴将A（-1，-1）、B（0，2）、C（1，3）代入二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， 得： 解得，a=-1，b=2，c=2． ∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+2． 故答案是：y=-x2+2x+2． 【点睛】考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识． 19．若抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，则这条抛物线的解析式为 ． 【答案】y=x2﹣2x﹣8 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=（x+2）（x-4），然后变形为一般式即可． 【详解】解：抛物线的解析式为y=(x+2)(x-4)，即y=x2-2x-8， 故答案为y=x2-2x-8 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 20．将抛物线写成的形式是 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】提取二次项系数，再配成完全平方式，把一般式转化为顶点式即可． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的三种形式： （1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y=a（x-h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）． 21．若抛物线与x轴的一个交点为，则该抛物线与直线y＝2的两个交点之间的距离是 ． 【答案】1 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】利用待定系数法将代入解析式求出k的值，再令解出x的值，最后求出两个x之间的差值即为两个交点之间的距离． 【详解】将代入，得 解得 抛物线的解析式为 将代入，得 解得， 且两个交点的纵坐标相等 两个交点之间的距离为1 故答案为：1 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式以及求直线与抛物线的交点，解题的关键是掌握相关的方法，灵活运用知识． 22．已知二次函数图像上的两点和，则和的大小关系是 . 【答案】＞ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】分别将x=4,x=6代入解析式求得函数值，然后比较大小即可. 【详解】解：把和代入得： 10＞2 ∴a＞b 故填：＞ 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 23．抛物线经过、、三点，直线经过、两点． （1）则方程的解为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 【答案】 ， 【知识点】根据交点确定不等式的解集、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】（1）根据一元二次方程的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标解答即可； （2）确定出抛物线在直线上方部分的x的取值即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过、， ∴方程的解为，； （2）由函数图像可知，不等式的解集即为抛物线在一次函数图像上方的自变量的取值范围， ∴x的取值范围为． 故答案为：，；． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 24．小华大学毕业创业，他成功研发出一种产品．产品生产成本为元/件．已知此产品每一季度的销售量(万件)与售价(元/件)之间满足函数关系式．销售量等于产量，那么小华每一季度生产的这种产品利润的最大值是 ． 【答案】元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据总利润=每件利润×销售量列出总利润w的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】依题意可得总利润w=（x-5）()=-x2+25x-100=-(x-)2+ 则售价为时，利润的最大值是（元） 故答案为：元． 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式． 25．如图，一条抛物线（m<0）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）．若点M、N的坐标分别为(0，—2)、(4，0)，抛物线与直线MN始终有交点，线段AB的长度的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求x轴与抛物线的截线长、抛物线与x轴的交点问题、求一次函数解析式 【详解】试题分析：过点（0，—2）、（4，0）直线解析式为,抛物线与直线始终有交点 所以有解, ,解得, 当时,线段的长度的最小,这时抛物线为它与x轴的交点为(,0 ) (,0).故线段的长度的最小值为. 考点：函数与方程(组)的关系． 26．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与轴交于点，这个二次函数的解析式可以是 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3，取a=-1，b=0即可得出结论． 【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c． ∵抛物线开口向下， ∴a＜0． ∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3）， ∴c=-3． 取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x2-3． 故答案为：y=-x2-3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c=-3是解题的关键． 27．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，M点在抛物线的对称轴上，当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为 ． 【答案】（﹣1，2）． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】因为点B关于对称轴的对称点为点A，连接AC，设直线AC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MB+MC的值最小，再求得点M的坐标即可． 【详解】∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，令y=0，得：﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=－3或x=1，∴点A（﹣3，0），C（0，3）． 设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=kx+b，得： ，解得：，∴直线AC解析式为y=x+3； 设直线AC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MB+MC的值最小． 把x=﹣1代入直线y=x+3得：y=2，∴M（﹣1，2）． 即当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）． 故答案为（﹣1，2）． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，轴对称﹣最短路线问题，求得直线AC的解析式是解答本题的关键． 28．已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． （1）若，则b= ． （2）若，，抛物线与线段没有交点，则b的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）把A(-1,0)代入，求解即可； （2）分三种情况：当对称轴x=-b>1时，即b<-1，当x=-1，y<0，线段MN与抛物线无交点；当对称轴x=-b，-1≤-b≤1时，当x=-1，y<0，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点；当对称轴x=-b，-b<-1，即b>1时，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点；分别求解即可． 【详解】解：（1）把A(-1,0)代入，得 0=-b-2，解得：b=-， 故答案为：-； （2）抛物线对称轴为：直线x=， 当对称轴x=-b>1时，即b<-1，当x=-1，y<0，线段MN与抛物线无交点， ∴-b-2<0，解得：b>-， ∴-<b<-1， 当对称轴x=-b，-1≤-b≤1时，当x=-1，y<0，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点， ∴，解得：-1≤b≤1， 当对称轴x=-b，-b<-1，即b>1时，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点， ∴+b-2<0，解得：b<, ∴1<b<， 综上，当-<b<时，线段MN与抛物线无交点， 故答案为：-<b<． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线与线段无交点问题，熟练掌握抛物线的图象与性质，利用数形结合求解是解题的关键． 三、解答题 29．在同一平面直角坐标系中作出和的图象． 【答案】作图见解析 【知识点】y=ax²的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】用列表，描点，连线的方法，即可作出图象． 【详解】解：列表如下 x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… …… 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …… …… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …… 描点：如图所示，以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，根据已知函数解析式画出图象是解题关键． 30．若函数y＝(m-4) 是二次函数，求m的值． 【答案】m＝- 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据自变量x的指数等于2，且系数不等于0列式求解即可. 【详解】由题意得 ，且m-4≠0， 解之得 m＝-. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可. 31．已知二次函数． （1）将其化成的形式； （2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； （3）求图象与两坐标轴的交点坐标； （4）画出函数图象； （5）说明其图象与抛物线的关系； （6）当x取何值时，y随x增大而减小； （7）x取何值时，； （8）当x取何值时，函数y有最值？并求出最值？ （9）时，y的取值范围； （10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积． 【答案】（1）；（2）开口向上，直线，顶点；（3）与x轴交点，与y轴交点；（4）见解析；（5）将抛物线向左平移1个单位，向下平移8个单位；得到的图象；（6）；（7）当或时，；当或时，；当时，；（8）时，；（9）；（10）． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）将函数表达式配方成顶点式形式即可； （2）由a值的正负可判断开口方向，顶点式可得出对称轴和顶点坐标； （3）分别让x=0，y=0可分别求出图像与y轴的交点坐标，和x轴的交点坐标； （4）可根据顶点坐标，图像与x、y轴交点坐标，对称轴方程画出函数图像的简图； （5）将抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度即可得到y＝2(x＋1)2－8； （6）根据函数图像可判断函数的增减性； （7）根据函数图像可判x取何值时，； （8）根据函数图像可得当x取何值时，函数y有最值，以及最值的结果； （9）根据图像的开口方向及x的值离对称轴的远近即可求解； （10）根据图像可求线段长度，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：（1）∵ = = = ∴化成的形式为； （2）由可得： 开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－8)； （3）由y=0得，，解得或， 由x=0得： ∴与x轴交点坐标为(－3，0)，(1，0)，与y轴交点坐标为(0，－6)； （4）由（1）（2）（3）可得函数简图如下： （5）将抛物线先向左平移1个单位，可得的图象，然后再向下平移8个单位得到的图像； （6）由图像可得： 当时，y随x增大而减小； （7）由图像可得： 当或时，， 当或时，， 当时，； （8）由图像可得： 当时，函数有最小值，且最小值为； （9）∵， ∴当时取得最小值为， 当时离对称轴最远，此时， ∴y的取值范围为； （10）由图可得，三角形底的长度为，高的长度为6， ∴三角形的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像与性质，熟练运用数形结合的思想． 32．已知二次函数． (1)将解析式化成顶点式； (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)取什么值时，随的增大而增大；取什么值时，随增大而减小． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 (3)时，随的增大而增大；时，随增大而减小 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】 （1）根据题意，利用配方法将解析式化为顶点式； （2）根据顶点式求得它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）根据开口方向与对称轴，二次函数图象的性质，即可求解． 【详解】（1）解：； ∴． （2）解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． （3）解：∵抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴时，随的增大而增大；时，随增大而减小． 【点睛】本题考查了将二次函数解析式化成顶点式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 33．已知二次函数y=x2﹣5x+6． （1）画出这个二次函数的图象． （2）观察图象确定：x取什么值时，①y=0；②y＞0；③y＜0． 【答案】（1）画图见解析；（2）①x=2或x=3；②x＜2或x＞3；③2＜x＜3． 【知识点】根据交点确定不等式的解集、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】（1）将y=x2﹣5x+6化为y=（x﹣2）（x﹣3），再根据二次函数的图象的作法作出图象． （2）观察图象，作答即可． 【详解】解：（1）图象如图： （2）观察图象可得： ①当x=2或x=3时，y=0； ②当x＜2或x＞3时，y＞0； ③当2＜x＜3时，y＜0． 【点评】本题考查二次函数的图象的作法，要结合解析式的特征来作图，如与x轴、y轴的交点坐标． 34．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】将已知两点坐标代入抛物线解析式列出方程，利用顶点坐标公式以及顶点纵坐标列出方程，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式． 【详解】将（0，0），（12，0）代入抛物线解析式得：c=0，144a+12b+c=0， 根据顶点纵坐标为3，得到=3， 联立解得：a=﹣，b=1，c=0， 则抛物线解析式为y=﹣x2+x． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 35．已知二次函数的图象经过三点（1,0)， (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点； (3)当x为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？ 【答案】(1)；(2)顶点，对称轴，交点：；(3)时函数有最小值为． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、已知抛物线上对称的两点求对称轴、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）抛物线的点过（1,0)，可以设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3)，把点代入解得a即可； （2）由配方法，得出抛物线解析式的顶点式，可得顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点； （3）由抛物线的开口向上，可得函数有最小值，顶点坐标的纵坐标是函数的最小值． 【详解】(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)， 将代入，解得， 所以抛物线解析式为， 故答案为：； （2）抛物线解析式为， 配方可得，， ∴顶点 ，对称轴， 由（1）知，交点：， 故答案为：顶点，对称轴，交点：； (3)由（2）可知，函数解析式为，开口向上，函数有最小值，当 时函数有最小值为， 故答案为：时函数有最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求法，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 36．汽车租赁公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务供不应求，为适合市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金．经市场调查发现，一辆汽车的日租金每增加10元，每天出租的汽车相应地减少6辆，若不考虑其他因素，一辆汽车的日租金提高几个10元时，才能使公司的日租金收入最高？公司的日租金总收入比提高租金前增加了多少？（公司日租金总收入每辆汽车的日租金公司每天出租的汽车数） 【答案】提高2个10元时公司的日租金收入最高，公司的日租金总收入比提高租金前增加了240元． 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】设该公司的每辆汽车日租金提高x个10元，日租金总收入为y，根据公司日租金总收入每辆汽车的日租金公司每天出租的汽车数列出式子计算即可． 【详解】设该公司的每辆汽车日租金提高x个10元，日租金总收入为y，则：． 当时，y取得最大值19440， 即一辆汽车的日租金提高2个10元时，才能使公司的日租金收入最高． (元)， 答：一辆汽车的日租金提高2个10元时，公司的日租金总收入比提高租金前增加了240元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的最值问题，根据题意列出二次函数表达式，再转化为顶点式是解题的关键． 37．某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个． (1)求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)y＝﹣10x+540； (2)当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由销售单价为28元时，每天的销售量为260个；销售单价为30元时，每天的销量为240个；列方程组求解即可； （2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，再由二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：设一次函数关系式为y＝kx+b， 由题意可得：， 解得：， ∴函数关系式为y＝﹣10x+540； （2）解：由题意可得： w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890， ∵﹣10＜0，二次函数开口向下， ∴当x＝37时，w有最大值为2890， 答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 38．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？    【答案】（1），x的取值范围是；（2）能够通过此隧道． 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据所建坐标系设解析式为y=ax2，由A点或B的坐标易求解析式，根据隧道口的有限性结合图象易知x的取值范围； （2）能否通过是比较当x=1.4时[5-（-y）]的值与1的大小． 【详解】（1）设所求函数的解析式为． 由题意，得函数图象经过点B（3，-5）， ∴-5=9a． ∴． ∴所求的二次函数的解析式为． x的取值范围是． （2）当车宽2.8米时，此时CN为1.4米，对应， EN长为，车高米， ∵， ∴农用货车能够通过此隧道．      39．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，它们的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连接BE交MN于点F.已知点A的坐标为（﹣1，0）. （1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）求△EMF与△BNF的面积之比. 【答案】（1），（1，4）；（2）. 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、图形问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）直接将（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标， （2）利用EM∥BN，则△EMF∽△BNF，进而求出△EMF与△BNE的面积之比． 【详解】解：（1）∵点A在抛物线上， ∴， 解得：c=3， ∴抛物线的解析式为. ∵， ∴抛物线的顶点M（1，4）； （2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴点B（3，0）. ∴EM=1，BN=2. ∵EM∥BN， ∴△EMF∽△BNF. ∴． 40．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为. （1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）在（2）中的矩形周长最大时，连接，已知点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，是否存在这样的点，使直线把分成面积为的两部分；若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由. 备用图 【答案】（1）；（2）20；（3）存在；点的坐标为或 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）二次函数表达式为：，将点B的坐标代入上式，即可求解； （2）设点的坐标为，则的坐标为,的坐标为,从而求得;，所以矩形MNHG的周长，即可求解； （3）当矩形周长取得最大值时，，从而求出的值，然后求出直线的解析式，设点坐标为，分当的面积是面积的时；当的面积是面积的时两种情况分别列出方程，求出点P的坐标． 【详解】解：（1）设二次函数的解析式为 二次函数图像的顶点坐标为 又图象经过点 解得： 二次函数的解析式为 （2）四边形为矩形， 关于直线对称 设点的坐标为，则的坐标为 的坐标为 ; 矩形的周长 当时， 矩形周长的最大值为20. （3）存在，理由如下： 当矩形周长取得最大值时， ，对称轴为直线 设直线的解析式为 将代入上式得： ，解得 设点坐标为 ①当的面积是面积的时， 解得：；（舍去） ②当的面积是面积的时， 解得：；（舍去） 综上所述，点的坐标为或 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$