第05讲 一元二次方程100道计算题专项训练（10大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第5讲 一元二次方程100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 选择合适的方法解一元二次方程 题型六 一元二次方程的解 题型七 换元法解一元二次方程 题型八 根据一元二次方程的解求参数 题型九 一元二次方程根与系数的关系计算 题型十 一元二次方程新定义计算 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 2．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 3．用直接开平方法解方程：． 4．用直接开平方法解方程：． 5．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 6．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 7．用直接开平方法解方程：． 8．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 9．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 10．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．解方程：． 12．解方程：． 13．用配方法解方程：． 14．解方程： 15．解方程： 16．解方程：． 17．解方程： 18．用配方法解方程：． 19．解方程： 20．小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：，① ，② ，③ ，④ ，．⑤ (1)小明解方程的方法是____________． A．直接开平方法    B．因式分解法    C．配方法    D．公式法 他的求解过程从第____________步开始出现错误． (2)请用正确的方法帮小明解这个方程． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 21．用公式法解一元二次方程：． 22．用公式法解方程：． 23．用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 24．解方程：（用公式法） 25．用公式法解方程：． 26．用公式法解一元二次方程： 27．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 28．用公式法解方程：． 29．用公式法解方程： 30．（用公式法）解一元二次方程：． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 31．解方程：（因式分解）． 32．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 33．阅读下列材料： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，最高次项的系数不为零，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有一种解法是利用因式分解来解的． 如解方程：， 左边分解因式，得， 或， 原方程的解是或． 根据上述材料，解答下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 34．阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如是常数，的多项式叫做关于的二次三项式．通过所学内容可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用一元二次方程的两个根，把某些二次三项式因式分解呢？ 设一元二次方程的两个实数根为，计算：． 下面是代数推理过程： 解：．即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，则可将二次三项式因式分解为，即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式因式分解． 任务： (1)已知是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则将二次三项式因式分解的结果是______． (2)因式分解：______． (3)请用阅读内容中的方法，因式分解：． 35．【探究发现】：八年级数学学习兴趣小组学完因式分解后探究发现： 因为， 所以多项式可因式分解为， 【方法归纳】：由此获得因式分解的一种方法，如： ， ， ， ． 【学以致用】：请你依据小组发现的方法尝试解决下面的问题： (1)若因式分解的结果有一个因式为，则实数p的值为 ； (2)因式分解： ①； ②． 36．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 37．阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 38．阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 39．解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 40．把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，因为“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用转化的数学思想我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，从而可得方程的解． (1)问题：方程的解是， ， ； (2)拓展：用“转化”的思想求方程的解． 【经典计算题五 选择合适的方法解一元二次方程】 41．用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 42．请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 43．请用指定方法解下列方程： (1)公式法：； (2)因式分解法：． 44．用指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（因式分解） 45．用指定方法解下列方程： (1)（用配方法）； (2)（用因式分解法）． 46．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 47．利用指定方法解一元二次方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 48．按指定方法解方程： (1)；（因式分解法） (2)．（配方法） 49．用指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（适当方法） 50．按照指定方法解下列方程： (1)2x2+4x+1＝5 （配方法） (2)3x2﹣4x＝1（公式法） (3)（x+1）2＝3（x+1） (4)（x﹣3）（x+2）＝6 【经典计算题六 一元二次方程的解】 51．已知a是方程的一个根，求代数式的值． 52．已知 m是方程的一个根，求代数式的值． 53．已知是一元二次方程的一个根，求的值． 54．已知方程的一个根是，求代数式的值． 55．已知为一元二次方程的根，求的值． 56．请阅读下列材料：，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得，化简，得，故所求方程为，这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程为：________； 57．已知a是方程的一个根，求下列各式的值： (1)； (2)． 58．已知：． (1)求的值； (2)求的值． 59．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为所以是“喜鹊数”． (1)已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式_________；判断_________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）； (2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 60．若一元二次方程的两个根分别为和，则有和． (1)已知，，请构造一个以，为根的一元二次方程（以为未知数）； (2)在（1）的条件下，求的值． 【经典计算题七 换元法解一元二次方程】 61．阅读材料，解答问题： 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 62．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 63．下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 用换元法解高次方程 为解方程，可先将方程变形为，然后设，则，原方程化为，解得，．当时，即无意义，舍去；当时，即，解得，原方程的解为，．上述这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 小明在阅读了上述信息后，进行了如下操作： 第一步：解方程时，根据题意，可设，于是原方程变形为； 解得，． 第二步：根据题意，得，，即，，…… 任务一：原方程得到新方程的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想． 任务二：材料中的_____________． 任务三：请完整写出第二步的解答过程． 64．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以， 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求关于y一元二次方程的两根． 65．【先阅读，再解题】：解方程， 解：设，则原方程化为， 解得；， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，， 上述解法法称为“整体换元法” 请利用“整体换元法”解方程：． 66．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，； 当时，，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______； (2)若，求______； (3)参照上面解题的思想方法解方程：． 67．利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 68．阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 69．解方程 70．阅读下列材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数、满足，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求和的值． 【经典计算题八 根据一元二次方程的解求参数】 71．已知关于的方程有实数根，求的取值范围． 72．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 73．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 74．已知关于x的一元二次方程 (1)当为何值时，此方程有实数根； (2)选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根． 75．已知关于的一元二次方程，其中为常数． (1)当时，求该方程的根； (2)若方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 76．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程的一个根比另一个根大3，求的值． 77．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 78．已知关于x的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求p的取值范围； (2)对p选取一个合适的整数，使原方程有两个实数根，并解这个方程． 79．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 80．已知关于x的方程． (1)若原方程有实数根，求k的取值范围？ (2)选取一个你喜欢的整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解此方程． 【经典计算题九 一元二次方程根与系数的关系计算】 81．已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 82．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 83．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 84．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 85．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根，满足，求实数的值． 86．设，是方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 87．已知关于的一元二次方程． (1)小明在解方程时，得到一个根为，求的值． (2)在（1）的条件下，设是该方程的两个根，求的值． 88．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 89．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求的值． 90．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两根为、且，求m的值． 【经典计算题十 一元二次方程新定义计算】 91．定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 92．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 93．定义表示不超过x的最大整数，如，．若，解方程：． 94．定义一种新的运算法则：，如 (1)根据这个运算规则，计算的值． (2)求关于x的方程的解． 95．定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： (1)写出方程的“对称方程”：____________________． (2)若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 96．对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：，例如． (1)计算； (2)若，求x的值． 97．对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 98．我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则______． 99．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 100．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）数53 “完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 （2）已知，则 ； （3）已知（x，y 是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； 【拓展结论】 （4）已知实数x、y满足，求的最大值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 一元二次方程100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 选择合适的方法解一元二次方程 题型六 一元二次方程的解 题型七 换元法解一元二次方程 题型八 根据一元二次方程的解求参数 题型九 一元二次方程根与系数的关系计算 题型十 一元二次方程新定义计算 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 2．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 3．用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据题意，将方程化为，再根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 4．用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 5．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 6．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）， 移项，得， 两边同时除以49，得， 开方，得， 则方程的两个根为，． （2） 两边同时除以9，得， 开方，得， 即或， 则方程的两个根为，． 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 7．用直接开平方法解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ． 8．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解． 【详解】（1）由原方程，得， ∴， ∴，． （2）， ， ， 或， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键． 9．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴，； （2） ∴，． 10．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开方的方法进行求解即可； （2）利用直接开方的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）， ， 两边直接开平方，得， 解得，． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解方程即可． 本题考查了一元二次方程的解法，选择适当的方法解方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 则， 故，． 12．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 解法一：利用配方法求解即可； 解法二：利用公式法求解即可． 【详解】解：解法一： 移项，得：． 配方，得：， 即． 开方，得：， 即，或． 所以． 解法二： ，，， ． ． 即． 13．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得，再把常数项移到等号的右边，即，再配方，最后开方，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴ ∴． 14．解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，把移到方程的右边，然后方程两边同时加4，然后利用完全平方公式即可得出，然后开平方即可得出答案． 【详解】解： ， 则， 15．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 16．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，运用配方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，． 17．解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用配方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∴， ∴． 18．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 19．解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 20．小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：，① ，② ，③ ，④ ，．⑤ (1)小明解方程的方法是____________． A．直接开平方法    B．因式分解法    C．配方法    D．公式法 他的求解过程从第____________步开始出现错误． (2)请用正确的方法帮小明解这个方程． 【答案】(1)C ，② (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （1）根据小明的解题步骤分析即可； （2）先把移到方程的右边，然后方程两边都加16，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】（1）解：小明解方程的方法是配方法， 故选C； 他的求解过程从第②步开始出现错误． 故答案为：②； （2）解： 解得：， 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 21．用公式法解一元二次方程：． 【答案】． 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解题的关键．把原方程可化为一般形式后，找出，计算出进而代入求根公式即可求解． 【详解】解：化为， ∴, ∴， ∴， ∴． 22．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴ 解得：． 23．用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把代入求根公式计算即可； （2）把代入求根公式计算即可； （3）先把方程化为一般形式得：，再把代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：整理，得， ． 24．解方程：（用公式法） 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握求根公式是关键，根据一元二次方程的求根公式求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴． 25．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【详解】解：， ， ， ， ． 26．用公式法解一元二次方程： 【答案】 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，先求出，再利用求根公式直接求解即可． 【详解】解： 27．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 28．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先判断的符号，再代入求解即可． 【详解】解： ， ∴， ∴． 29．用公式法解方程： 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，利用公式法解一元二次方程解题即可． 【详解】解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 30．（用公式法）解一元二次方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，根据公式法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键 【详解】解： ∴， ∴， ∴ 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 31．解方程：（因式分解）． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握利用因式分解的方法解方程是解题的关键． 32．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【答案】①，②③， 【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （3）由（1）（2）得，直接作答①； ②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：由（1）（2）得 （3）①； ； 故答案为：，； ②． ∴， ∴， ∴或； ③， ∴， ∴或， ∴，． 33．阅读下列材料： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，最高次项的系数不为零，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有一种解法是利用因式分解来解的． 如解方程：， 左边分解因式，得， 或， 原方程的解是或． 根据上述材料，解答下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）将看成整体利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， 或， 解得或． （2）解：， ， ， 或， 解得或． 34．阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如是常数，的多项式叫做关于的二次三项式．通过所学内容可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用一元二次方程的两个根，把某些二次三项式因式分解呢？ 设一元二次方程的两个实数根为，计算：． 下面是代数推理过程： 解：．即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，则可将二次三项式因式分解为，即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式因式分解． 任务： (1)已知是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则将二次三项式因式分解的结果是______． (2)因式分解：______． (3)请用阅读内容中的方法，因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，因式分解，读懂题目根据题意写出因式分解即可得到答案； （1）结合题意分解因式即可得到答案； （2）先求出的两个根，再根据定义因式分解； （3）先求出的两个根，再根据定义因式分解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 解得，，， ∴， 故答案为：； （3）解：解：由题意可得， 解得， ， ∴，， ∴． 35．【探究发现】：八年级数学学习兴趣小组学完因式分解后探究发现： 因为， 所以多项式可因式分解为， 【方法归纳】：由此获得因式分解的一种方法，如： ， ， ， ． 【学以致用】：请你依据小组发现的方法尝试解决下面的问题： (1)若因式分解的结果有一个因式为，则实数p的值为 ； (2)因式分解： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查因式分解， 根据因式分解的一个因式可知方程的一个解，代入即可求的未知数； ①利用题目给定的方法逐步分解即可求得答案；②将变形，利用题目给定的方法逐步分解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵分解因式的结果有一个因式为， ∴是的解， ∴， 解得． 故答案为：； （2）① ； ② ． 36．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 37．阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． （1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解； （2）①仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；②将方程左边因式分解后求出与的关系，求出结果即可． 【详解】（1）解： （2）解：① ， ， ， ， ②代数式为， 或， 所以的值为时，或． 38．阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法．仿照例题的方法，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得或． 所以原方程的解为，； （2）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得或． 所以原方程的解为，； （3）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得，或． 所以原方程的解为，． 39．解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 40．把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，因为“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用转化的数学思想我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，从而可得方程的解． (1)问题：方程的解是， ， ； (2)拓展：用“转化”的思想求方程的解． 【答案】(1)2， (2) 【分析】（1）解一元二次方程即可得到答案； （2）两边同时平方，将原方程转化为一元二次方程，求出解后再代入原式检验即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得：， 解得：，； （2）解：， 两边平方，得：， 移项，得：， 因式分解，得：， 解得：，， 经检验，为增根，应舍去． 原方程的解为：． 【点睛】本题考查解一元二次方程、含二次根式的方程，解题的关键是熟练掌握转化思想，注意验根． 【经典计算题五 选择合适的方法解一元二次方程】 41．用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 42．请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 43．请用指定方法解下列方程： (1)公式法：； (2)因式分解法：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式法求解即可； （2）先提取公因式4，再利用平方差公式求解． 【详解】（1）方程中，， ∴， ∴； （2）方程可变形为：， 即， ∴或， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握公式法和因式分解法解方程的方法是解题的关键． 44．用指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（因式分解） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键． （1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可； （2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可． 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 45．用指定方法解下列方程： (1)（用配方法）； (2)（用因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接运用配方法解一元二次方程即可； （2）直接利用平方差公式因式分解解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 解得：，； （2）解： 或 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 46．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据公式法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∵， ， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， ∴或， 解得：． 47．利用指定方法解一元二次方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∵，，， ∴， ∴ 解得：，． （2）解：， ， ， ， ， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——公式法和因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 48．按指定方法解方程： (1)；（因式分解法） (2)．（配方法） 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 整理得：， ； （2）解：， ， ， ， ， 或， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题时要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 49．用指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（适当方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）方程移项，然后根据配方法解一元二次方程； （2）根据一元二次方程求根公式进行计算求解； （3）根据因式分解法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）方程移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）这里，，， ， ； （3）方程移项得：， 分解因式得：， 解得：，； （4）方程整理得：， 分解因式得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 50．按照指定方法解下列方程： (1)2x2+4x+1＝5 （配方法） (2)3x2﹣4x＝1（公式法） (3)（x+1）2＝3（x+1） (4)（x﹣3）（x+2）＝6 【答案】(1)， (2)，． (3)，． (4)，． 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）用公式法解方程即可； （3）用因式分解法解方程即可； （4）先化简方程，再用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：2x2+4x+1＝5， 2x2+4x＝4， ， ， ， ，， ，． （2）解：3x2﹣4x＝1， 3x2﹣4x-1＝0， ， ，方程有两个不相等的实数根； ， ，． （3）解：（x+1）2＝3（x+1）， （x+1）2-3（x+1）＝0， （x+1）（x+1-3）＝0， x+1＝0，x-2＝0， ，． （4）解：（x﹣3）（x+2）＝6， 化简得，， （x﹣4）（x+3）＝0， x-4＝0，x+3＝0， ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用配方法、因式分解法和公式法解方程． 【经典计算题六 一元二次方程的解】 51．已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值．根据一元二次方程的解的定义可得，再化简代数式，然后把代入，即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 52．已知 m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．先根据m是方程的一个根，得出，求出，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 53．已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，注意一元二次方程（a、b、c是常数）的二次项系数不为零．根据一元二次方程的解得定义把代入一元二次方程，即可求出待定系数a的值，注意：一元二次方程的二次系数不为零． 【详解】解：将代入得， 54．已知方程的一个根是，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 55．已知为一元二次方程的根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据已知可得，再将代数式因式分解，然后整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵为一元二次方程 的根，    2023． ∴原式 ． 56．请阅读下列材料：，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得，化简，得，故所求方程为，这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程为：________； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根，熟练掌握“换根法”是解题的关键： （1）设所求方程的根为，则：，得到，把代入原方程，化简即可； （2）设所求方程的根为，则：，得到，把代入原方程，化简即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则：， ∴， 把代入原方程，得：，即：； 故答案为：． （2）设所求方程的根为，则：， ∴， 把代入原方程，得： 整理得：； 故答案为：． 57．已知a是方程的一个根，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义： （1）根据一元二次方程解的定义得到，再证明，则两边同时除以a即可得到答案； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再把代入所求式子中利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵a是方程的一个根， ∴， ∵当时，， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 58．已知：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体思想的应用． （1）根据，得出，然后整体代入求值即可； （2）根据，得出，，将变形后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ， ． 59．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为所以是“喜鹊数”． (1)已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式_________；判断_________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）； (2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】(1)；不是 (2) (3) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的解、判别式等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）根据定义即可求解； （2）由题意得；得：；由①③可得：是方程两个相等的实数根； （3）题意可得，进而得；结合，可得，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵是“喜鹊数” ∴； ∵ ∴不是“喜鹊数”， 故答案为：；不是 （2）解：由题意得：，； 得：； 由①③可得：是方程的两个实数根； 由（1）得， ∴是方程两个相等的实数根； ∴； 即： （3）解：∵，， 解得： ∴ ∴； ∵， ∴ 即： ∴满足条件的所有k的值为： 60．若一元二次方程的两个根分别为和，则有和． (1)已知，，请构造一个以，为根的一元二次方程（以为未知数）； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意得出，，构造一个以，为根的一元二次方程（以为未知数），即，即可作答． （2）结合，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根分别为和，则有和 ∴，，构造一个以，为根的一元二次方程（以为未知数），即； （2）解：由（1）得， ∴． 【经典计算题七 换元法解一元二次方程】 61．阅读材料，解答问题： 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，关键是构造元和设元． 设，则原方程可化为．然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用直接开平方法求得的值． 【详解】解：设，则原分式方程可化为， 整理，得， 解得，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得． 综上所述，原方程的解为，． 62．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解方程，公式法解方程．依题意，设，则原式为，然后运用因式分解法，公式法分别进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， 设， 则原式为， ∴， 解得， 则或， 当时，即：， ， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 综上：的解是． 63．下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 用换元法解高次方程 为解方程，可先将方程变形为，然后设，则，原方程化为，解得，．当时，即无意义，舍去；当时，即，解得，原方程的解为，．上述这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 小明在阅读了上述信息后，进行了如下操作： 第一步：解方程时，根据题意，可设，于是原方程变形为； 解得，． 第二步：根据题意，得，，即，，…… 任务一：原方程得到新方程的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想． 任务二：材料中的_____________． 任务三：请完整写出第二步的解答过程． 【答案】任务一：换元；任务二：，任务三：见解析 【分析】本题考查了换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，根据题意，可设，于是原方程变形为，再利用因式分解法求解即可．得出，转化为方程，，解方程即可． 【详解】任务一：原方程得到新方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想． 任务二：原方程变形为， ∴ 解得： ∴材料中的． 任务三：根据题意，得，，即， 解方程，即 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 64．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以， 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求关于y一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)4； 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3），令，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； （3）一元二次方程， ∵令， ∴， 则方程的两根比两根大1， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，， 所以方程 的两根分别是4、． 65．【先阅读，再解题】：解方程， 解：设，则原方程化为， 解得；， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，， 上述解法法称为“整体换元法” 请利用“整体换元法”解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程，设，先把原方程化为关于的一元二次方程，求出它的根，再代入设中求出掌握一元二次方程的因式分解法和换元法的一般步骤是解决本题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程可化为， ． 解得，． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 所以原方程的解为：，． 66．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，； 当时，，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______； (2)若，求______； (3)参照上面解题的思想方法解方程：． 【答案】(1) (2)4 (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根． （1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果； （2）设，原方程可变为：，解关于t的方程得出，，即可得出的值； （3）设，原方程变形为：，求出，即可得出，然后解关于x的分式方程即可得出x的值． 【详解】（1）解：设，原方程可变形为：； （2）解：设，则原方程可变为：， 解得：，， ∴或（舍去）． （3） 解：设，则， 原方程变形为：， 解得：， ∴， 去分母得： 解得：，， 经检验，和是上述分式方程的根， ∴原方程的解为：，． 67．利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用换元法求解即可； （2）利用换元法求解即可． 【详解】（1）设，原方程可变为： 解得：或，即或． 当时，，没实数根， 当时，解得． 故原方程的根是，． （2）设，原方程可变为：， 解得：或， 当时，可得，解得：， 当时，可得，解得：， 故原方程的根是，． 68．阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确材料中的换根法，根据实际的问题进行换根． （1）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． （2）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． 【详解】（1）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求方程为：． 故答案为：． （2）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求的方程为：． 故答案为：． 69．解方程 【答案】或 【分析】本题主要考查运用换元法及因式分解法解一元二次方程，设，则原方程可变形为，再根据因式分解法求解即可 【详解】解：设，则原方程可变形为， ∴， ∴ ∴， 即或， 解得或 70．阅读下列材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数、满足，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，完全平方公式的变形求值； （1）设，进而因式分解法解一元二次方程，根据，即可求解； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程变形为， 整理得：整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ∴． 【经典计算题八 根据一元二次方程的解求参数】 71．已知关于的方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ． 该方程有实数根， ，即， ． 72．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得：； （2）解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 解得：或， ∵， ∴． 73．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式并正确求解一元二次方程是解题的关键； （1）由题意得，解不等式即可； （2）根据（1）求得的k的范围可得到k的最大整数值，代入方程中并解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得． （2）解：由，得满足条件的的最大整数值为3， 则原方程化为， ∴， 解得，． 74．已知关于x的一元二次方程 (1)当为何值时，此方程有实数根； (2)选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根． 【答案】(1)当时，此方程有实数根． (2)当时，，． 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系是解答此题的关键． （1）根据，确定k的取值范围； （2）从上题中求得的范围中找到一个喜欢的值代入后得到方程，求解即可． 【详解】（1）解：要使方程有实数根，必须， ． 即． 解得． 当时，此方程有实数根． （2）解：当时，（答案不唯一）． 原方程变为． 解得． 即∶，． 75．已知关于的一元二次方程，其中为常数． (1)当时，求该方程的根； (2)若方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入原方程得出，进而根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）先根据根的判别式求解，再根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为 ， ∴ （2）∵方程有实数根， ∴        解得：， ∵为正整数， ∴， 原方程为， ∴， ∴ 76．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程的一个根比另一个根大3，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于的方程解决问题． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用根与系数的关系建立关于的方程即可求解． 【详解】（1）证明：， 因为，所以， 所以方程总有两个实数根． （2）解：解方程，得， 整理，得或， ∵方程的一个根比另一个根大3，∴或， ∴或． 77．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是对根的判别式的掌握与灵活运用． （1）将代入原方程可求出m的值； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：将代入原方程得： ， 解得：， 的值为； （2）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 是关于的一元二次方程， ， 的取值范围为：且． 78．已知关于x的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求p的取值范围； (2)对p选取一个合适的整数，使原方程有两个实数根，并解这个方程． 【答案】(1) (2)当时，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式即可进行解答； （2）选择一个符合条件的k的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． （2）当时，原方程为， ， 或， ，．（答案不唯一） 79．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析； (2)另一个根为2，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况以及二元一次方程的解，解决此题的关键是熟练掌握掌握二元一次方程的解法． （1）方程总有两个实数根，可得到，算出结果即可． （2）已知一个根是，把这个根代入求出m，进而得到原方程求解即可． 【详解】（1）证明：， 无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程得， 解得， 原方程为， ， 另一个根为2，． 80．已知关于x的方程． (1)若原方程有实数根，求k的取值范围？ (2)选取一个你喜欢的整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解此方程． 【答案】(1)； (2)取，，．（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，熟练掌握根的判别式的内容是解题的关键． （1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）根据（1）的结论，选一个符合条件的k值，将其代入原方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 解得； （2）解：答案不唯一，只要的整数即可． 取，方程为， 因式分解为，， 则或， 解得，． 【经典计算题九 一元二次方程根与系数的关系计算】 81．已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． （1）由根与系数的关系可知，，．把变形成，代入，即可求解； （2）把变形成代入，即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知， ，． ； （2）解： ． 82．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义以及根与系数的关系； （1）利用根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可； （2）先利用根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得，； 即b的值为或； （2）当时，方程化为， 根据根与系数的关系得， 所以． 83．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键． （1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，结合，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 即的取值范围为：； （2）解：根据题意得： ，， ， ， 解得：（符合题意）， 即的值为． 84．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， ∴ 解得：． （2）解：原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去）， 85．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根，满足，求实数的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根的判别式，熟记相关结论即可． （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． 【详解】（1）解：由题意得：且 解得：且 （2）解：由题意得： ∵， ∴， 解得：（舍） 经检验，是原方程的解 ∴ 86．设，是方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键． （1）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可． （2）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2） ； 87．已知关于的一元二次方程． (1)小明在解方程时，得到一个根为，求的值． (2)在（1）的条件下，设是该方程的两个根，求的值． 【答案】(1)； (2)11． 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系． （）把代入计算即可求解； （）利用根与系数的关系得到、的值，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴一元二次方程为， ∴，， ∴． 88．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． （1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【详解】（1）证明：， ∵ ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程两个实数根的和为3， ∴， ∴． 89．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，根据，所以，然后解关于的方程即可得到满足条件的的值． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2），， ， ， 而， ，， ，即， 解得，， 而， ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了判别式的值． 90．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两根为、且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之取其小于等于的值即可得出结论． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2），是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， 整理得：， 解得：，． 又， ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． 【经典计算题十 一元二次方程新定义计算】 91．定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要查了解一元二次方程： （1）直接根据新运算解答，即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：． 92．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 【答案】不是“十美方程”，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出原方程的两个实数根是解题的关键，再结合“十美方程”的定义，即可得出一元二次方程不是“十美方程”． 【详解】解：一元二次方程不是“十美方程”，理由如下： ， ， 或， 解得：，， ，，，， 一元二次方程不是“十美方程”． 93．定义表示不超过x的最大整数，如，．若，解方程：． 【答案】 【分析】本题主要查了解一元二次方程．分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，此时原方程为 ， 解得：，不符合题意； 当时，，此时原方程为 ， 解得：，不符合题意； 当时，，此时原方程为 ， 解得：（不符合题意，舍去），． ∴方程的解为． 94．定义一种新的运算法则：，如 (1)根据这个运算规则，计算的值． (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，据此解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 95．定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： (1)写出方程的“对称方程”：____________________． (2)若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 【答案】(1) (2)①0；1；②， 【分析】此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：的“对称方程”是； （2）解：由，移项可得：， 由互为“对称方程”的定义可得， ，， 解得：，， 化为， ， ，． 96．对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：，例如． (1)计算； (2)若，求x的值． 【答案】(1)14 (2)或 【分析】此题考查了解一元二次方程，把新定义运算化为普通运算，得出一元二次方程是解本题的关键． （1）直接根据新定义得到答案； （2）根据题中的新定义，把转化为，然后解这个方程即可． 【详解】（1）解：根据新定义可知： ； （2）解：由新定义可知， 将转化为． 解得或． 97．对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 98．我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则______． 【答案】(1)方程是倍根方程，理由见解析 (2)1或4 【分析】（1）求解方程，根据定义验证； （2）求解方程，根据定义得关于参数的等式，求解． 【详解】（1）解：方程是倍根方程， 理由如下：由方程，解得，， ∴， ∴方程是倍根方程． （2）解： 解得 ∵是倍根方程， ∴ ∴或4． 【点睛】本题考查一元二次方程求解，新定义的理解；由新定义得到关于参数的等式是解题的关键． 99．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 【答案】(1)①不是“邻根方程”； ②是“邻根方程” (2)或 【分析】（1）分别求解方程①②，即可进行判断； （2）利用因式分解即可求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：①∵ ∴ ∴ ∵，， 故①不是“邻根方程” ② ∴ ∵ ∴②是“邻根方程” （2）解： ∴ ∴ 由题意得：或 解得：或 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解，熟练掌握各求解方法是解题关键． 100．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）数53 “完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 （2）已知，则 ； （3）已知（x，y 是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； 【拓展结论】 （4）已知实数x、y满足，求的最大值． 【答案】（1）是；（2）1；（3），理由见解析；（4）2 【分析】（1）把53分为两个整数的平方和，即可； （2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； 拓展结论： （4）由已知等式表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）根据题意得：． 故答案为：是． （2）已知等式变形得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 则：． 故答案为：1． （3）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵S是完美数， ∴是完全平方式， ∴． （4）∵， ∴，即， ∴， 当时，最大，最大值为2． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $$