第07讲 一元二次方程易错必刷题型专项训练（66题21个考点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第07讲 一元二次方程易错必刷题型专项训练（66题21个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】 1．下列方程中，一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、，化简，得：，方程变为一元一次方程，不符合题意； D、，化简，得：，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 2．下列选项：①；②；③；④；⑤．其中是一元二次方程的是 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，需要根据定义对每个选项进行分析判断． 【详解】①，经过移项化简后为，未知数最高次数是 1 ，是一元一次方程，不是一元二次方程； ②，含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 ，是整式方程，所以是一元二次方程； ③，展开左边可得，化简后为，未知数最高次数是 1 ，是一元一次方程，不是一元二次方程； ④，展开可得，含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2，是整式方程，所以是一元二次方程； ⑤，方程中含有分式和，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程． 答案：②④ 3．已知是一元二次方程，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据的最高次数是2，且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 【易错必刷二 一元二次方程的一般形式】 4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：D． 5．将方程化为的形式后， ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是，本题中首先根据多项式乘以多项式的法则把方程左边展开，然后再移项合并同类项，把一元二次方程化为一般形式，再确定各项系数． 【详解】解：， 整理得：， 移项合并同类项得： 化为的形式后，，，． 故答案为： ，，． 6．已知关于x的一元二次方程不含一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义；根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：依题意，且 解得：且 ∴， 故答案为：． 【易错必刷三 一元二次方程的解】 7．若是一元二次方程的一个根，则a的值为（    ） A．9 B．10 C． D．11 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解的性质，是解题的关键． 根据方程解的定义把代入方程求解，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 故选：A． 8．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据题意易得，然后根据整体思想代入求值即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为2025． 9．已知是关于的方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先利用乘法公式展开、合并得到原式，利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： ， ∵是关于x的一元二次方程的根， ∴，即， ∴原式． 【易错必刷四 一元二次方程解的估算】 10．已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：C． 11．根据下列表格对应值： x 4.6 4.5 4.4 4.3 0.1 0.2 判断关于 x 的方程（）的一个解 x 的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负时，得到时，的取值范围即可． 【详解】解：由表格可知，当时，存在一个的值，使， 故关于 x 的方程（）的一个解 x 的范围是； 故选C． 12．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 【易错必刷五 一元二次方程的解法】 13．用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） ∴ 解得，； （3） ，， ∴ 解得，． 14．用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） (3)（用公式法） (4)（用因式分解法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 【详解】（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得，； （2）解：， 原方程整理得． 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 15．用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 16．用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式． （1）首先移项，然后方程两边同时加上9即可完成配方，然后解方程即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ，， （2）解： ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 17．用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）把常数项4移项后，再在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方，再进行计算即可． （2）找出，，的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程移项后，提取公因式，因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可； （4）把方程左边进行因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）， ， ， ， ， ，； （2）， ，，，， ， ，； （3）， ， ， ， ， 或， ，； （4）． ， 或， ，． 18．用指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解；∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【易错必刷六 配方法的应用】 19．已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．利用配方法判断出可得结论． 【详解】解：， ， ， 又可以配方成， ， ． 故选：B． 20．定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 21．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 【答案】(1)， (2)，最大值为 (3)时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是 【分析】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键． （1）根据平方数的非负性，可得，则当时，取得最小值，由此即可求解； （2）根据材料提示，运用配方法得到代数式，，结合（1）的方法即可求解； （3）设，则，则有，结合（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴当时，取得最小值， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）解：代数式变形得， ∵，则， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：四边形是长方形， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是，． 【易错必刷七 换元法解一元二次方程】 22．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设得到方程，再根据关于x的一元二次方程有一根为，即可得到t的值，从而可求解． 【详解】解：∵， ∴，即．　 设，则． ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴一元二次方程必有一根为2026． 故选C． 23．已知 ，则代数式 的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要查了解一元二次方程，将看作整体是解题关键．利用直接开平方法解答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴． 故答案为：1 24．阅读材料，解答问题： 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，关键是构造元和设元． 设，则原方程可化为．然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用直接开平方法求得的值． 【详解】解：设，则原分式方程可化为， 整理，得， 解得，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得． 综上所述，原方程的解为，． 【易错必刷八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 25．已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为0，求的值及该方程的另一根． 【答案】(1)见解析 (2)，该方程的另一根是 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法求一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． （1）运用根的判别式“，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，无实数根；”即可求解； （2）将代入方程得到，再代入方程，运用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程， 解得， ∴方程为， ， ∴另一根是． ∴，该方程的另一根是． 26．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是求出解答． （1）求出，根据即可证明结论； （2）把代入方程求出，把代入得，解方程即可得到方程的另一个根． 【详解】（1）证明：∵ ， ∵， ∴方程总有两个实数根． （2）解：把代入方程得：， 解得：， 把代入得， 解得：， 所以另一根为． 27．已知关于x的一元二次方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断关于x的一元二次方程的根的情况． 【答案】(1) (2)当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根； 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．熟记相关结论即可. （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）分类讨论方程为一元一次方程和一元二次方程的情况． 【详解】（1）解：由题意得：且； 解得： （2）解：当时，即时： 方程为，此一元一次方程有一个实数根； 当且时：此方程为一元二次方程 ， ∵， ∴； 此时方程有两个不相等的实数根； 综上所述：当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根； 【易错必刷九 根据一元二次方程根的情况求参数】 28．已知关于的一元二次方程有两个不等实根． (1)求的取值范围； (2)若是这个方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，解题的关键是掌握根的判别式与根的个数之间的关系． （1）求出根的判别式，令根的判别式大于0，解不等式即可； （2）将代入求出m的值． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ． ． （2）解：是这个方程的一个根， ． ． 29．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数值时，求出该方程的根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法．一元二次方程根的判别式为，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式可得：是，因为方程有实数根，所以可得，，解不等式求出的取值范围； 由可知的最大值为，可得方程为，用因式分解法解方程求出结果． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程根的判别式是 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：； （2）解：， 的最大值为， 当时，方程为， 分解因式得：， 方程的解为． 30．已知关于x的一元二次方程．其中a，b，c分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2)为直角三角形，理由见解析 (3)， 【分析】（1）把代入原方程，得出，即可得出为等腰三角形； （2）根据方程有两个相等的实数根，得出，从而得出，即可判定出为直角三角形； （3）根据是等边三角形，得出，代入原方程得出，整理得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 即， ∴为等腰三角形． （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∴原方程为：， ∵， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，准确计算． 【易错必刷十 传播问题】 31．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 32．冬季易引发流感，刚开始有2人患流感，经过两轮传染共有288人患病，求每轮传染中平均一个人传染几个人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染11个人 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第二轮传染后患流感的人数为， 由题意可得 解得 答：每轮传染中平均一个人传染11个人． 33．据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型流感（A型流感）为主．特别是A（H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了8个人 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意易得方程，然后求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意得： ， 解得：，（不符题意，舍去）； 答：每轮传染中平均一个人传染了8个人． 【易错必刷十一 增长率问题】 34．某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】(1) (2)预计该商场七月份投入资金将达到万元 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设该商场投入资金的月平均增长率为x，列式，进行计算，即可作答． （2）结合题意，列式，即可作答． 【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； （2）解：依题意，（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 35．某品牌文具生产厂家的产品深受师生喜爱，近期又研发出一款新型水笔非条生产线．调试期间，第一天生产4万只，第三天生产了万只．回答下列问题： (1)求前三天生产量的日平均增长率； (2)新型水笔上市后供不应求；厂家决定扩大生产规模．现有这条生产线每天产能已达到最大值万只，每增加1条生产线，每条生产线每天产能减少万只．该厂要保证每天生产万只，在既增加产能又节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)日平均增长率； (2)增加条生产线． 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意列式求解即可； （2）设增加条生产线，根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为，根据题意得 ， 解得 （舍去）， 答：日平均增长率． （2）解：设增加条生产线，根据题意得 ， 解得 （舍去）， 答：增加 4 条生产线． 36．2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率； (2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)2023年、2024年这两年的平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023年、2024年这两年的平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解一元一次方程即可得到答案； （2）设售价应降低元，可列出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设2023年、2024年这两年的平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：2023年、2024年这两年的平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：售价应降低元． 【易错必刷十二 与图形有关的问题】 37．用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒，设剪去的正方形的边长为（硬纸片厚度忽略不计）． (1)纸盒底面长方形的长为________，宽为________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)、 (2)剪去的正方形的边长为 【分析】本题主要考查列代数式，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解几何问题的方法是解题的关键． （1）根据图示，列代数式即可求解； （2）根据题意，列式，求解即可． 【详解】（1）解：根据图示，设剪去的正方形的边长为（硬纸片厚度忽略不计）， ∴纸盒底面长方形的长为、宽为， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 整理得，， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：剪去的正方形的边长为． 38．广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． (1)请用含x的式子分别表示挂画的长和宽； (2)若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度． 【答案】(1)米；米 (2)1米 【分析】本题主要考查代数式表示数或数量关系，一元二次方程解实际问题，理解图示，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据图示信息用代数式表示即可； （2）根据面积公式的计算列式，求一元二次方程即可． 【详解】（1）解：挂画的长为：米； 挂画的宽为：米； （2）解：由题意得： ， 解方程，得：，（不合题意，舍去）．     答：锦缎边饰的宽度为1米． 39．如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向运动，同时点从点出发以每秒的速度也向运动，一个点到达点则另一个点也停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示、的长，并指出的取值范围； (2)连接，为何值时，的面积为． 【答案】(1)，， (2)1 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据各数量之间的关系用含的代数式表示出各线段的长度； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， （秒）, ； （2）解：   解得，（舍） ∴当为1秒时，的面积为． 【易错必刷十三 数字问题】 40．已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 【答案】这个数为或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据“一个数的平方与的差等于这个数与的和”列方程求解．找到相等关系是解题的关键． 【详解】解：设这个数为x，则： ， 整理得， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 则这个数为或． 41．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 【答案】81 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握用数位上的数字表示两位数的方法，充分理解“和的平方”． 设个位上的数为，则十位上的数为，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设个位上的数为，则十位上的数为， 依题意，得 整理得： 解得：，（舍去） 所以，，． 答：这个两位数是81． 42．2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 【答案】这个最小数为5 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为，根据题意， 得． 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 【易错必刷十四 营销问题】 43．商场销售的某种商品，每件进价100元，售价125元，平均每天售出20件．受经济形势的影响，该商品销量受到影响．为刺激消费，商场决定让利于顾客，经调查发现：该商品售价格每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)当该商品售价降低6元时，每天销售量可达到_____件，每天盈利_____元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天的盈利可达到600元？ (3)在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是_____． 【答案】(1)32；608 (2)降价10元 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据每件进价100元，售价125元，平均每天售出20件，该商品售价格每降低1元，平均每天可多售出2件，列式计算即可； （2）设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，根据商场通过销售这种商品每天的盈利可达到600元，列出方程，解方程即可； （3）根据利润率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意知，当该商品售价降低6元时，则现在的售价是： （元）， 售出（件）， 每件的利润是（元）， 因此利润为：（元）． 答：当商品售价降低6元时，每天销售量可达到32件，每天盈利608元． （2）解：设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，根据题意得： ， 解得：． 为了让顾客得到更多的实惠， ，即商品降价10元． 答：为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价10元时，商场通过销售这种商品每天的盈利可达到600元． （3）解：在（2）的条件下，售价是元， 利润是：元， 利润率是． 44．某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． (1)求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 【答案】(1)答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为， (2)答：单价应定为元/千克． 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为，根据题意，列出方程，解出，即可； （2）设单价应定为元/千克，根据题意，列出方程，，解出，即可． 【详解】（1）解：设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为， ∴根据题意，， 解得：，（舍）， 答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为． （2）解：设单价应定为元/千克， 根据题意， ， 整理得：， 解得：，， ∵要让顾客得到实惠， ∴满足题意； 答：单价应定为元/千克． 45．为响应乡村振兴政策，斑竹溪村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． (1)请确定苹果、桃李的单价； (2)该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村 决定把苹果和桃李的零售单价同时下降元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元？ 【答案】(1)苹果的单价为元，桃李的单价为元； (2)当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设苹果的单价为元，桃李的单价为元，依题意，列式，解出，即可作答． （2）依题意，列式，解出，即可作答． 【详解】（1）解：设苹果的单价为元，桃李的单价为元； ∵销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． ∴， ∴， ∴苹果的单价为元，桃李的单价为元； （2）解：依题意， ， 整理得， 即， 则（故舍去） ∴当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元． 【易错必刷十五 动态几何问题】 46．中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的面积S与运动时间t的函数关系式，并确定t的取值范围； (2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，使得的面积为． 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键． （1）根据路程速度时间表示出、，再由和三角形面积公式即可得到答案； （2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ∵， ∴； （2）解：由题意得，， 解得或（舍去）， ∴当时，使得的面积为． 47．中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ________， ________（用含t的代数式表示）； (2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，使得的面积为 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键． （1）根据路程速度时间表示出、，再由即可得到答案； （2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，使得的面积为． 48．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动．同时，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，当一个动点到达终点，另一动点随之停止运动．    (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？ 【答案】(1)1秒 (2)不能，理由见详解 【分析】（1）设运动是t秒，根据题意得：，，根据，得到关于t的方程，即可求解； （2）设运动是t秒，根据题意得：，，根据，得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：设运动是t秒， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， 解得：或4（不符合题意，舍去）． 所以1秒时，的面积等于； （2）解：设运动是t秒， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则原方程无解． 所以的面积不能等于． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【易错必刷十六 工程问题】 49．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 50．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 51．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【易错必刷十七 行程问题】 52．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 53．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 54．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 【易错必刷十八 图表信息题】 55．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 56．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 57．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 【易错必刷十九 其他问题】 58．某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配置每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第三次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商场获利330元，求的值． 【答案】(1)每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键． （1）根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元 由题意得  ，   解得， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元． （2）解：由题意得 ，    整理得， 解得， ∵ ， ∴， 答：的值为． 59．健康来自运动，运动创造美好生活．某个周末，小明和小华相约一起到万州南滨公园跑步锻炼，小明的跑步速度为小华的倍，若他们同时从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，则小明比小华早到6分钟． (1)求小明每分钟跑多少米？ (2)若到达B地后，小明继续沿着步道跑步到C地，在他从A地到C地整个跑步过程中前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗1050卡路里热量，在从A地到C地整个跑步过程中，小明共用多少分钟？ 【答案】(1)180米 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小华每分钟跑x米，则小明每分钟跑米，根据“小明比小华早到6分钟”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小华每分钟跑x米，则小明每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑180米． （2）解：设小明从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从A地到C地锻炼共用60分钟． 60．阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∴且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握各类求解方法是解题关键． （1）由题意得，推出或，即可求解； （2）两边同时平方得：，解得：，；结合且，即可求解． 【详解】（1）解： 因式分解，得   ∴或； 即：或 解得：，， （2）解：两边同时平方得：， 整理得：； 解得：， ∵且， ∴ ∴原方程的解为． 【易错必刷二十 一元二次方程根与系数的关系】 61．已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 【答案】(1)详见解析 (2)k的值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式列出关于k的式子． （1）根据根的判别式，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，利用，即可得到k的值． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即k的值为． 62．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． (2)若方程的两个实数根、满足，求实数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵的两个实数根、，满足， ∴， ∵， ∴， ∴． 63．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或1 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系． （1）计算判别式的值，再利用配方法得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得到，，而，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 无论为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）由，得， ， ， ， ， 解得：  ， 或1． 【易错必刷二十一 一元二次方程新定义问题】 64．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)或． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵，， 故该方程不是“邻根方程”． （2） ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 65．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】（1）根据“完美方程”的定义进行求解即可； （2）根据“完美方程”的定义得到，则原方程为，再由是此“完美方程”的一个根，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ②， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ③， ∵， ∴，则方程是“完美方程”； 故答案为：③． （2）解：是关于的“完美方程”， ， 原方程为． 是此“完美方程”的一个根， ，即， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键． 66．定义：若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程的一个根，则称这两个方程为“友好方程”．已知关于的一元二次方程与是“友好方程”，求的值． 【答案】或 【分析】先解方程，然后利用友好方程的定义代入第二个方程求得的值即可． 【详解】∵， ∴，； 将代入中，得； 将代入中，得； ∴的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的知识，能够理解友好方程的定义是解本题的关键． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一元二次方程易错必刷题型专项训练（66题21个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】 1．下列方程中，一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列选项：①；②；③；④；⑤．其中是一元二次方程的是 （填序号）． 3．已知是一元二次方程，则实数 ． 【易错必刷二 一元二次方程的一般形式】 4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 5．将方程化为的形式后， ， ， ． 6．已知关于x的一元二次方程不含一次项，则 ． 【易错必刷三 一元二次方程的解】 7．若是一元二次方程的一个根，则a的值为（    ） A．9 B．10 C． D．11 8．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 9．已知是关于的方程的根，求代数式的值． 【易错必刷四 一元二次方程解的估算】 10．已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．根据下列表格对应值： x 4.6 4.5 4.4 4.3 0.1 0.2 判断关于 x 的方程（）的一个解 x 的范围是（     ） A． B． C． D． 12．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【易错必刷五 一元二次方程的解法】 13．用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 14．用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） (3)（用公式法） (4)（用因式分解法） 15．用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 16．用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 17．用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 18．用指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【易错必刷六 配方法的应用】 19．已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 20．定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 21．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 【易错必刷七 换元法解一元二次方程】 22．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 23．已知 ，则代数式 的值为 ． 24．阅读材料，解答问题： 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【易错必刷八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 25．已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为0，求的值及该方程的另一根． 26．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 27．已知关于x的一元二次方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断关于x的一元二次方程的根的情况． 【易错必刷九 根据一元二次方程根的情况求参数】 28．已知关于的一元二次方程有两个不等实根． (1)求的取值范围； (2)若是这个方程的一个根，求的值． 29．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数值时，求出该方程的根． 30．已知关于x的一元二次方程．其中a，b，c分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【易错必刷十 传播问题】 31．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 32．冬季易引发流感，刚开始有2人患流感，经过两轮传染共有288人患病，求每轮传染中平均一个人传染几个人？ 33．据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型流感（A型流感）为主．特别是A（H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【易错必刷十一 增长率问题】 34．某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 35．某品牌文具生产厂家的产品深受师生喜爱，近期又研发出一款新型水笔非条生产线．调试期间，第一天生产4万只，第三天生产了万只．回答下列问题： (1)求前三天生产量的日平均增长率； (2)新型水笔上市后供不应求；厂家决定扩大生产规模．现有这条生产线每天产能已达到最大值万只，每增加1条生产线，每条生产线每天产能减少万只．该厂要保证每天生产万只，在既增加产能又节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 36．2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率； (2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 【易错必刷十二 与图形有关的问题】 37．用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒，设剪去的正方形的边长为（硬纸片厚度忽略不计）． (1)纸盒底面长方形的长为________，宽为________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长． 38．广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． (1)请用含x的式子分别表示挂画的长和宽； (2)若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度． 39．如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向运动，同时点从点出发以每秒的速度也向运动，一个点到达点则另一个点也停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示、的长，并指出的取值范围； (2)连接，为何值时，的面积为． 【易错必刷十三 数字问题】 40．已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 41．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 42．2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 【易错必刷十四 营销问题】 43．商场销售的某种商品，每件进价100元，售价125元，平均每天售出20件．受经济形势的影响，该商品销量受到影响．为刺激消费，商场决定让利于顾客，经调查发现：该商品售价格每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)当该商品售价降低6元时，每天销售量可达到_____件，每天盈利_____元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天的盈利可达到600元？ (3)在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是_____． 44．某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． (1)求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 45．为响应乡村振兴政策，斑竹溪村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． (1)请确定苹果、桃李的单价； (2)该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村 决定把苹果和桃李的零售单价同时下降元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元？ 【易错必刷十五 动态几何问题】 46．中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的面积S与运动时间t的函数关系式，并确定t的取值范围； (2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 47．中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ________， ________（用含t的代数式表示）； (2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 48．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动．同时，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，当一个动点到达终点，另一动点随之停止运动．    (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？ 【易错必刷十六 工程问题】 49．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 50．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 51．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【易错必刷十七 行程问题】 52．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 53．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 54．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【易错必刷十八 图表信息题】 55．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 56．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 57．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【易错必刷十九 其他问题】 58．某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配置每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第三次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商场获利330元，求的值． 59．健康来自运动，运动创造美好生活．某个周末，小明和小华相约一起到万州南滨公园跑步锻炼，小明的跑步速度为小华的倍，若他们同时从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，则小明比小华早到6分钟． (1)求小明每分钟跑多少米？ (2)若到达B地后，小明继续沿着步道跑步到C地，在他从A地到C地整个跑步过程中前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗1050卡路里热量，在从A地到C地整个跑步过程中，小明共用多少分钟？ 60．阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∴且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 【易错必刷二十 一元二次方程根与系数的关系】 61．已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 62．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． (2)若方程的两个实数根、满足，求实数值． 63．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【易错必刷二十一 一元二次方程新定义问题】 64．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 65．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 66．定义：若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程的一个根，则称这两个方程为“友好方程”．已知关于的一元二次方程与是“友好方程”，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$