专题03 平行四边形（特殊平行四边形）中的动点问题-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

专题3 平行（特殊平行）四边形中的动点问题 类型一：平行四边形中的动点问题 类型二：矩形中的动点问题 类型三：菱形中的动点问题 类型四：正方形中的动点问题 类型一：平行四边形中的动点问题 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 2．如图，等边三角形ABC的边长为8cm．动点M从点B出发，沿B→A→C的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B方向以5cm/s的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及△ABC的边上一点D构成的四边形AMDN为平行四边形时，t的值为（　　） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2 3．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　） A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s 4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　） A． B．3 C．3或 D．或 5．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝　 　时，四边形PDCQ是平行四边形． 6．如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段PD＝ 　 　；CQ＝ 　 　；QE＝ 　 　（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ 8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝6cm，AD＝12cm，EF是△ABD的中位线，G为BC上一动点，H为CD上一动点，点G以2cm/s的速度从C点向B点运动，同时点H以1cm/s的速度从D点向C点运动，用t（s）表示时间（0≤t≤6）．当t为何值时，四边形EFHG是平行四边形？ 9．已知：在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数． （2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 类型二：矩形中的动点问题 10．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　） A．2 B．4 C．4或 D．2或 11．如图，在长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，E为AD的中点，若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点C向点B匀速运动，当△AEP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度是（　　） A． B．6或 C．或6 D． 12．矩形ABCD中，AD＝32厘米，AB＝24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，若点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形．则t的值为（　　） A．7 B．20 C．7或25 D．7或20 13．如图．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm．BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段BC上来回运动，当点P当到达点D时，P、O两点停止运动．在此运动过程中，出现PQ∥CD和PQ＝CD的次数分别是（　　） A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°，点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连结PQ，当时间是1秒时，PQ的长度是（　　） A． B．6 C． D．4 15．如图，这是一张矩形纸片ABCD，其中AB＝4cm，AD＝8cm，E是BC边上的一点，且BE＝3cm，点P以2cm/s的速度从点A开始沿A﹣D﹣C﹣B﹣A的方向运动一周停止，当△AEP是以AE为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为 　 　s． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝13cm，AD＝4cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形． （2）填空：当t为 　 s时，四边形EGFH是菱形． 17．如图，矩形ABCD中，CD＝4，∠CBD＝30°．一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．过点P作PE⊥BC于点E，连接EQ，PQ． （1）求证：PE＝DQ； （2）当t为何值时，△PQE为直角三角形？请说明理由． 18．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE． （1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？ （2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由． 19．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个内角都是90°．如图，长方形ABCD中，AD＝9厘米，AB＝4厘米，E为边AD上一动点，从点D出发，以1厘米/秒向终点A运动，同时动点P从点B出发，以a厘米/秒向终点C运动，运动的时间为t秒． （1）当t＝3时， ①求线段CE的长； ②若此时EP平分∠AEC，求a的值； （2）若a＝1，且△CEP是以CE为腰的等腰三角形，求t的值． 类型三：菱形中的动点问题 20．如图，在菱形ABCD中，AB＝6cm，∠A＝60°，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运动时间为t s，当△PDQ为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 21．如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝6，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动过程中，AE+CF的长度（　　） A．恒等于6 B．恒等于9 C．逐渐增加 D．先增加再减小 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0），点P在菱形OABC的边上，从点O出发以每秒2个单位长度的速度，沿A→B→C→O→A…的路线作循环运动，则第2024秒时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 23．在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝2∠A，点E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为 　 　． 24．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN． （1）△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． （2）在M、N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 25．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G． （1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形； （2）当CG＝2时，求AE的长． 26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，∠C＝30°．点E从点B出发沿BA方向以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点C出发沿CA方向向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC交BC于点F，连接DE、EF． 请问：（1）若t＝3，请问点D每秒运动多少个单位时，四边形AEFD是平行四边形？ （2）若四边形AEFD为菱形，此时t＝　 　，点D每秒运动 　 　个单位．（请直接写出结果，不说明理由） 27．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝5cm，点E从点A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF； （2）四点A、C、F、E能否组成平行四边形？若能，求出t值；若不能，请说明理由． 类型四：正方形中的动点问题 28．如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，E为边AB上一点，且AE＝2cm，点F在边BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动；同时，点G在边CD上以x cm/s的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t s，连结EF，FG．当△EBF与△FCG全等时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 29．如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠FAE+∠EPC＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 30．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是边BC上的一点且CE＝3，连结DE，动点M从点A以每秒2个单位的速度沿AB—BC—CD—DA向终点A运动．设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值为（　　） A．3.5 B．4.5 C．3.5或5.5 D．3.5或6.5 31．如图，正方形ABCD的边长为2cm，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，动点P从B点开始，以1cm/s的速度沿折线B→A→D→C做匀速运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度，沿B→C→E→C做匀速运动．设点P运动的时间为t秒，四边形PQED的面积为S，若四边形PQED的形状是平行四边形时，则t的取值范围是 　 　． 32．如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由． （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPE与△CQP全等？ 33．已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）． （1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值； （2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值． 34．如图，正方形ABCD的顶点B在矩形AEFG的边EF上运动． （1）如图1，点C在FG上，求∠FBG的大小； （2）如图1，C是FG的中点，求证：CH＝DH； （3）如图2，若AE＝2，EF＝3，，直接写出BE的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 平行（特殊平行）四边形中的动点问题 类型一：平行四边形中的动点问题 类型二：矩形中的动点问题 类型三：菱形中的动点问题 类型四：正方形中的动点问题 类型一：平行四边形中的动点问题 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 【分析】由题意已知，AD∥BC，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，列出等式可求解． 【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时，且P在BC上， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t， ∴16﹣t＝21﹣3t， 解得t， ∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形； 当点P在BC延长线上时， ∴16﹣t＝3t﹣21， 解得t， ∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 2．如图，等边三角形ABC的边长为8cm．动点M从点B出发，沿B→A→C的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B方向以5cm/s的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及△ABC的边上一点D构成的四边形AMDN为平行四边形时，t的值为（　　） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2 【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【解答】解：①当，点M、N、D的位置如图所示： ∵四边形ANDM是平行四边形， ∴DM＝AN，DM∥AN，DN∥AB， ∴∠MDB＝∠C＝60°，∠NDC＝∠B＝60°， ∴∠NDC＝∠C， ∴ND＝NC， ∴DM+DN＝AN+NC＝AC＝8，即：3t+5t＝8， 解得：t＝1， ②当时，点M、N、D在同一直线上，不能构成四边形， ③当时，点M、N、D的位置如图所示： ∵四边形ANDM是平行四边形， ∴DN＝AM，AM∥DN， ∴∠NDB＝∠ACB＝60°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠NDB＝∠B＝60°， ∴ND＝NB， ∴NB+MC＝AM+CM＝8，即：3t﹣8+5t﹣8＝8， 解得：t＝3， 综上所述，t的值为1或3， 故选：C． 3．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　） A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s 【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由∠A＝45°，可得△ADG是等腰直角三角形，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，利用勾股定理得EH＝6cm，由题意可得AE＝2t cm，CF＝t cm，然后分两种情况列方程求出t的值即可． 【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm， 如图，过点D作DG⊥AB于点G， ∵∠A＝45°， ∴△ADG是等腰直角三角形， ∴AG＝DGAD＝8， 过点F作FH⊥AB于点H， 得矩形DGHF， ∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH， ∵EF＝10cm， ∴EH6cm， 由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm， ∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm， ∴2t﹣2＝22﹣t， 解得t＝8， 当F点在E点左侧时， 由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm， ∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm， ∴2t﹣14＝22﹣t， 解得t＝12， ∵点E到达点B时，两点同时停止运动， ∴2t≤22，解得t≤11． ∴t＝12不符合题意，舍去， ∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s， 故选：C． 4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　） A． B．3 C．3或 D．或 【分析】分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题． 【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝9+3t﹣12，解得t， ②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝12﹣9﹣3t，解得t， 综上所述，t或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 故选：D． 5．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝　3或5　时，四边形PDCQ是平行四边形． 【分析】根据平行四边形的性质得出DP＝CQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设经过t秒，四边形PDCQ是平行四边形， ∵P在AD上运动， ∴t7.5，即0＜t≤7.5， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴DP＝CQ， 分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为4t＝15﹣t， 解得t＝3， ②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为15﹣415﹣t， 解得：t＝5； 故答案为：3或5． 6．如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段PD＝ 　6﹣t　；CQ＝ 　2t　；QE＝ 　8﹣2t（0＜t＜4）或2t﹣8（4＜t＜6）　（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【分析】（1）AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，得PD＝6﹣AP，BE＝CE＝8，则QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8，而CQ＝2t，AP＝t，则PD＝6﹣t；若点Q与点E重合，则2t＝8，求得t＝4；若点P与点D重合，则t＝6，所以当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t，当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8，于是得到问题的答案； （2）由PD∥QE，可知当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，再分两种情况讨论，一是当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t；二是当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8，解方程求出相应的t值即可． 【解答】解：（1）∵AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上， ∴PD＝6﹣AP，BE＝CEBC＝8， ∴QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动， ∴AP＝t， ∴PD＝6﹣t； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动， ∴CQ＝2t， 若点Q与点E重合，则2t＝8， 解得t＝4； 若点P与点D重合，则t＝6， 当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t， 当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8， 故答案为：6﹣t，2t，8﹣2t或2t﹣8． （2）∵AD∥BC，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上， ∴PD∥QE， ∴当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形， 当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t， 解得t＝2； 当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8， 解得t， 综上所述，当t＝2或t时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ 【分析】首先判定当PQ∥CD时，四边形PDCQ是平行四边形，然后利用其性质PD＝QC，构建方程，即可得解． 【解答】解：当t＝4时，PQ∥CD，理由如下： 当PQ∥CD时，四边形PDCQ是平行四边形， 此时PD＝QC，PD＝12﹣2t，QC＝t， ∴12﹣2t＝t， ∴t＝4， ∴当t＝4时，PQ∥CD． 8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝6cm，AD＝12cm，EF是△ABD的中位线，G为BC上一动点，H为CD上一动点，点G以2cm/s的速度从C点向B点运动，同时点H以1cm/s的速度从D点向C点运动，用t（s）表示时间（0≤t≤6）．当t为何值时，四边形EFHG是平行四边形？ 【分析】根据题意得出点G和点H分别同时运动到BC、DC的中点时，四边形EFHG是平行四边形，即可得到答案． 【解答】解：若四边形EFHG是平行四边形， 则EF＝GH，EF∥GH， ∵EF是△ABD的中位线， ∴， ∴， 此时点G和点H分别同时运动到BC、DC的中点， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝6cm，AD＝12cm， ∴AD＝BC＝12cm，AB＝CD＝6cm， ∴， ∴点G运动到BC的中点所需时间6÷2＝3s， 同理，点H运动到DC的中点所需时间3÷1＝3s， ∴t＝3时，点G和点H分别同时运动到BC、DC的中点， ∴t＝3时，四边形EFHG是平行四边形． 9．已知：在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数． （2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【分析】（1）易证∠DPC＝∠DCP，得DP＝CD，又CD＝CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果； （2）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，设运动时间为t秒， ①当0≤t≤3时，6﹣0.5t＝6﹣2t，解得t＝0； ②当3＜t≤6时，6﹣0.5t＝2t﹣6，解得t＝4.8； ③当6＜t≤9时，6﹣0.5t＝18﹣2t，解得t＝8； ④当9＜t≤12时，6﹣0.5t＝2t﹣18，解得t＝9.6． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DPC＝∠PCB， ∵CP平分∠BCD， ∴∠PCD＝∠PCB， ∴∠DPC＝∠DCP， ∴DP＝CD， ∵CD＝CP， ∴CP＝CD＝DP， ∴△PDC是等边三角形， ∴∠B＝60°； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴PD∥BC， 若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ， 设运动时间为t秒， ①当0≤t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t， ∴6﹣0.5t＝6﹣2t， 解得：t＝0； ②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6， ∴6﹣0.5t＝2t﹣6， 解得：t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t， ∴6﹣0.5t＝18﹣2t， 解得：t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18， ∴6﹣0.5t＝2t﹣18， 解得：t＝9.6； 综上所述，当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 类型二：矩形中的动点问题 10．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　） A．2 B．4 C．4或 D．2或 【分析】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA＝PB时，△APE≌△BQP，②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可． 【解答】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况： ①当EA＝PB时，△APE≌△BQP（SAS）， ∵AB＝10cm，AE＝6cm， ∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm， ∴BQ＝AP＝4cm； ∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动， ∴点P和点Q的运动时间为：4÷2＝2s， ∴v的值为：4÷2＝2cm/s； ②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP（SAS）， ∵AB＝10cm，AE＝6cm， ∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm， ∵5÷2＝2.5s， ∴2.5v＝6， ∴v． 故选：D． 11．如图，在长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，E为AD的中点，若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点C向点B匀速运动，当△AEP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度是（　　） A． B．6或 C．或6 D． 【分析】根据四边形ABCD是长方形可得∠A＝∠B＝90°，设运动的时间为t s，点Q的运动速度是x cm/s，根据题意分别表示出AP＝2t（cm），PB＝AB﹣AP＝6﹣2t（cm），BQ＝8﹣tx（cm），再根据全等三角形的对应边相等分两种情况讨论，当△AEP≌△BQP时，当△AEP≌△BPQ时，分别建立方程组求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8cm，AB＝6cm， ∴∠A＝∠B＝90°，BC＝AD＝8cm， ∵E为AD的中点， ∴AE＝4cm， 设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是x cm/s， 依题有：AP＝2t（cm），PB＝AB﹣AP＝6﹣2t（cm），BQ＝BC﹣CQ＝8﹣tx（cm）， ①当△AEP≌△BQP时， ， 解得：； 即点Q的运动速度为时，△AEP与△BPQ全等， ②当△AEP≌△BPQ时， ， 解得：； 即点Q的运动速度为6cm/s时，△AEP与△BPQ全等， 综上可得，点Q的运动速度为或6cm/s时，△AEP与△BPQ全等， 故选：B． 12．矩形ABCD中，AD＝32厘米，AB＝24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，若点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形．则t的值为（　　） A．7 B．20 C．7或25 D．7或20 【分析】分两种情况：①如果四边形APCQ是菱形，则AP＝AQ＝CQ＝t，在Rt△ABQ中，根据勾股定理得出AB2+BQ2＝AQ2，列出关于t的方程，解方程求出t的值；②如果四边形PBQD是菱形，则PD＝BP＝32﹣t，在Rt△ABP中，根据勾股定理得出AB2+AP2＝BP2，列出关于t的方程，解方程求出t的值． 【解答】解：分两种情况： ①如果四边形APCQ是菱形，则AP＝AQ＝CQ＝t． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABQ＝90°， 在Rt△ABQ中，由勾股定理得：AB2+BQ2＝AQ2， 即242+（32﹣t）2＝t2， 解得：t＝25，即运动时间为25秒时，四边形APCQ是菱形． ②如果四边形PBQD是菱形，则PD＝BP＝32﹣t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， 在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2， 即242+t2＝（32﹣t）2， 解得：t＝7，即运动时间为7秒时，四边形PBQD是菱形； 故选：C． 13．如图．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm．BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段BC上来回运动，当点P当到达点D时，P、O两点停止运动．在此运动过程中，出现PQ∥CD和PQ＝CD的次数分别是（　　） A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 【分析】根据题意分别求得PQ∥CD和PQ＝CD的情形，分类讨论，即可求解． 【解答】解：设点P的运动时间为t， ∵AD＝10，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，当点P当到达点D时，P、O两点停止运动． ∴秒，AP＝t，则PD＝10﹣t ∵BC＝12cm，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段BC上来回运动， ∴， 当PQ∥CD时，则四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD＝CQ 当0≤t＜3时，点Q从C到B运动，CQ＝4t， ∴10﹣t＝4t，解得：t＝2， 当3≤t＜6时，点Q从B到C运动，CQ＝2×12﹣4t， ∴10﹣t＝2×12﹣4t， 4t﹣t＝24﹣10， 3t＝14， 解得：， 当6≤t＜9时，点Q从C到B运动，CQ＝4t﹣2×12， ∴10﹣t＝4t﹣2×12，解得：， 当9≤t≤10，点Q从B到C运动，CQ＝3×12﹣4t， ∴10﹣t＝3×12﹣4t，解得：（舍去）， ∴PQ∥CD能出现三次， 如图所示，过点P，D分别作BC的垂线，垂足分别为F，E， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴BE＝AD＝10，CE＝BC﹣BE＝12﹣10＝2，DE＝AB＝8， ∴Rt△CDE中，， 当PQ＝CD时， 在Rt△PFQ中，， ∴FQ＝2， 当0≤t＜3时，点Q从C到B运动，FQ＝|BQ﹣BF|＝|BQ﹣AP|＝|12﹣4t﹣t|＝|12﹣5t|， ∴|12﹣5t|＝2，解得：t＝2或， 当3≤t＜6时，点Q从B到C运动，FQ＝|BQ﹣BF|＝|BQ﹣AP|＝|4t﹣12﹣t|＝|12﹣3t|， ∴|12﹣3t|＝2，解得：或， 当6≤t＜9时，点Q从C到B运动，FQ＝|BQ﹣BF|＝|BQ﹣AP|＝|12×3﹣4t﹣t|＝|36﹣5t|， ∴|36﹣5t|＝2，解得：或， 当9≤t≤10，点Q从B到C运动，FQ＝|BQ﹣BF|＝|BQ﹣AP|＝|4t﹣36﹣t|＝|3t﹣36|， ∴|36﹣3t|＝2，解得：（舍去）或（舍去）， ∴PQ＝CD能出现6次， 故选：A． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°，点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连结PQ，当时间是1秒时，PQ的长度是（　　） A． B．6 C． D．4 【分析】作QH⊥AB，由矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°，得AC＝2AB＝8，CQ＝1×2＝2，得AQ＝8﹣2＝6，AH3，QH3，由AP＝1×1＝1，得PH＝3﹣1＝2，即可得PQ． 【解答】解：作QH⊥AB，由矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°， 得AC＝2AB＝8，CQ＝1×2＝2， 得AQ＝8﹣2＝6，AH3，QH3， 由AP＝1×1＝1， 得PH＝3﹣1＝2， 得PQ． 故选：C． 15．如图，这是一张矩形纸片ABCD，其中AB＝4cm，AD＝8cm，E是BC边上的一点，且BE＝3cm，点P以2cm/s的速度从点A开始沿A﹣D﹣C﹣B﹣A的方向运动一周停止，当△AEP是以AE为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为 　或3或6　s． 【分析】分三种情况进行讨论：当AE＝AP1＝5cm时，当AE＝EP2＝5cm时，当AE＝EP3＝5cm时，分别画出图形，求出点P运动的时间即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝4cm，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°， 如图1，当AE＝AP1＝5cm时， 所以． 如图2，当AE＝EP2＝5cm时，过点E作EF⊥AP2于点F， ∵∠ABE＝∠AFE＝∠BAF＝90°， ∴四边形ABEF为长方形， ∴AF＝BE＝3cm， ∵AE＝EP2＝5cm，EF⊥AP2， ∴AP2＝2AF， ∴AP2＝6cm， 所以． 如图3，当AE＝EP3＝5cm时，此时点P3与点C重合， 所以点P3运动的距离＝AD+CD＝8+4＝12（cm）， 所以． 综上所述，当△AEP是以AE为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为或3s或6s． 故答案为：或3或6． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝13cm，AD＝4cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形． （2）填空：当t为 　　s时，四边形EGFH是菱形． 【分析】（1）证明△ADE≌△CBF，进而可得GE∥HF，且GE＝HF，即可得出结论； （2）当四边形EGFH是菱形，点G是AE的中点，则，可得EF⊥AB，再根据DE＝AF，证明四边形AFED是矩形，列方程求解即可； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠B＝90°，AB∥CD，AD＝CB， ∴∠DEA＝∠EAF， ∵点E、F同时分别从D，B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动， ∴DE＝BF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF，∠DEA＝∠EAF＝∠CFB， 又∵点G、H分别为AE、CF的中点， ∴GE∥HF，且GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； （2）解：连接EF， ∵四边形EGFH是菱形，点G是AE的中点， ∴， ∴∠FEG＝∠GFE，∠GAF＝∠GFA， ∵∠FEG+∠GFE+∠GAF+∠GFA＝2（∠GFE+∠GFA）＝180°， ∴∠AFE＝∠GFE+∠GFA＝90°， ∴EF⊥AB， ∵∠BAD＝∠D＝∠AFE＝90°， ∴四边形AFED是矩形， ∴DE＝AF， ∴t＝13﹣t， ∴， 故答案为：； 17．如图，矩形ABCD中，CD＝4，∠CBD＝30°．一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．过点P作PE⊥BC于点E，连接EQ，PQ． （1）求证：PE＝DQ； （2）当t为何值时，△PQE为直角三角形？请说明理由． 【分析】（1）由垂直得∠BEP＝90°，在Rt△BEP中，BP＝2t，由∠CBD＝30°，可得PE＝t，即可证明结果； （2）分类讨论：①当∠EPQ＝90°，②当∠PQE＝90°，③当∠PEQ＝90°即可． 【解答】（1）证明：∵PE⊥BC， ∴∠BEP＝90°， 在Rt△BEP中，BP＝2t， ∵∠CBD＝30°， ∴PE＝t， 又∵DQ＝t， ∴PE＝DQ； （2）解：①当∠EPQ＝90°时，四边形EPQC为矩形， ∴PE＝QC， ∵PE＝t，QC＝4﹣t， ∴t＝4﹣t，即t＝2； ②当∠PQE＝90°时，∠DPQ＝∠PQE＝90°， 在Rt△DPQ中，∠PQD＝90°﹣60°＝30°， ∴DQ＝2DP， ∵DQ＝t，DP＝8﹣2t ∴t＝2（8﹣2t）， ∴t， ③当∠PEQ＝90°时，此种情况不存在， 综上所述，当t＝2或时，△PQE为直角三角形． 18．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE． （1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？ （2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由． 【分析】（1）若△ABP与△DCE全等，可得AP＝CE＝3或BP＝CE＝3，根据时间路程的关系可求t的值； （2）根据题意可得：CD＝4，根据勾股定理可求DE的长；分PD＝DE，PE＝DE，PD＝PE三种情况讨论，可求t的值． 【解答】解：（1）若△ABP与△DCE全等， ∴BP＝CE或AP＝CE， 当BP＝CE＝3时，则t＝3÷1＝3， 当AP＝CE＝3时，则t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13， ∴当t为3或13时，△ABP和△DCE全等； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC， 在Rt△DCE中，CE＝3， ∴DE5， 若△PDE为等腰三角形， 则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE， 当PD＝DE时， ∵PD＝DE，DC⊥BE， ∴PC＝CE＝3， ∵BP＝BC﹣CP＝3， ∴t＝3÷1＝3， 当PE＝DE＝5时， ∵BP＝BE﹣PE， ∴BP＝9﹣5＝4， ∴t＝4÷1＝4， 当PD＝PE时， ∴PE＝PC+CE＝3+PC， ∴PD＝3+PC， 在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2． ∴（3+PC）2＝16+PC2， ∴PC， ∵BP＝BC﹣PC， ∴BP， ∴t1， 综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形． 19．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个内角都是90°．如图，长方形ABCD中，AD＝9厘米，AB＝4厘米，E为边AD上一动点，从点D出发，以1厘米/秒向终点A运动，同时动点P从点B出发，以a厘米/秒向终点C运动，运动的时间为t秒． （1）当t＝3时， ①求线段CE的长； ②若此时EP平分∠AEC，求a的值； （2）若a＝1，且△CEP是以CE为腰的等腰三角形，求t的值． 【分析】（2）①当t＝3时，则DE＝3厘米，BP＝3a厘米，在Rt△CDE中由勾股定理可求出CE的长； ②根据EP平分∠AEC及AD∥BC得∠CPE＝∠AEP＝∠CPE，则CP＝CE＝5厘米，由此得BP＝BC﹣CP＝4厘米，则3a＝4，由此可得a的值； （2）根据a＝1厘米/秒得BP＝DE＝t厘米，则CP＝BC﹣BP＝（9﹣t）厘米，当△CEP是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：①当CE＝CP时，由勾股定理得CE2＝t2+16，则t2+16＝（9﹣t）2，由此可解出t；②当CE＝PE时，过点P作PF⊥AD于F，证四边形ABPF为矩形得AF＝BP＝t厘米，PF＝AB＝CD＝4厘米则EF＝AD﹣AF﹣DE＝（9﹣2t）厘米，证Rt△PEF和Rt△CED得EF＝DE，即9﹣2t＝t，由此可解出t，综上所述即可得出t的值． 【解答】解：（1）①当t＝3时， 依题意得：DE＝3厘米，BP＝3a厘米，如图1所示： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝4厘米，AD＝BC＝9厘米，∠D＝90°，AD∥BC， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE5（厘米）； ②∵EP平分∠AEC， ∴∠AEP＝∠CEP， ∵AD∥BC， ∴∠CPE＝∠AEP， ∴∠CPE＝∠CEP， ∴CP＝CE＝5厘米， ∴BP＝BC﹣CP＝9﹣5＝4（厘米）， ∴3a＝4， ∴a（厘米/秒）； （2）∵a＝1厘米/秒，运动的时间为t秒， ∴BP＝DE＝t厘米， 则CP＝BC﹣BP＝（9﹣t）厘米， 当△CEP是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况： ①当CE＝CP时，如图2所示： 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2＝DE2+CD2＝t2+16， ∴t2+16＝（9﹣t）2， 解得：t（秒）； ②当CE＝PE时，过点P作PF⊥AD于F，如图3所示： ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， 又∴PF⊥AD， ∴四边形ABPF为矩形， ∴AF＝BP＝t厘米，PF＝AB＝CD＝4厘米 ∴EF＝AD﹣AF﹣DE＝（9﹣2t）厘米， 在Rt△PEF和Rt△CED中， ， ∴Rt△PEF≌Rt△CED（HL）， ∴EF＝DE， 即9﹣2t＝t， 解得：t＝3（秒）， 综上所述：t的值为秒或3秒． 类型三：菱形中的动点问题 20．如图，在菱形ABCD中，AB＝6cm，∠A＝60°，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运动时间为t s，当△PDQ为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 【分析】延长AB至点M，使BM＝AP，连接QM，易证△ADP≌△MPQ，即可推出△BMQ是等边三角形，列出方程即可解决问题． 【解答】解：如图，延长AB至点M，使BM＝AP，连接QM． ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴AB＝AD， ∴∠APD+∠ADP＝120°， ∵BM＝AP， ∴AD＝MP， ∵△PDQ为等边三角形， ∴DP＝PQ，∠DPQ＝60°， ∴∠MPQ+∠APD＝120°， ∴∠ADP＝∠MPQ． 在△ADP和△MPQ中， ， ∴△ADP≌△MPQ（SAS）， ∴AP＝MQ，∠M＝∠A＝60°． 又∵BM＝AP， ∴△BMQ是等边三角形， ∴BQ＝AP． ∵AP＝t cm，CQ＝2t cm， ∴BC＝CQ+BQ＝3t cm． ∵BC＝6cm． ∴3t＝6， ∴t＝2． 故选：D． 21．如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝6，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动过程中，AE+CF的长度（　　） A．恒等于6 B．恒等于9 C．逐渐增加 D．先增加再减小 【分析】连接BD，由菱形的性质推出AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝60°，判定△ABD、△CDB是等边三角形，得到∠CBD＝∠ADB＝60°，BC＝BD，由∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°，推出∠CBF＝∠EBD，由ASA判定△CBF≌△DBE，得到CF＝DE，于是得到AE+CF＝AE+DE＝AD＝6． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝60°， ∴△ABD、△CDB是等边三角形， ∴∠CBD＝∠ADB＝60°，BC＝BD， ∵∠EBF＝60°， ∴∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°， ∴∠CBF＝∠EBD， 在△CBF和△DBE中， ， ∴△CBF≌△DBE（ASA）， ∴CF＝DE， ∴AE+CF＝AE+DE＝AD， ∵AB＝6， ∴AE+CF＝6． 故选：A． 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0），点P在菱形OABC的边上，从点O出发以每秒2个单位长度的速度，沿A→B→C→O→A…的路线作循环运动，则第2024秒时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：∵四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0）， ∴A（3，3），C（3，﹣3）， 第1秒时，点P在OA上，OP＝2，此时P（1，）， 第2秒时，点P在OA上，OP＝4，此时P（2，2）， 菱形每12秒一个循环，2024÷12＝168...8， ∴2024秒时，点P在第四象限， ∵2024÷12＝168…8 ∴点P在BC上，P（4，﹣2）， 故选：B． 23．在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝2∠A，点E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为 　3或或．　． 【分析】本题分三种情况：①当点P在AB边上时，②当点P在AD边上时，③当点P在CD边上时，需分别画出图形，再求值． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠B＝2∠A， ∴∠A+2∠A＝180°， ∴∠A＝60°． ∵E，F分别是AD，AB的中点， ∴AE，AF， ∴AE＝AF＝2． 连接EF，△AEF是等边三角形； ①当点P在AB边上时；如图， 当点P是AF的中点时，△PEF为直角三角形， 此时APAF＝1， ∴BP＝AB﹣AP＝4﹣1＝3； ②当点P在AD边上时；如图， 连接PF， 当点P是AE的中点时，△PEF为直角三角形， 此时， 连接BD，BE，BP， ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BE⊥AD， 由勾股定理得， 由勾股定理得：； ③当点P在CD边上时，连接BD，AC，PE，PF，PB，如图， 当点P是CD的中点时，此时， ∵AC⊥BD，PE为△ACD的中位线，EF为△ABD的中位线， ∴PE∥AC，EF∥BD， ∴PE⊥EF， ∴△PEF为直角三角形， ∵CD＝BC，∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BP⊥CD， 由勾股定理得； 综上，PB的长为3或或． 故答案为：3或或． 24．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN． （1）△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． （2）在M、N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 【分析】（1）连接AC，证明△BAM≌△CAN（ASA），推出AM＝AN可得结论； （2）利用全等三角形的性质得到四边形AMCN的面积不发生变化． 【解答】解：（1）△AMN是等边三角形， 证明：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACD＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， 在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（ASA）， ∴AM＝AN， ∵∠MAN＝60°， ∴△AMN是等边三角形； （2）四边形CMAN的面积不发生变化，理由如下： ∵△BAM≌△CAN， ∴S△BAM＝S△CAN， ∴四边形AMCN的面积＝S△ACD2， ∴四边形AMCN的面积不发生变化． 25．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G． （1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形； （2）当CG＝2时，求AE的长． 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形， （2）利用三角形相似，求出此时FG的长，再借助直角三角形勾股定理求解． 【解答】（1）证明：连接DF，CE，如图所示： ， ∵E为AB中点， ∴AE＝AFAB， ∴EF＝AB＝CD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴EF∥CD， ∴四边形DFEC是平行四边形． （2）解：作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，如图所示， ， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥EF， ∴△CDG∽△FEG， ∴， ∴FG＝2m， 在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2， sin60°，CH， cos60°，BH＝1， 在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH，FH＝3+m， CF2＝CH2+FH2， 即（2+2m）2＝（）2+（3+m）2， 整理得：3m2+2m﹣8＝0， 解得：m1，m2＝﹣2（舍去）， ∴． 26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，∠C＝30°．点E从点B出发沿BA方向以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点C出发沿CA方向向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC交BC于点F，连接DE、EF． 请问：（1）若t＝3，请问点D每秒运动多少个单位时，四边形AEFD是平行四边形？ （2）若四边形AEFD为菱形，此时t＝　2　，点D每秒运动 　4　个单位．（请直接写出结果，不说明理由） 【分析】（1）设点D每秒运动x个单位，由平行四边形的性质得DF＝AE＝3，再由含30°角的直角三角形的性质得CD＝2DF＝6，即3x＝6，解得x＝2即可； （2）由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AB＝12，再由菱形的性质得DF＝AD＝AE＝6﹣t，然后由含30°角的直角三角形的性质得CD＝2DF＝12﹣2t，利用AD+CD＝AC得6﹣t+12﹣2t＝12，解得t＝2，即可解决问题． 【解答】解：（1）设点D每秒运动x个单位时，四边形AEFD是平行四边形， 当t＝3时，BE＝3×1＝3， ∴AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴DF＝AE＝3， ∵DF⊥BC，∠C＝30°， ∴CD＝2DF＝6， 即3x＝6， 解得：x＝2， 答：点D每秒运动2个单位时，四边形AEFD是平行四边形； （2）∵∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝6， ∴AC＝2AB＝12， 由题意可知，BE＝t， ∵四边形AEFD是菱形， ∴DF＝AD＝AE＝6﹣t， ∵DF⊥BC，∠C＝30°， ∴CD＝2DF＝12﹣2t， ∵AD+CD＝AC， ∴6﹣t+12﹣2t＝12， 解得：t＝2， ∴CD＝12﹣2t＝12﹣4＝8， 设点D每秒运动y个单位， 则2y＝8， 解得：y＝4， 故答案为：2，4． 27．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝5cm，点E从点A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF； （2）四点A、C、F、E能否组成平行四边形？若能，求出t值；若不能，请说明理由． 【分析】（1）由题意得到BG＝DG，再由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证； （2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EDG＝∠FBG，∠DEG＝∠BFG， ∵G为BD的中点， ∴BG＝DG， ∵在△GDE和△GBF中， ， ∴△DGE≌△BGF（AAS）； （2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BC﹣BF＝5﹣2t（cm）， ∵AD∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AFCE是平行四边形， 即t＝5﹣2t， 解得：t； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣5（cm）， ∵AD∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝2t﹣5， 解得：t＝5； 综上可得：当t或5s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 类型四：正方形中的动点问题 28．如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，E为边AB上一点，且AE＝2cm，点F在边BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动；同时，点G在边CD上以x cm/s的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t s，连结EF，FG．当△EBF与△FCG全等时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【分析】由正方形的性质得AB＝BC＝8cm，∠B＝∠C＝90°，而AE＝2cm，则BE＝6cm，再分两种情况讨论，一是当BE＝CF＝6cm，BF＝CG时，可根据“SAS”证明△EBF≌△FCG，由8﹣t＝6，求得t＝2；二是当BE＝CG，BF＝CF时，可根据“SAS”证明△EBF≌△GCF，由t＝8﹣t，求得t＝4，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是边长为8cm的正方形， ∴AB＝BC＝8cm，∠B＝∠C＝90°， ∵E为边AB上一点，且AE＝2cm， ∴BE＝8﹣2＝6（cm）， 当BE＝CF＝6cm，BF＝CG时， 在△EBF和△FCG中， ， ∴△EBF≌△FCG（SAS）， ∵8﹣t＝6， ∴t＝2； 当BE＝CG，BF＝CF时， ∴在△EBF和△GCF中， ， ∴△EBF≌△GCF（SAS）， ∵t＝8﹣t， ∴t＝4， 故选：C． 29．如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠FAE+∠EPC＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 【分析】过点P作PH⊥BC交BC的延长线于H，先证明△ABE和△DAF全等得AE＝DF，再根据平行四边形性质得DF＝EP，DF∥EP，进而得AE＝EP，EP⊥AE，再证明△ABE和△EHP全等得AB＝BH，BE＝PH，由此可得BE＝CH＝PH，则△PCH为等腰直角三角形，进而得∠PCH＝∠3+∠EPC＝45°，据此即可得出答案． 【解答】解：过点P作PH⊥BC交BC的延长线于H，如图所示： 则∠H＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝DA，∠B＝∠DAB＝90°， ∴∠FAE+∠1＝90°， ∵DF⊥AE， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠FAE＝∠2， 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴AE＝DF， ∵四边形DFEP是平行四边形， ∴DF＝EP，DF∥EP， ∴AE＝EP，EP⊥AE， ∴∠3+∠AEB＝90°， 又∵∠FAE+∠AEB＝90°， ∴∠FAE＝∠3， 在△ABE和△EHP中， ， ∴△ABE≌△EHP（AAS）， ∴AB＝BH，BE＝PH， ∴BC＝EH， ∵BC＝BE+CE，EH＝CE+CH， ∴BE＝CH， ∴BE＝CH＝PH， ∴△PCH为等腰直角三角形， ∴∠PCH＝45°， ∴∠3+∠EPC＝45°， ∴∠FAE+∠EPC＝45°． 故选：B． 30．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是边BC上的一点且CE＝3，连结DE，动点M从点A以每秒2个单位的速度沿AB—BC—CD—DA向终点A运动．设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值为（　　） A．3.5 B．4.5 C．3.5或5.5 D．3.5或6.5 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BM＝2t﹣4＝3和AM＝16﹣2t＝3即可求得． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠BAD＝∠DCE＝90°， 如图，当点M在BC上时， ∵△ABM′和△DCE全等， ∴BM'＝CE＝3， 由题意得：BM′＝2t﹣4＝3， 所以t＝3.5； 当点M在AD上时， ∵△ABM″和△CDE全等， ∴AM″＝CE＝3， 由题意得：AM″＝16﹣2t＝3， 解得t＝6.5． 所以，当t的值为3.5或6.5时．△ABM和△DCE全等． 故选：D． 31．如图，正方形ABCD的边长为2cm，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，动点P从B点开始，以1cm/s的速度沿折线B→A→D→C做匀速运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度，沿B→C→E→C做匀速运动．设点P运动的时间为t秒，四边形PQED的面积为S，若四边形PQED的形状是平行四边形时，则t的取值范围是 　2≤t＜4　． 【分析】结合所给的条件，观察图形可知，当点P在AD上运动，同时点Q在CE上运动，四边形PQED是平行四边形，由PD＝4﹣t，且0＜PD≤2，得0＜4﹣t≤2，则2≤t＜4，于是得到问题的答案． 【解答】解：根据题意，当PD∥EQ，且PD＝EQ时，四边形PQED是平行四边形， ∵AB＝BC＝2cm，AB+AD＝BE＝4cm，且点P、点Q的速度都是1cm/s， ∴当点P在AD上运动，同时点Q在CE上运动，四边形PQED是平行四边形， ∵PD＝4﹣t，且0＜PD≤2， ∴0＜4﹣t≤2， 解得2≤t＜4， ∴t的取值范围是2≤t＜4， 故答案为：2≤t＜4． 32．如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由． （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPE与△CQP全等？ 【分析】（1）由“SAS”可证△BPE≌△CQP； （2）由全等三角形的性质可得BP＝PC，列出方程可求t的值，即可求解． 【解答】解：（1）△BPE≌△CQP，理由如下： 经过1秒后，BP＝4cm，CQ＝4cm， ∴BP＝CQ． ∵BC＝10㎝， ∴PC＝6cm． PC＝6cm， ∴BE＝PC， 在△BPE和△CQP中， ， ∴△BPE≌△CQP（SAS）； （2）设经过t秒后， △BPE≌△CPQ， 当点Q与点P速度不相同时，BP＝PC，此时△BPE≌△CPQ， ∴4t＝10﹣4t， 解得， 又CQ＝BE＝6cm， ∴． 当△PBE≌△QCP时，BP＝QC，此时，点P和点Q的运动速度相同，不存在这种全等． 33．已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）． （1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值； （2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值． 【分析】（1）根据题意用t表示CQ与AP，证明四边形APCQ为平行四边形，得AP＝CQ，由此列出t的方程即可； （2）根据题意用t表示CQ与BP，证明△ABP≌△BCQ得BP＝CQ，由此列出t的方程即可． 【解答】解：（1）由题意得DQ＝t cm，AP＝2t cm， ∵四边形ABCD是边长为8cm的正方形， ∴CQ＝（8﹣t）cm， 当PQ，AC互相平分时，四边形APCQ为平行四边形， ∴AP＝CQ， ∴2t＝8﹣t， 解得t， 即t的值为s； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°， ∵AP⊥BQ， ∴∠BAP+∠ABH＝∠ABH+∠CBQ＝90°， ∴∠BAP＝∠CBQ， ∴△ABP≌△BCQ（ASA）， ∴BP＝CQ， ∵BP＝2t﹣AB＝2t﹣8，CQ＝8﹣t， ∴2t﹣8＝8﹣t， 解得t， 即t的值为s． 34．如图，正方形ABCD的顶点B在矩形AEFG的边EF上运动． （1）如图1，点C在FG上，求∠FBG的大小； （2）如图1，C是FG的中点，求证：CH＝DH； （3）如图2，若AE＝2，EF＝3，，直接写出BE的长． 【分析】（1）运用AAS证明△AEB≌△BFC解题即可； （2）分别延长AG与BC交于点P，可以证得△PCG≌△BCF，得到PC＝BC，进而证明△ADH≌△PCH得到结论； （3）过点C作CM⊥FG于点M，作CN⊥EF于点N，连CG，则四边形CMFN为矩形，根据△AEB≌△BNC得到CM、GM的长，在Rt△GMC中利用勾股定理解题即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是矩形， ∴AB＝BC，AE＝GF，∠E＝∠F＝∠ABC＝90°． 又∵∠EBA+∠FBC＝∠BCF+∠FBC＝90°， ∴∠EBA＝∠BCF． ∴△AEB≌△BFC（AAS）． ∴AE＝BF． ∴GF＝BF． ∴∠FBG＝∠BGF＝45°； （2）证明：如图1，分别延长AG与BC交于点P． ∵∠PGC＝∠BFC＝90°，CG＝FC，∠PCG＝∠BCF， ∴△PCG≌△BCF， ∴PC＝BC． ∵AD＝BC， ∴AD＝PC． 又∵∠ADH＝∠PCH＝90°，∠AHD＝∠PHC， ∴△ADH≌△PCH（AAS）． ∴DH＝CH． （3）解：过点C作CM⊥FG于点M，作CN⊥EF于点N，连CG， 则四边形CMFN为矩形， 由（1）可得△AEB≌△BNC， ∴BN＝AE＝2，CN＝BE， 设：CN＝BE＝x 则：CM＝FN＝|2﹣3+x|＝|x﹣1|，FM＝CN＝x， ∴GM＝|2﹣x| 在Rt△GMC中， GC2＝MC2+MG2＝（x﹣1）2+（2﹣x）2＝2， 解得：或． ∴或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$