数列求和：错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组（并项）求和专项训练-2025届高三数学二轮复习

数列求和：错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组（并项）求和专项训练 数列求和：错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组（并项）求和专项训练 考点一 错位相减法 1．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列和满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 2．（24-25高三上·浙江台州·期末）已知数列满足（e为自然对数的底），且. (1)当时，令，求的通项公式及其前n项和； (2)当时，令，，，求的值. 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和； (3)若数列满足：，求． 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且数列是等差数列，． (1)证明：数列是等差数列． (2)若数列、满足，，令，求证：． 5．（24-25高三上·山西运城·期末）在数列中，，，且 (1)证明：是等差数列; (2)求数列的前n项和 (3)求证：. 6．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 考点二 裂项相消法 1．（24-25高三上·山东菏泽·期末）记为首项为4的数列的前n项和，且是以首项为3，公比为的等比数列. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知正项数列前项积为，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 4．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）设为数列的前项和，已知 (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列的前项和为，满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和为． 6．（24-25高三上·辽宁·期末）已知为等差数列，其前项和为，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 考点三 倒序相加法 1．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知为正项等比数列，且，若函数，则（    ） A．2023 B．2024 C． D．1012 2．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则 . 3．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 4．（24-25高三上·天津·期末）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 5．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 考点四 分组（并项）求和 1．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 2．（24-25高三上·天津·期末）已知等差数列的前n项和为是公比大于0的等比数列且成等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)设求； (3)对于数列在和之间插入数列的前k项组成一个新的数列：…，求. 3．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）在数列中，点在直线上；在等比数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．（24-25高三上·湖北·期末）已知数列的前n项和为，若， (1)求 (2)若，为数列的前n项和，求 5．（24-25高三上·河南·期末）已知是各项均为正数的数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和. 6．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列求和：错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组（并项）求和专项训练 数列求和：错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组（并项）求和专项训练 考点一 错位相减法 1．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列和满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意知， 所以， 即，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知， 所以， 所以 . 2．（24-25高三上·浙江台州·期末）已知数列满足（e为自然对数的底），且. (1)当时，令，求的通项公式及其前n项和； (2)当时，令，，，求的值. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）当时，，两边取对数，，即， 又，故是首项为1，公比为2的等比数列， 故，. （2）当时，（*）， 则，故， 于是， 又由（*），可得，故， 于是 . 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和； (3)若数列满足：，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设公差为，公比为， ，，，解得或， ，，故数列的通项公式为， ，， ，，解得，， 故数列的通项公式为； （2）根据题意，， 则，① ，② ①－②： ， 所以； （3）根据题意，， 则 ． 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且数列是等差数列，． (1)证明：数列是等差数列． (2)若数列、满足，，令，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设，则， 当时，； 当时，； 因为，所以，解得或； 当时，，， 当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列； 当时，，不合题意，舍去． 综上可知为等差数列． （2）由已知可得，，所以． 所以，即， 利用累乘法可得： ①当时， ． ②经检验当时也符合题意，所以 所以． 即 5．（24-25高三上·山西运城·期末）在数列中，，，且 (1)证明：是等差数列; (2)求数列的前n项和 (3)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为在数列中，，，且， 所以， 所以是首项为，公差为2的等差数列. （2）由（1）得， 则， 所以，即， 又符合， 所以（或）， 故， 所以. （3）由（2）可得， 欲证： 即证： 即证： ， 即证： 令构造函数： 则 ， 又因为， 故当时，，当且仅当时等号成立， 令，所以成立. 6．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为， 所以当时，． 当时，． 当时，上式也成立． 所以． （2）由（1）得，， 所以， 所以， 所以， 整理得． 考点二 裂项相消法 1．（24-25高三上·山东菏泽·期末）记为首项为4的数列的前n项和，且是以首项为3，公比为的等比数列. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题意，得，则，则 （2）由（1），当时，则， 又满足上式，故 （3）由（2），得，记的前n项和为， 所以①， 则②， ①②得，， 则，故数列的前n项和为 2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知正项数列前项积为，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【详解】（1），当时，， 当时，， 时适合上式，所以； （2）， ，， 令①， ②， ①－②得， 所以， 所以. 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵成等比数列，∴， ∵数列为等差数列，， ∴，解得或（舍）， ∴， ∴. （2）由（1）得， ∴. （3）由题意得，， ∴， ， 得， ∴， ∴. 4．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）设为数列的前项和，已知 (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）因为， 当时，，即， 当时，，所以， 化简得，又， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列，所以. （2）因为， 所以， ， 两式相减得， ， 所以， 故，． 5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列的前项和为，满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 当时，，得，又； 符合，所以数列是首项为1，公比为的等比数列， ． （2）由题意得， 所以，① ，② ②-①得， 即. 6．（24-25高三上·辽宁·期末）已知为等差数列，其前项和为，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则，解得， 因为，所以， 则， . （2）由（1）得， 则，① ，② 由①-②得 ， 所以. 考点三 倒序相加法 1．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知为正项等比数列，且，若函数，则（    ） A．2023 B．2024 C． D．1012 【答案】A 【详解】因为为正项等比数列，且， 所以， 由可得， 所以， 所以设， 则， 所以两式相加可得：，故， 故选：A. 2．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则 . 【答案】158 【详解】因为，， 所以， 所以，整理得，， 即是常数数列，又，所以，即. 因为， 所以， 所以， 又，所以，， 所以， 即， 所以， 所以. 故答案为：158. 3．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为， ， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得， 当时，， ， ， 于是，即，， 所以数列的通项公式为. 故答案为：；. 4．（24-25高三上·天津·期末）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由，得， 当时，由，得， 整理得， 又因为，， 又因为 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 故数列的通项公式为． （2）（i）， 所以， ， 两式相加可得 故数列的通项公式为； 所以 又 将以上两式相减得 所以． （ⅱ）由题， 数列满足， 即， 则， 所以， 两式相减得 所以， 当时，，所以． 5．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）因为，当时，，则； 当时，，则，即， 而为递增数列，故， 即为首项为2，公差为2的等差数列， 故； （2）（i）， 所以， ， 两式相加可得， 故数列的通项公式为； （ii）， 故. 考点四 分组（并项）求和 1．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，① 所以有.② ②-①得. 所以数列成以1为首项，以2为公比的等比数列. 所以. 又数列是等差数列，且. 所以. 所以. （2）因为 设数列的前项和为， 所以 . 故. 2．（24-25高三上·天津·期末）已知等差数列的前n项和为是公比大于0的等比数列且成等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)设求； (3)对于数列在和之间插入数列的前k项组成一个新的数列：…，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）等差数列的前n项和为设公差为d， 是公比q大于0的等比数列， 由且成等差数列， 可得即 解得则； （2） 当n为奇数时当n为偶数时 设奇数项的和为 相减可得 化为； 设 所以； （3）由 可得 设 相减可得 则 3．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）在数列中，点在直线上；在等比数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）易知 故求数列的通项公式分别为 . （2）由（1）知： 设数列的前项和为，数列的前项和为，则 则数列的前n项和 . 4．（24-25高三上·湖北·期末）已知数列的前n项和为，若， (1)求 (2)若，为数列的前n项和，求 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）， 当时，， 当时，， ， ， ， 又， 是以为首项，2为公比的等比数列， ， ， 又时也满足上式， ； （2）， ， ， 5．（24-25高三上·河南·期末）已知是各项均为正数的数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以，即， 由，解得. 由，所以是首项为1，公比为3的等比数列. 所以. （2）当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以 . 6．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）由为等比数列可得，即， 即，解得或（舍）， 所以， 又的前三项为，即，即， 公比，所以. （2）因为， 则 . （3）因为，即， 设数列的前项和为， 当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 综上所述，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$