解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点一 定点问题 1．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）已知椭圆经过点，其右焦点为. (1)求椭圆的离心率； (2)若点在椭圆上，右顶点为A，且满足直线与的斜率之积为，求证：直线PQ过定点. 2．（24-25高三上·天津和平·期末）设椭圆C的左、右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点. 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）材料：椭圆上点处的切线方程可化为，抛物线上点处的切线方程可化为． 问题：已知椭圆上点处的切线为，且抛物线与相切． (1)求切线的方程． (2)求抛物线的方程． (3)已知定点，不过点的直线与抛物线恒有两个不同交点，且与其准线交于点（点不在轴上）．若直线的斜率分别是，且成等差数列，证明：直线恒过定点． 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知双曲线，其左顶点，离心率. (1)求双曲线方程及渐近线方程； (2)过右焦点的直线与双曲线右支交于两点，与渐近线分别交于点，直线分别与直线交于. （i）求的取值范围； （ii）求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点. 5．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4. (1)求椭圆的方程； (2)P是椭圆上不同于，的一个动点. ①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值； ②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明. 6．（2025·湖南邵阳·一模）已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求. 考点二 定值问题 1．（24-25高三上·湖北·期末）已知双曲线的上下顶点分别是M、N，过其上焦点F的直线l与双曲线的上支交于P、Q两点在y轴左侧 (1)求直线l斜率的取值范围； (2)若，求直线l的方程； (3)探究直线MP和直线NQ的斜率之比是否为定值?若是定值，求出此定值，若不是定值，请说明理由. 2．（2025·海南·模拟预测）定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 3．（2025·安徽合肥·一模）已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 (1)求曲线T的方程； (2)若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧 （ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 4．（24-25高三上·辽宁·期末）定义：如果两个椭圆的长轴长不相等，但离心率相等，则称两椭圆相似.已知：与椭圆相似. (1)求与的关系； (2)若过原点的直线分别被和截得的弦长为和，证明：； (3)若，，，两点在上，为上的一个动点，且线段，的中点都在上，判断的面积是否为定值，并说明理由. 5．（2024·河南新乡·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，且． (1)求的渐近线方程． (2)点为的左支上一点，且．分别为的左、右顶点，过点的直线交的右支于两点，其中点在轴上方，直线与交于点． ①求直线的方程； ②证明：点到直线的距离为定值． 6．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，上顶点为，且的面积为. (1)求的方程； (2)设是上除顶点以外的动点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：（为坐标原点）为定值. 考点三 定直线问题 1．（24-25高三上·江苏扬州·期末）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线的离心率的倍． (1)求双曲线的方程； (2)过和的右焦点分别作两条平行直线，直线与交于两点，直线与的右支交于两点，且在轴上方． （ⅰ）若的面积为，求直线的方程； （ⅱ）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 2．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知圆和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； (3)过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，且椭圆过． (1)求椭圆的标准方程； (2)当过的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点，满足，证明：在某定直线上． 4．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 5．（2025·黑龙江·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求点的轨迹方程，并指出的形状. (2)若直线与点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的交点在定直线上. 6．（24-25高二上·山西运城·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点一 定点问题 1．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）已知椭圆经过点，其右焦点为. (1)求椭圆的离心率； (2)若点在椭圆上，右顶点为A，且满足直线与的斜率之积为，求证：直线PQ过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题可得，，解得， 所以椭圆的方程为.所以离心率. （2）由（1）知，易知直线与的斜率存在且同号，所以直线不垂直于轴， 故可设， 由可得，， 所以， ，而，即， 化简可得， 即， 即， 化简得，所以或， 所以直线或， 因为直线不经过点A，所以直线经过定点. 2．（24-25高三上·天津和平·期末）设椭圆C的左、右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点. 【答案】(1) (2)答案见解析,定点 【详解】（1）由题意可知，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，,设， 设直线的方程为且， 直线的方程为且， 则直线与轴的交点为， 直线的方程为， 则直线与直线的交点为， 将代入方程，得， 则点的横坐标为，点的纵坐标为， 将点的坐标代入直线的方程， 整理得， 因为， 所以，即， 由点坐标可得直线的方程为： ， 即，则直线过定点. 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）材料：椭圆上点处的切线方程可化为，抛物线上点处的切线方程可化为． 问题：已知椭圆上点处的切线为，且抛物线与相切． (1)求切线的方程． (2)求抛物线的方程． (3)已知定点，不过点的直线与抛物线恒有两个不同交点，且与其准线交于点（点不在轴上）．若直线的斜率分别是，且成等差数列，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由材料知椭圆上点处的切线为， 即， 所以切线的方程为． （2）设抛物线与直线相切于点， 由题知抛物线在点处的切线方程为， 即． 与对照得：． 又因为，所以，解得． 所以抛物线的方程为． （3）设直线的方程为， 由（2）得的准线方程为． 联立得，即点． 由点得． 由成等差数列，得， 即①， 由，在直线上得，代入①得 ② 联立， 则，即． 由韦达定理得③． 将③代入②得． 化简得， 即， 即， 即， 即。 又因为直线不过点和点，则且，故． 即直线的方程为，所以直线恒过定点． 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知双曲线，其左顶点，离心率. (1)求双曲线方程及渐近线方程； (2)过右焦点的直线与双曲线右支交于两点，与渐近线分别交于点，直线分别与直线交于. （i）求的取值范围； （ii）求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点. 【答案】(1)； (2)（i）;（ii）证明见解析;定点为. 【详解】（1）依题意，，则得， 则双曲线方程为，其渐近线方程为：，即； （2） （i）显然当过点的直线斜率不能为0，故可设其方程为为， 代入双曲线方程，消元整理得：， 则由,解得：. 设点，则， 于是，， 又由解得，即图中； 由解得，即图中. 则， 于是， 因，则， 即的取值范围为； （ii）因，则直线方程为：，令，则得，即； 同理直线方程为：,令，则得,即. 根据图象的对称性可知以为直径的圆必经过轴上的一定点，设为， 则,代入坐标，可得（*）， 因， ， 则， 代入（*），可得，解得或. 即以为直径的圆过定点和. 5．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4. (1)求椭圆的方程； (2)P是椭圆上不同于，的一个动点. ①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值； ②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明. 【答案】(1) (2)①证明见解析； ②过定点 【详解】（1）由题意可得，解得，所心椭圆的方程为； （2）①设，所以，则， 由（1）可得，， 则直线的方程为， 令，解得，则， 则直线的方程为， 令，解得，则， 所以， 所以为定值1； ②由①知直线的方程为， 令，得，则， 则直线的方程为， 令，解得，则， 又， 所以的中点， 又， 所以圆的半径为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 令，得 ， 所以， 故以线段为直径的圆经过定点. 6．（2025·湖南邵阳·一模）已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求. 【答案】(1) (2)直线EG过定点. (3). 【详解】（1）设双曲线的方程为， 将点代入得，即，双曲线的方程为 （2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程为，，，. 由消去整理得， 依题意得：，且，即且， ，. 易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为. 令，得 . 直线EG过定点. 当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为，过点， 综上，直线EG过定点. （3）考虑以为圆心的“子圆”， 由的方程与的方程消去，得关于的二次方程. 依题意，该方程的判别式，. 对于外切于点的两个“子圆”，，显然点在轴上， 设，，的半径分别为，， 不妨设，的圆心分别为，. 则，. 两式相减得：，而，. ，整理得：. ，点. ，故. 考点二 定值问题 1．（24-25高三上·湖北·期末）已知双曲线的上下顶点分别是M、N，过其上焦点F的直线l与双曲线的上支交于P、Q两点在y轴左侧 (1)求直线l斜率的取值范围； (2)若，求直线l的方程； (3)探究直线MP和直线NQ的斜率之比是否为定值?若是定值，求出此定值，若不是定值，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)是定值， 【详解】（1）双曲线的上焦点， 依题意，直线不垂直于轴，设直线l的方程为：，， 由消去，得，显然， ，， 由直线l与双曲线的上支交于P、Q两点，得令，解得. （2）由（1）及，得，解得， 又，则，即，解得， 所以直线的方程为. （3）点，直线斜率，直线斜率， 由，得 所以，为定值. 2．（2025·海南·模拟预测）定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）根据定义，可得的方程为，即， 将其代入的方程得，解得， 不妨取，所以. （2）根据所给结论可知分别是关于点的极线， 如图（1），取，则. 由解得所以和交于点， 要证明直线相交于一点，只需证明直线过点即可. 设. 根据所给结论，可知直线，直线. 因为直线和都经过点，所以， 所以直线的方程为，将代入，得，方程也成立， 所以直线过点，故直线相交于一点. （3）由题意，在点处的切线方程为，则与平行，且经过坐标原点. 如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知. 又因为，所以，所以，所以. 过作，与交于点，则，所以. 另一方面，因为，所以， 从而，所以. 因此，故为定值. 3．（2025·安徽合肥·一模）已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 (1)求曲线T的方程； (2)若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧 （ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）设圆，的交点为M，则，， 因为，所以， 故点M的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线， 从而，，即，， 故曲线T的方程为 （2）（ⅰ）要证， 只要证线段的中点与线段的中点重合. 设，，其中， 由条件，直线l的斜率存在，设l的方程为 因为直线l与圆相切， 所以，即 联立，消去y并整理得， 所以， 从而线段的中点横坐标为 又直线与直线和交点的横坐标分别为和， 则线段中点的横坐标为， 所以 （ⅰⅰ）由条件，，即， 所以， 由题意知，， 所以 ， 即为定值 4．（24-25高三上·辽宁·期末）定义：如果两个椭圆的长轴长不相等，但离心率相等，则称两椭圆相似.已知：与椭圆相似. (1)求与的关系； (2)若过原点的直线分别被和截得的弦长为和，证明：； (3)若，，，两点在上，为上的一个动点，且线段，的中点都在上，判断的面积是否为定值，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是，理由见解析 【详解】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 因为的方程可化为，且， 所以，， 因为， 所以，又， 则离心率， 当时，， 由题意得， 整理得. （2）设，与的一个交点为， 由，得， 所以， 根据椭圆的对称性，得， 同理， 由（1）可知， 所以， 即， 当为轴时，上式显然成立. （3）的面积为定值2，理由如下： 因为，，由（1）知，，， 所以的方程为，的方程为， 即，， 设，，线段的中点在椭圆上， 故有， 整理得， 将，代入上式，得， 同理可得， 所以点，满足方程， 故直线的方程为， 由，得， 因为，所以，则， 所以. 又点到直线的距离， 所以. 5．（2024·河南新乡·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，且． (1)求的渐近线方程． (2)点为的左支上一点，且．分别为的左、右顶点，过点的直线交的右支于两点，其中点在轴上方，直线与交于点． ①求直线的方程； ②证明：点到直线的距离为定值． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题意可知，解得，则， 所以双曲线， 所以的渐近线方程为； （2）①设，则， 由余弦定理得， 即，解得（负根舍去）， 所以， 所以，则， 所以直线的方程为； ②易知直线的斜率不为零，则可设直线的方程为， 设， 联立，得， 恒成立， 则， 由题意得且，所以， 则直线，直线， 联立可得 ， 解得，故动点在直线上， 所以点到直线的距离为， 所以点到直线的距离为定值. 6．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，上顶点为，且的面积为. (1)求的方程； (2)设是上除顶点以外的动点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：（为坐标原点）为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意得：，联立解得：， 所以的方程为； （2） 设椭圆上的点，则直线方程为：， 令得，交点的横坐标为：， 又由直线方程为：， 直线方程为：，联立这两方程组可解得：， 即交点的横坐标为： 再由 ， 再由点在椭圆上，可得，则， 代入上式得：， 所以为定值. 考点三 定直线问题 1．（24-25高三上·江苏扬州·期末）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线的离心率的倍． (1)求双曲线的方程； (2)过和的右焦点分别作两条平行直线，直线与交于两点，直线与的右支交于两点，且在轴上方． （ⅰ）若的面积为，求直线的方程； （ⅱ）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）：或．（ⅱ）T在定直线上． 【详解】（1）因为椭圆的离心率是双曲线离心率的倍， 所以，解之得． 所以椭圆伴随双曲线的方程为． （2）（ⅰ）由题可知，， 因为直线，所以设直线：，：． 设，，，． 由得（*）， 则 因为，所以P到直线的距离等于到直线的距离， 所以， 又，所以，即， 即，则， 所以或（舍），所以， 经检验此时直线与的右支有两个交点， 故：或． （ⅱ）方法一：设线法 由（ⅰ）中的方程（*），可得， 因为，所以． 由得（**）， 因为与右支交于P、Q两点，所以 由方程（**），可得， 因为，所以． 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、PQ均垂直于x轴时，，此时T在直线上，故猜测T所在的直线方程即为． 又，，若T在直线上，则，也即． 下面，证明． 路径①：因为， 又，所以， 又，所以， 所以， 则，所以，所以T在线段的中垂线上， 故T在定直线上． 路径②：因为， 而 ， 则，所以，所以T在线段的中垂线上，故T在定直线上． 思路2：因为： ， 由得， 所以，解之得．故T在定直线上． 方法二：设点法 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、PQ均垂直于x轴时，，此时T在直线上，故猜测T所在的直线方程即为． 当时，此时轴，轴，，矩形对角线的交点T在线段的中垂线上． 当时，只要证明，即只要证明． 由直线可得，即， 所以只要证，即只要证， 又点在椭圆上，点在双曲线上，所以则， 所以，即， 关于整理得， 即， 则，所以或． 下面证明不符合要求． 因为，所以，所以或 而当时，；当时，． 所以不符合要求，故． 综上所述，T在定直线上． 思路2：由（ⅰ）知，，， 由直线可得，设， 则，即则 因为点M在椭圆上，点P在双曲线上， 所以 两式相加得， 则， 又，所以，即， 令，则， 故T在定直线上． 2．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知圆和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； (3)过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 【答案】(1)和 (2)存在，定点，定值或定点，定值 (3)证明见解析， 【详解】（1）当切线斜率不存在时，显然与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得，则，整理得， 综上，切线的方程为和 （2）由题设，若，则，整理得， 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 即， 整理得， 要使为定值，则， 得，，或，，， 综上，存在定点，定值，或定点，定值 . （3）设，，，，， 由，则，即， 又，故，同理， 所以直线CD为，又M在CD上，所以， 故点E在直线上. 3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，且椭圆过． (1)求椭圆的标准方程； (2)当过的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点，满足，证明：在某定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设双曲线的右焦点为,则，∴， 因为是椭圆的焦点，且椭圆过点， 所以，解得 故椭圆的标准方程为． （2）证明：设，，， 由题得，，，均不为零． 由， 可设 不妨设，， 则 所以 ,   即 又在椭圆上， 所以，① ，② 由①化简，得，③ 由②化简，得，④ ③-④，化简得，即 因此点在定直线上． 4．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 5．（2025·黑龙江·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求点的轨迹方程，并指出的形状. (2)若直线与点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的交点在定直线上. 【答案】(1)，焦点在轴上，长轴长为6，焦距为，除去，的椭圆. (2)证明见解析 【详解】（1）设点的坐标为， 因为，所以直线的斜率为， 因为，所以斜率为， 由已知得，整理得， 故形状为焦点在轴上，长轴长为6，焦距为，除去，的椭圆. （2）联立，消去整理得：， 如图，设，，，， 而， 直线，直线， 联立两直线得到， 整理得， 故直线与直线的交点在定直线上. 6．（24-25高二上·山西运城·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则， 又点在椭圆上，所以.即， 两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，得， 则，得， 设，则， 设直线的斜率分别为. 所以， 因为， 所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴， 所以的内心在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$