精品解析：湖北省武汉市华宜寄宿学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试题

2024-2025学年八年级上学期期中数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 2. 如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用． 【详解】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点， ∴， ∴是等腰三角形，不合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴和不一定等腰三角形，符合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴是等腰三角形，不符合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴和是等腰三角形，不符合题意； 故选：． 3. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ， 两个三角形全等，与是对应角， ， 故选：C． 4. 两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 5. 如图，在中，D为上一点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，然后利用三角形内角和定理与三角形的外角性质求出，再根据已知条件列式计算即可． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和为与三角形的外角性质是解答此题的关键． 6. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 8. 如图，将一张三角形纸片折叠，使点A落在边上，折痕得到；再继续将纸片沿的对称轴折叠，依照上述做法，再将折叠，最终得到长方形，折叠后的和的面积分别为1和2，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．根据翻折变换的性质得到，，， 设的边上的高为，能够求得，根据题意问题可求解． 【详解】解：由题意得：，， ， 又， ， ， ， 又， 四边形是矩形， 设的边上的高为， ， 由翻折知：， 又， ， 故选：C． 9. 如图，是等边三角形，直线过顶点，作点关于直线的对称点，连接，，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由轴对称的性质可得，由等腰三角形的性质可求，可求，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵点关于直线的对称点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 10. 如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（ ） A. 25 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，根据折叠的性质和等边三角形的判定与性质解答即可，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最大值为19， 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，小明不小心将书上的一个三角形用墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识画出了一个和书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得三角形的两角和它们的夹边是完整的，由此可利用定理作出完全一样的三角形，从而得解． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，故可以利用定理作出完全一样的三角形， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点P关于x轴对称的点的坐标是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答 【详解】解：点关于x轴对称时，横坐标不变，为；纵坐标互为相反数，即的相反数为，因此对称点的坐标是 13. 如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】过点P作于点E，根据平行线的性质可得，又根据角平分线的性质可得，结合求解即可． 本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：过点P作于点E， 则， 平分，，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 14. 在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，分分两种情况：当为锐角三角形时和当为钝角三角形时，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①当为锐角三角形时，如图， ∵是垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当为钝角三角形时，如图， ∵是垂直平分线， ∴.， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，底角为或， 故答案为：或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作，且．连接，当取得最小值时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，坐标与图形，过点作轴于点，可证，得到，即得点在直线上运动，可知当垂直于这条直线时，最短，据此即可求出点的坐标，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在直线上运动，如图， 当垂直于这条直线时，最短，此时， 故答案为：． 16. 如图，在中，，D，E分别为上的点，，，，，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于点F，延长交于点G，证明，求得．设，则，，据此列式计算即可求解． 【详解】解：过点B作交的延长线于点F，延长交于点G． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 设，则，， ∴，解得， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（共8小题） 17. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数是10 【解析】 【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是，则内角和是．n边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则 ， 解得：． 答：这个多边形的边数是10． 18. 如图，与相交于点，，，． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴ （2） ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，可得结论； （2）由全等三角形性质可得，在根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知，如图，在中，是的平分线，且，过点C作的平行线，交的延长线于点E．于点F． （1）若，，直接写出，的度数； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）， （2）， 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理： （1）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线和垂直的定义进行角度和差即可求解，根据可得； （2）先证明，根据三线合一得到，，再导角证明，最后利用线段和差证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 20. 如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线，垂足为点，在右侧作等边三角形，连接． （1）①求证：； ②求的度数； （2）延长交于点，求证：为的中点． 【答案】（1） ①证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ② （2） 证明：如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中点． 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形的性质的性质可得，，，即可证，可得；②由，得，结合，求解即可； （2）过点作交的延长线于点，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，，可证，可得结论； 【小问1详解】 ①略 ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质垂线定义，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 21. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，都是格点，点在网格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下四个任务，每个任务画线不超过三条． （1）在图（1）中，过点画的垂线，垂足为； （2）在图（1）中，在线段上画点，使得的值最小； （3）在图（2）中，画点关于的对称点； （4）在图（2）中，在的延长线上画点（点不与点重合），使得． 【答案】（1）如图，直线即为所作； （2） 则点即为所作； （3）则点即为所作； （4） 点即为所作． 【解析】 【分析】（1）取格点，作直线即可； （2）取格点（，关于直线对称），连接交于点，连接，点即为所作； （3）取格点，连接交于点，连接，延长交网格线于点，点即为所作； （4）取格点，，连接交网格线于点，连接并延长交网格线于点，连接，（证明，推出是等腰直角三角形可得结论），点即为所作． 【小问1详解】 如图1中，取格点，作直线， ∵如图是由小正方形组成的的网格，设小正方形的边长为个单位， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形，且，即， 则直线即为所作； 【小问2详解】 如图1中，取格点，连接交于点，连接， ∵点，是所在正方形的相对的两个顶点， ∴点，关于对角线所在的直线对称， ∴， ∴， 此时的最小值为线段的长（此时点、、共线）， 则点即为所作； 【小问3详解】 如图2中，取格点，连接交于点，连接，延长交网格线于点，连接交于点，取格点， ∵如图是由小正方形组成的的网格，设小正方形的边长为个单位， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，即， ∴，是上的中线， ∴垂直平分，即垂直平分， ∴点与点关于对称， 则点即为所作； 【小问4详解】 如图2中，取格点，，连接交网格线于点，连接并延长交网格线于点，连接，， ∵如图是由小正方形组成的的网格，设小正方形的边长为个单位， ∴，， 由（3）知：， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形三线合一性质，轴对称的性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 22. 如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接，． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）过作的垂线，垂足为，与相交于点，求证：． 【答案】（1） ，证明如下： 由旋转可得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． （2） 证明：方法一：延长、交于点，作交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴； 方法二：延长、交于点，过点作的平行线交直线于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； 方法三：延长、交于点，过点作的延长线于点，作于点， 同理，证明是等腰三角形， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴； ∴， ∴； ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，可得，，根据全等三角形的判定和性质，得，，根据，等量代换，即可； （2）根据等腰三角形的判定和性质，可得是等腰三角形，方法一：延长、交于点，作交于点，根据等腰三角形的性质，可得，，；根据，可得，得到，根据全等三角形的判定和性质，得到，即可；方法二：延长、交于点，过点作的平行线交直线于点，根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，，，根据全等三角形的判定和性质，得到，即可；方法三：延长、交于点，过点作的延长线于点，作于点，同理，证明是等腰三角形，得到，推出；根据全等三角形的判定和性质，得到，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形，等腰三角形，平行线，旋转等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三线合一，平行线的性质，构造全等三角形，进行解答，即可． 23. 如图，在等边中，点D为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）过点D作交于点G，连接交于点H，求证：． （3）若，，则的长为______（用含a，b的式子表示）． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证出．设，则，由三角形外角的性质可得答案； （2）连接．证明是等边三角形，得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）过点A作于点M，证出，得出，求出，则可得出答案． 【小问1详解】 解：由折叠得，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点A作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，，．点C为的中点，D为上一点． （1）如图（1），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段． ①求证：． ②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接，．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由． （2）如图（2），过点C作的垂线，交y轴于点F．连接，．若，请写出，，的数量关系，并证明． 【答案】（1）①证明 ∵， ∴为等腰直角三角形，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ②存在， （2） ， 证明：连接，取点D关于y轴的对称点M，连接． 由C为的中点， ∴，， ∴和都为等腰直角三角形． 又， ∴，， ∴， ∴．，， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∵． ∴． 由点D与点M关于y轴对称， ∴，，， ∴； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）①证出．，则可得出结论； ②作点D关于点O的对称点K，连接，证明，得出．则可得出结论； （2）连接，取点D关于y轴的对称点M，连接．证明，得出．，，从而得到为等腰直角三角形．再证明，则可得出结论． 【小问1详解】 解：①略 ②存在． 证明：如图，作点D关于点O的对称点K，连接， ∴，， ∴， ∴． ∵点D关于点P的对称点为Q， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，． ∵ ∴ ∵点P在x负半轴上， ∴， ∴存在这样的点，使得对于任意的点D，总有成立． 【小问2详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级上学期期中数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 5. 如图，在中，D为上一点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，将一张三角形纸片折叠，使点A落在边上，折痕得到；再继续将纸片沿的对称轴折叠，依照上述做法，再将折叠，最终得到长方形，折叠后的和的面积分别为1和2，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 9. 如图，是等边三角形，直线过顶点，作点关于直线的对称点，连接，，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（ ） A. 25 B. 19 C. 20 D. 21 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，小明不小心将书上的一个三角形用墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识画出了一个和书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据为_________． 12. 在平面直角坐标系中，点P关于x轴对称的点的坐标是 __________． 13. 如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为 _____． 14. 在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作，且．连接，当取得最小值时，点的坐标为______． 16. 如图，在中，，D，E分别为上的点，，，，，则的面积为______． 三、解答题（共8小题） 17. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． 18. 如图，与相交于点，，，． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 19. 已知，如图，在中，是的平分线，且，过点C作的平行线，交的延长线于点E．于点F． （1）若，，直接写出，的度数； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 20. 如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线，垂足为点，在右侧作等边三角形，连接． （1）①求证：； ②求的度数； （2）延长交于点，求证：为的中点． 21. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，都是格点，点在网格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下四个任务，每个任务画线不超过三条． （1）在图（1）中，过点画的垂线，垂足为； （2）在图（1）中，在线段上画点，使得的值最小； （3）在图（2）中，画点关于的对称点； （4）在图（2）中，在的延长线上画点（点不与点重合），使得． 22. 如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接，． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）过作的垂线，垂足为，与相交于点，求证：． 23. 如图，在等边中，点D为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）过点D作交于点G，连接交于点H，求证：． （3）若，，则的长为______（用含a，b的式子表示）． 24. 在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，，．点C为的中点，D为上一点． （1）如图（1），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段． ①求证：． ②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接，．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由． （2）如图（2），过点C作的垂线，交y轴于点F．连接，．若，请写出，，的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $