6.3.1～6.3.4 平面向量基本定理及加减、数乘的坐标运算（八个重难点突破）-2024-2025学年高一下学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

6.3.1~6.3.4平面向量基本定理及加减、数乘的坐标表示 一、基底的概念及辨析 五、平面向量线性运算的坐标表示 二、用基底表示向量 六、利用坐标运算解决几何问题 三、平面向量基本定理的应用 七、由向量共线（平行）求参数 四、用坐标表示平面向量 八、由坐标解决三点共线问题 知识点1平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 重难点一、基底的概念及辨析 【例1】下面三种说法：①一个平面内只有一对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；③零向量不可为基中的向量.其中正确的说法是 .（填序号） 【例2】（多选）已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（1）平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示．( ) （2）平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( ) 【变式1-2】设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-3】下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 重难点二、用基底表示向量 【例3】在中，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【例4】在中，已知点满足，若，则 . 【变式2-1】中，为的中点，与对角线相交于点，记，，用，表示（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）设是内部的一点，以下可能成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】在平行四边形中，，点在上，且满足，点是的中点，则（   ） A． B． C．1 D． 重难点三、平面向量基本定理的应用 【例5】如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（    ）    A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3 【例6】在中，已知在线段上，且，设． (1)用向量表示； (2)若，求． 【变式3-1】已知中，，且，若，且，则实数λ的值为 . 【变式3-2】在平行四边形ABCD中，，，，则（    ） A． B．3 C．4 D．6 【变式3-3】如图，已知，，任意点M关于点A的对称点为S，S关于B的对称点为N.    (1)用，表示向量； (2)已知，连接，交于G点，若，求的余弦值. 知识点2平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 重难点四、用坐标表示平面向量 【例7】在四边形中，，分别为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例8】在平面直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，则 ， . 【变式4-1】已知点，向量绕原点O逆时针旋转后等于，则点B的坐标为 ． 【变式4-2】已知A，B(1，4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝ . 【变式4-3】已知边长为1的正方形中（如图所示），与轴正半轴成角，求与的坐标． 知识点3平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 重难点五、平面向量线性运算的坐标表示 【例9】已知点，则满足的的坐标为 . 【例10】已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知点，向量，点是线段的三等分点，求点的坐标 ． 【变式5-2】已知点A（1,1,-4），B（2,-4,2），C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为 ． 【变式5-3】已知点，若第四象限的点P满足，则实数λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点六、利用坐标运算解决几何问题 【例11】已知向量． (1)若三点共线，求的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 【例12】在平面四边形中，，若，则（    ） A． B． C． D．2 【变式6-1】设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】平面直角坐标系中，点为原点，，若，且，则满足条件的点表示的阴影区域为（     ）. A． B． C． D． 【变式6-3】如图，将两块全等的等腰直角三角形拼在一起，若，则 . 知识点4平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 重难点七、由向量共线（平行）求参数 【例13】（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例14】已知向量 ， 且 则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】设向量，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式7-2】向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（    ） A． B． C．1 D． 重难点八、由坐标解决三点共线问题 【例15】若，，三点共线，则（ ） A． B． C．-2 D．2 【例16】已知向量与不共线，且，，． (1)若，求m，n的值； (2)若A，B，C三点共线，求的最大值． 【变式8-1】向量，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或-11 D．或 【变式8-2】在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量-，若A，B，C三点共线，则在方向上的投影是 . 【变式8-3】如图所示,已知点,求与的交点P的坐标. 一、单选题 1．如图所示，为正交基底，则向量（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中点.若，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，是共线向量，则（    ） A． B． C． D． 4．平面上有，，三点，点C在直线上，且，连接并延长至E，使，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 二、多选题 7．已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 8．已知点为所在平面内一点，则（    ） A．若，则 B．若，且，则为等边三角形 C．若，，则 D．若，且，则的面积是面积的 三、填空题 9．如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则 ； ．    10．已知向量，若与是共线向量，则实数 . 11．已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ． 四、解答题 12．在空间直角坐标系中，已知，，，. (1)若，求m的值； (2)若，求的值. 13．如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且，，，. (1)以、为一个基表示与； (2)以、为一个基表示与. 14．梯形中，，，，分别为，的中点，记，． (1)用，表示向量； (2)若，，求，的夹角． 15．如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$6.3.1~6.3.4平面向量基本定理及加减、数乘的坐标表示 一、基底的概念及辨析 五、平面向量线性运算的坐标表示 二、用基底表示向量 六、利用坐标运算解决几何问题 三、平面向量基本定理的应用 七、由向量共线(平行)求参数 四、用坐标表示平面向量 八、由坐标解决三点共线问题 知识点1平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 (1)基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. (2)基底给定时,分解形式唯一.是被唯一确定的数值. 重难点一、基底的概念及辨析 【例1】下面三种说法:①一个平面内只有一对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基;②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基;③零向量不可为基中的向量.其中正确的说法是 .(填序号) 【答案】②③ 【详解】一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基,①错误;②正确; 可以作为基底的向量需要是不共线的向量,零向量不可为基中的向量.③正确; 故答案为:②③. 【例2】(多选)已知向量,不共线,则下列能作为平面向量的一个基底的有( ) A. B. C. D. 【答案】ACD 【详解】对于A,令,即, 所以无解, 故向量与不共线,能作为平面向量的一个基底,A正确; 对于B,因为,即向量与共线,故不能作为平面向量的一个基底;B错误; 对于C,令,即, 所以无解, 故向量与不共线,能作为平面向量的一个基底,C正确; 对于D,令,即, 所以无解, 故向量与不共线,能作为平面向量的一个基底,D正确 故选:ACD. 【变式1-1】(1)平面向量的基底确定后,平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示.( ) (2)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.( ) 【答案】 正确 错误 【详解】(1)平面向量的基底确定后,根据平面向量的基本定理可知,平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示.所以说法正确. (2)平面内的任意两个不共线的向量都可以作为一组基底.两个共线的向量不能作为一组基底,所以说法错误. 故答案为:正确;错误 【变式1-2】设是平面内的一个基底,则下面的四组向量不能构成基底的是( ) A.和 B.和 C.和 D.和 【答案】B 【详解】由于是平面内的一个基底,故不共线, 和不共线,故A能构成基底, 和共线,故B不能构成基底, 和不共线,故C能构成基底, 根据向量的加减法法则可知和不共线,故D能构成基底, 故选:B 【变式1-3】下列关于基底的说法正确的序号是( ) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底; ②基底中的向量可以是零向量; ③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】B 【详解】对于①,平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底(只要不共线就行),正确; 对于②,零向量和任何一个向量都平行,不能作为基底,错误; 对于③,由平面向量基本定理知,基底确定,分解形式也唯一确定,正确, 所以①③正确. 故选:B 重难点二、用基底表示向量 【例3】在中,点在线段上,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为,所以, . 故选:D. 【例4】在中,已知点满足,若,则 . 【答案】/ 【详解】由题可得, 因为, 所以且,解得. 故答案为:. 【变式2-1】中,为的中点,与对角线相交于点,记,,用,表示( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】在中,为的中点,与对角线相交于点, 所以,所以, 所以, 所以. 故选:C 【变式2-2】(多选)设是内部的一点,以下可能成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】AC 【详解】若 ,且,则在直线上, 对于选项A,因为且,所以点在内部,因而选项A符合题意; 对于选项B,因为,且,所以点在外部,选项B不符合题意; 对于选项C,因为,且, 所以点在内部,故选项C符合题意; 对于选项D,,此时点落在外部,故选项D不符合题意, 故选:AC. 【变式2-3】在平行四边形中,,点在上,且满足,点是的中点,则( ) A. B. C.1 D. 【答案】C 【详解】 如图,设,则,, 由题意,于是, 故选:C. 重难点三、平面向量基本定理的应用 【例5】如图,在中,中线AD、BE、CF相交于点G,点G称为的重心,那么是( ) A.3∶2 B.2∶1 C.3∶1 D.4∶3 【答案】B 【详解】因为为的中线,所以, 设,则, 故,所以, 因为,所以, 因为三点共线,可设,则, 故, 故,相加得, 解得,故. 故选:B 【例6】在中,已知在线段上,且,设. (1)用向量表示; (2)若,求. 【答案】(1) (2) 【详解】(1)因为,所以, 由题得; (2)由已知得, . 【变式3-1】已知中,,且,若,且,则实数 的值为 . 【答案】/ 【详解】因为,且, 所以有, 即, 因为,,所以, 解得. 故答案为: 【变式3-2】在平行四边形ABCD中,,,,则( ) A. B.3 C.4 D.6 【答案】D 【详解】因为,所以为中点, 由题意得,, 所以, 设,则,代入上式中得,, 解得. 故选:D 【变式3-3】如图,已知,,任意点M关于点A的对称点为S,S关于B的对称点为N. (1)用,表示向量; (2)已知,连接,交于G点,若,求的余弦值. 【答案】(1). (2). 【详解】(1) 由题意得A是的中点,B是的中点, ,. (2) 取作为基底,由题意, ,,,. ,,即. B为的中点,. ,, , . 知识点2平面向量的坐标表示 (1)平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. (2)基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. (3)坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得,则有序数对叫做向量的坐标. (4)坐标表示. (5)特殊向量的坐标: 重难点四、用坐标表示平面向量 【例7】在四边形中,,分别为边的中点,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为,分别为边的中点, 所以,所以.故B,C,D错误. 故选:A. 【例8】在平面直角坐标系中,向量,的方向如图所示,且,,则 , . 【答案】 ; 【详解】设点,, ∵,且, ∴,. ∵,, ∴,. 故,. 故答案为:; 【变式4-1】已知点,向量绕原点O逆时针旋转后等于,则点B的坐标为 . 【答案】 【详解】设, 则 即点B的坐标为. 故答案为:. 【变式4-2】已知A,B(1,4),且=(sin ,cos ), , ∈,则 + = . 【答案】或 【详解】解析 由题意知==(sin ,cos ), ∴sin =-,cos =, 又∵ , ∈, ∴ =, =或-, ∴ + =或-. 故答案为:或 【变式4-3】已知边长为1的正方形中(如图所示),与轴正半轴成角,求与的坐标. 【答案】,. 【详解】 由题知平移正方形,使得点与原点重合, 平移后的正方形为,此时、分别是、角的终边与单位圆的交点. 设、. 由三角函数的定义, 得,, 所以.所以, 同理:,, 所以.所以. 知识点3平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 重难点五、平面向量线性运算的坐标表示 【例9】已知点,则满足的的坐标为 . 【答案】 【详解】设的坐标为,且,, 因为,可得, 可得, 所以的坐标为. 故答案为: 【例10】已知点,向量,则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由于, 则, 又, 则,即点的坐标为, 故选:D. 【变式5-1】已知点,向量,点是线段的三等分点,求点的坐标 . 【答案】或 【详解】设点的坐标为, 当时,,即, 所以, 所以,得, 当时,,即, 所以, 所以,得, 所以点的坐标为或. 故答案为:或. 【变式5-2】已知点A(1,1,-4),B(2,-4,2),C为线段AB上的一点,且=,则C点坐标为 . 【答案】 【详解】设C, A(1,1,-4),B(2,-4,2), , , ,解得, C点坐标为. 故答案为:. 【变式5-3】已知点,若第四象限的点P满足,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】方法一:设,则,, 又, 所以 所以即, 因为点P在第四象限,所以 解得 故所求实数 的取值范围是 方法二:, 所以 因为点P在第四象限,所以 解得 故选:C 重难点六、利用坐标运算解决几何问题 【例11】已知向量. (1)若三点共线,求的值; (2)若四边形为矩形,求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】(1)因为, 所以,. 又三点共线,所以,所以, 解得. (2)由 , 若四边形为矩形,则.即, 解得. 由,得 解得.所以. 【例12】在平面四边形中,,若,则( ) A. B. C. D.2 【答案】B 【详解】设, 如图,以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系, 则,, 因为,所以, 所以, 解得,所以. 故选:B 【变式6-1】设O为所在平面内一点,满足,则的面积与的面积的比值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】以点为坐标原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系, 设点、、, 则,,, 由可得,解得,, 所以,,,因此,. 故选:D. 【变式6-2】平面直角坐标系中,点为原点,,若,且,则满足条件的点表示的阴影区域为( ). A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为,且, ,则, 所以点表示以为一组邻边的正方形过原点的对角线的下方, 又,则取不到边,故B,C,D不正确. 故选:A. 【变式6-3】如图,将两块全等的等腰直角三角形拼在一起,若,则 . 【答案】3 【详解】解:设等腰直角三角形的直角边长为是1,则斜边为, 以、分别为轴、轴建立如图所示直角坐标系, 可得,,, ,,,, ,, ,,,, , ,,, ,解之得,, 所以. 故答案为:3. 知识点4平面向量共线的坐标表示 (1)条件: ,其中; (2)结论:当且仅当时,向量共线. 重难点七、由向量共线(平行)求参数 【例13】(多选)下列各组向量中,可以作为基底的是( ) A., B., C., D., 【答案】BC 【详解】因为,所以与共线,故A错误;因为,所以与不共线,故B正确;因为,所以与不共线,故C正确;因为,所以与共线,故D错误. 故选:BC. 【例14】已知向量 , 且 则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为且,则,得. 故选:D. 【变式7-1】设向量,,则“”是“”的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【答案】B 【详解】由,则,解得或. 所以是的必要不充分条件. 故选:B. 【变式7-2】向量,,若,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为,,, 所以,所以. 故选:A. 【变式7-3】已知向量,,,若点,,能构成三角形,则实数不可以是( ) A. B. C.1 D. 【答案】C 【详解】因为, . 假设三点共线,则,即. 所以只要,则三点即可构成三角形. 故选:C 重难点八、由坐标解决三点共线问题 【例15】若,,三点共线,则( ) A. B. C.-2 D.2 【答案】A 【详解】由题意可知,,, 因为三点共线,所以, 即,得. 故选:A 【例16】已知向量与不共线,且,,. (1)若,求m,n的值; (2)若A,B,C三点共线,求的最大值. 【答案】(1), (2) 【详解】(1)因为,,所以, 又因为,所以,. (2),, 由A,B,C三点共线,存在不为零的数,使得, 即, 则,, 所以,, 所以, 所以当时,取得最大值. 【变式8-1】向量,,,若,,三点共线,则的值为( ) A.或 B.或 C.或-11 D.或 【答案】A 【详解】由,,, 得,, 又,,三点共线, 则, 即,解得或, 故选:A. 【变式8-2】在平面直角坐标系中,平面向量,将绕原点逆时针旋转得到向量-,若A,B,C三点共线,则在方向上的投影是 . 【答案】2 【详解】由题意可得, OA绕原点逆时针旋转,得到, 所以 , 由A,B,C三点共线,可得, , 故在方向上的投影为 , 故答案为:2 【变式8-3】如图所示,已知点,求与的交点P的坐标. 【答案】 【解析】设出点P的坐标,根据P,B,O三点共线, A,C,P三点共线,即可求解. 【详解】解法一:由题意知P,B,O三点共线,又, 故可设, ∴,. 又∵A,C,P三点共线,∴, ∴,解得, ∴,即点P的坐标为. 解法二:设点,则.易知. ∵P,B,O三点共线,∴,∴. ∵P,A,C三点共线,∴, 又,, ∴. 由得 所以点P的坐标为. 【点睛】此题考查根据三点共线求点的坐标,其本质是利用平面向量共线的坐标运算建立等量关系求解. 一、单选题 1.如图所示,为正交基底,则向量( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】根据直角坐标系可知;,所以有 . 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示,考查了平面向量线性运算的坐标表示公式,考查了数学运算能力. 2.如图,在中,是的中点.若,,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为是的中点,,, 所以 . 故选:C. 3.已知向量,,若,是共线向量,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由题意得,故, 故. 故选:B 4.平面上有,,三点,点C在直线上,且,连接并延长至E,使,则点E的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】设,, ,, 设,,,, ,①, ,, ②,由①②可得:, 点E的坐标为, 故选:A. 5.如图,半径为1的扇形的圆心角为,点C在弧上,且,若,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 如图所示,以O为原点,OB为x轴,建立直角坐标系, ,,即, ,,即, 又,, ,解得,, 故选:B 【点睛】方法点睛:本题主要考查向量的坐标运算、相等向量以及平面向量基本定理,向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是平行四边形法则与三角形法则;二是坐标运算:建立坐标系转化为解析几何或者三角函数问题解答. 6.如图,在中,点O是BC的中点,,分别连接MO、NO并延长,与边AB的延长线分别交于P,Q两点,若,则( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 【答案】B 【详解】因为三点共线,所以, 又因为是中点,所以,因为,所以, 所以,则 所以, 因为三点共线,所以, 又因为是中点,所以,因为,所以, 所以,则 所以, 所以, 所以. 故选:B. 二、多选题 7.已知为坐标原点,向量是线段的三等分点,则的坐标可能为( ) A. B. C. D. 【答案】AC 【详解】因为,,可得, 又因为点是线段的三等分点,则或, 所以或, 即点的坐标为或. 故选:AC. 8.已知点为所在平面内一点,则( ) A.若,则 B.若,且,则为等边三角形 C.若,,则 D.若,且,则的面积是面积的 【答案】BCD 【详解】对于选项A,因为,所以, 所以,故选项A错误, 对于选项B,因为, 所以,又,在区间上单调递减,则, 又,则,所以为等边三角形,故选项B正确, 对于选项C,若,,则,, 故点M为的垂心,所以,则,故选项C正确, 对选项D,由于 ,而 ,所以 ,其中 , 不妨设 ,则Q点在直线BC上, 由于 与 同底,而高线之比等于 MQ 与 AQ 的比,即比值为, 所以 的面积是 面积的 ,故选项D正确, 故选:BCD. 三、填空题 9.如图所示,O,A,B,C四点在正方形网格的格点处.若,则 ; . 【答案】 【详解】连接,显然在上,且, 故, 又,故. 故答案为: 10.已知向量,若与是共线向量,则实数 . 【答案】/0.5 【详解】由题设,,且两向量共线, 所以,则. 故答案为: 11.已知是O坐标原点,,若点C满足,则a的值为 . 【答案】 【详解】因为,则, 则, 可得, 则, 可得,解得. 故答案为:. 四、解答题 12.在空间直角坐标系中,已知,,,. (1)若,求m的值; (2)若,求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】(1),, 因为,所以, 即,解得. (2),, 因为,所以, 解得,则. 13.如图,平行四边形的两条对角线相交于点M,且,,,. (1)以、为一个基表示与; (2)以、为一个基表示与. 【答案】(1), (2), 【详解】(1)∵,, ∴, 即,① , 即.② (2)由(1),①②,得,∴. ②①得. 14.梯形中,,,,分别为,的中点,记,. (1)用,表示向量; (2)若,,求,的夹角. 【答案】(1), (2) 【详解】(1), 故, 又,故, 故, (2)由可得, 故, ,故,故 故, 由于,故 15.如图,在直角梯形OABC中,,,,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点. (1)用和表示; (2)以O为原点,和方向为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,当P为BC中点时,写出点M,P,D的坐标; (3)设,求的取值范围. 【答案】(1) (2),,. (3)答案见解析 【详解】(1)依题意,, , ; (2) 以O为坐标原点,以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则,,, 由,可得,又P是BC中点,可得, 又,因为A、C、D三点共线,所以,解得,所以, ∴,则. (3)由已知, 因P是线段BC上动点,则令, , 又不共线,则有, , ,在上递增, 所以, 故的取值范围是. 2 学科网(北京)股份有限公司 $$