精品解析：北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期末数学试题

延庆区2024—2025学年高一（上）期末试卷 数学 2025.1 （本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知全集且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故，， 故， 故选：D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】移项通分后转化一元二次不等式即可求解. 【详解】原不等式即为即，故， 故， 故选：D. 3. 某科研院所共有科员人员800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的240人，无职称的80人，欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定采取分层抽样的方法抽取样本，其中含无职称的8人，则共抽取（ ） A. 20人 B. 40人 C. 60人 D. 80人 【答案】D 【解析】 【分析】由抽样比即可计算； 【详解】无职称的占比为：， 所以共抽取人， 故选：D 4. 以下茎叶图中甲组数据的75%分位数和乙组数据的方差分别是（ ） A. 168.5，65.7 B. 168.5，41.7 C. 170，41.7 D. 170，65.7 【答案】C 【解析】 【分析】将甲组数据从小到大排列，然后根据百分位数的求法求解即可；写出乙组数据，求其平均数，再根据方差的计算公式计算即可. 【详解】甲组数据从小到大排列为：， 因为，所以甲组数据的75%分位数是第五个数据，为； 乙组数据为：，其平均数为：， 其方差为： 故选：C. 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义及单调性，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，的定义域为R，是偶函数，且在上单调递减，A是； 对于B，当时，在上单调递增，B不是； 对于C，函数的定义域为R，图象关于不对称，不是偶函数，C不是； 对于D，当时，在上单调递增，D不是. 故选：A 6. 已知幂函数，则“”是“在其定义域上是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例可以说明推不出在其定义域上是增函数；根据幂函数的性质可以知道在其定义域上是增函数则. 【详解】当时，，定义域为，但在定义域上不是增函数； 若幂函数在其定义域上是增函数，由其性质可以推出， 故“”是“在其定义域上是增函数”的必要不充分条件， 故选：B. 7. 已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】分类计算两组数的均值与方差后可得正确的选项. 【详解】， 故， ， ，故， 故选：B. 8. 人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为），另一种是隐性基因（记为）；基因总是成对出现（如），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮；有一对夫妻，父亲的基因为，母亲的基因是，不考虑基因突变，则他们的孩子是单眼皮的概率为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式即可求解； 【详解】用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因，其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因. 则所有的基本事件有：，共4个基本事件， 孩子要是单眼皮，成对的基因只能是， 因此所求概率为. 故选：C 9. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，再借助图象关系求出不等式的解集. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 观察图象知，当且仅当时，函数的图象不在直线的下方， 所以不等式的解集是. 故选：A 10. 方程的实数解个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性结合零点存在定理可判断解的个数. 【详解】原方程等价于即， 设， 因为均为上的减函数，所以为上的减函数， 而，， 所以为上仅有一个零点即原方程只有一个实数解. 故选：B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知，，则的最大值为______，最小值为______. 【答案】 ①. 6 ②. 2 【解析】 【分析】设的夹角为，对平方再开方，根据可得答案. 【详解】设的夹角为，则， 因为，，所以 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以的最大值为6，最小值为2. 故答案为：①6；②2. 12. 已知在平行四边形ABCD中，E是BD边上中点，，，用，分别表示向量______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可得两个向量的表示结果. 【详解】 ， 而为的中点，故，即， 所以， 故答案为：；. 13. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将对数式变成指数式，再根据指数、对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故. 故答案为：. 14. 已知，则的最大值为______，当且仅当______时，等号成立. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用基本不等式可得何时取何最大值. 【详解】， 当且仅当即时等号成立， 故的最大值为，此时， 故答案为：，. 15. 人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论： ①等级为0dB的声音的强度为； ②函数在定义域上是增函数； ③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10； ④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，由求出即可；对于②，利用复合函数的单调性判断即可；对于③，令，，分别求出，，计算即可；对于④，令，，分别求出，，计算即可. 【详解】对于①，由即，可得， 因此等级为0dB的声音强度为，故①正确； 对于②，令，则，易知和在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在定义域上是增函数，故②正确； 对于③，设，则，解得． 设，同理可得． 因此所求两种等级声音的强度之比为，故③正确； 对于④，设，则，解得． 设，同理可得． 因此所求两种等级声音的强度之比为，故④错误. 故答案为：①②③. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 16. （1）求方程的解集； （2）求不等式的解集； （3）求方程组的解集； （4）已知一元二次方程的两根为与，利用一元二次方程根与系数关系求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】 【分析】（1）利用因式分解可求方程的解集； （2）因式分解后结合一元二次不等式的解法可求不等式的解； （3）利用消元法可求方程组的解集； （4）利用韦达定理结合配凑法可求代数式的值. 【详解】（1）即为， 所以即，故方程的解集为； （2）即为， 故不等式的解集为， （3）由可得，整理得到， 所以或，故方程组的解为或， 故方程组的解集为. （4）由韦达定理可得， 故. 17. 计算下列各式的值或简化下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）4； （2）； （3）； （4）. 【解析】 【分析】（1）（2）利用对数运算性质及换底公式化简计算. （3）（4）利用指数幂的运算法则计算即得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 【小问4详解】 . 18. 已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下： A组 11 12 13 14 15 16 17 B组 13 14 16 17 18 15 a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙. （1）求甲的康复时间不少于14天的概率； （2）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （3）写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意可知，7人中有3人的康复时间不少于14天，据此计算即可； （2）根据表格，写出甲的康复时间比乙的康复时间长的所有可能，进而计算概率； （3）分别求出，组病人康复时间的方差，利用其相等即可求出的值. 【小问1详解】 设事件为＂甲是组的第i个人＂，事件为＂乙是B组的第i个人＂，. 由题意，得 由题意可知，事件＂甲的康复时间不少于14天＂等价于＂甲是A组的第4人，第5人，或者第6人，或者第7人＂， 所以甲的康复时间不少于14天的概率是． 【小问2详解】 设事件C为＂甲的康复时间比乙的康复时间长＂，由题意，得 因此． 【小问3详解】 A组病人康复时间平均数为：， 其方差为：. B两组病人康复时间平均数为： 其方差为： 依题意：，解得或 19. （1）比较下列各题中两个值的大小，并说明理由： ①与； ②与； ③与0； ④已知实数a，b满足，与的大小. （2）设，其中且，比较与的大小，并证明. 【答案】（1）①；②；③；④；（2）当时，； 当时， . 【解析】 【分析】（1）利用指数函数、对数函数、幂函数单调性比较大小. （2）作差，利用对数运算，按分类，并结合对数函数单调性判断即得. 【详解】（1）①函数在R上单调递减，，所以； ②函数在上单调递减，，所以； ③函数在上单调递增，，所以； ④函数在上单调递增，由，得， 函数在上单调递减，所以. （2）函数，， ， 由，得， 当时，，因此； 当时，，因此. 20. 已知函数. （1）求函数的定义域、值域； （2）判断的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，求出反函数的解析式； （3）如果，求m的取值范围； （4）令，已知是偶函数，求a的值. 【答案】（1）定义域为，值域为； （2）函数存在反函数， 函数在上单调递增，对每个函数值，都有唯一自变量与之对应，因此存在反函数， 由，得，，所以的反函数为. （3）； （4）. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数求出定义域及值域. （2）确定单调性，结合反函数定义判断并求出解析式. （3）由单调性解不等式. （4）利用偶函数的定义求出参数值. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为，值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数在上单调递增，由，得，解得， 所以m的取值范围是. 【小问4详解】 依题意，，其定义域为R， 由是偶函数，得，则， 整理得，而不恒为0， 所以，即. 21. 设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有3个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”. （1）当时，判断6和4是否为集合的“相关数”，说明理由； （2）若m为集合的“相关数”，判断是否为集合的“相关数”，请说明理由，并证明. 【答案】（1）当时，是集合的“相关数”，不是集合的“相关数”. （2） 先证明. 将集合中的元素分成组：，，，， 每组两个元素的和都为. 要使子集不满足有个元素的和等于，那么在选取元素时， 最多从这组中选取个元素（每组选一个），再加上这个元素， 此时子集元素个数为个. 而为“相关数”，所以要保证一定能出现个元素的和等于， 则至少要比大，即，移项可得; 所以 不是集合的“相关数”. 【解析】 【分析】（1）根据“相关数”新定义，找出相应的子集来验证是否满足条件； （2）通过对集合元素的分析和组合来推导即可. 【小问1详解】 当时，，. 的含有个元素的子集为，其中，，，满足对于的含有个元素的子集，必有个元素的和等于10， 所以是集合的“相关数”. 的含有个元素的子集，其中任意个元素的和都不等于10， 不满足对于的含有个元素的子集，必有个元素的和等于10， 所以不是集合的“相关数”. 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延庆区2024—2025学年高一（上）期末试卷 数学 2025.1 （本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知全集且，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 某科研院所共有科员人员800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的240人，无职称的80人，欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定采取分层抽样的方法抽取样本，其中含无职称的8人，则共抽取（ ） A. 20人 B. 40人 C. 60人 D. 80人 4. 以下茎叶图中甲组数据的75%分位数和乙组数据的方差分别是（ ） A. 168.5，65.7 B. 168.5，41.7 C. 170，41.7 D. 170，65.7 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数，则“”是“在其定义域上是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为），另一种是隐性基因（记为）；基因总是成对出现（如），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮；有一对夫妻，父亲的基因为，母亲的基因是，不考虑基因突变，则他们的孩子是单眼皮的概率为（ ） A. 0 B. C. D. 9. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 方程的实数解个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知，，则的最大值为______，最小值为______. 12. 已知在平行四边形ABCD中，E是BD边上中点，，，用，分别表示向量______，______. 13. 已知，则的值为______. 14. 已知，则的最大值为______，当且仅当______时，等号成立. 15. 人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论： ①等级为0dB的声音的强度为； ②函数在定义域上是增函数； ③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10； ④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 16. （1）求方程的解集； （2）求不等式的解集； （3）求方程组的解集； （4）已知一元二次方程的两根为与，利用一元二次方程根与系数关系求的值. 17. 计算下列各式的值或简化下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）. 18. 已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下： A组 11 12 13 14 15 16 17 B组 13 14 16 17 18 15 a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙. （1）求甲的康复时间不少于14天的概率； （2）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （3）写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明） 19. （1）比较下列各题中两个值的大小，并说明理由： ①与； ②与； ③与0； ④已知实数a，b满足，与的大小. （2）设，其中且，比较与的大小，并证明. 20. 已知函数. （1）求函数的定义域、值域； （2）判断的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，求出反函数的解析式； （3）如果，求m的取值范围； （4）令，已知是偶函数，求a的值. 21. 设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有3个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”. （1）当时，判断6和4是否为集合的“相关数”，说明理由； （2）若m为集合的“相关数”，判断是否为集合的“相关数”，请说明理由，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $