精品解析：四川省内江市2024-2025学年高二上学期期末检测数学试题

2024-2025学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面的一个法向量为，若直线满足，且，则（ ） A. B. C. 直线与平面相交 D. 直线与平面的位置关系不确定 3. 已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设l，m，n是空间中三条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则l，m，n彼此平行 6. 设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（ ） A. B. C. 2 D. 0 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设直线l：，则（ ） A. 直线l的纵截距为m B. 当时，直线l与直线垂直 C. 直线l过定点 D. 原点到直线l距离的最大值为 10. 如图，在圆锥SO中，为等边三角形，C为底面半圆弧AB的中点，M为线段SB的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面AMN，则 B. 若，则 C. 存在，使得 D. 若，则 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线交椭圆C于A、B两点，P为椭圆C上的一动点，则（ ） A. 当时，四边形的周长为定值8 B. 当为直角三角形时， C. 当直线PA，PB的斜率都存在时，其斜率之积为 D. 当直线与的斜率之差为2时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线：和直线：平行，则实数______. 13. 已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，且每条侧棱长均相等，若，则该四棱台的体积为______. 14. 如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l过点，圆C： （1）若直线l经过圆C圆心，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C交于M、N两点，，求直线l的方程. 16. 设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. （1）求F的坐标和抛物线C的准线方程； （2）设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 17. 在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指4个面都是直角三角形的四面体.如图，在等腰梯形ABCD中，，，且现将沿AE翻折，使四面体DACE为一个鳖臑，并得到四棱锥 （1）设F为ED的中点，求证：平面BCD； （2）求证：平面 18. 如图，在三棱柱中，，，，平面平面 （1）求三棱锥的体积； （2）求直线与所成角余弦值； （3）若点E在棱BC上，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 19. 已知双曲线C：的离心率为2，左、右顶点分别为，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点. （1）求双曲线C方程； （2）记直线AP，BP，BQ的斜率分别为，，，求的值； （3）设点，若过P，Q，M三点的圆的圆心恰好在y轴上，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线方程化为斜截式，可求出直线的斜率，从而可求直线的倾斜角. 【详解】化为， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 又因为，所以， 故选：B 2. 已知平面的一个法向量为，若直线满足，且，则（ ） A B. C. 直线与平面相交 D. 直线与平面的位置关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件求出结果． 【详解】由于平面的一个法向量为，若直线满足， 故，由于且，故， 可知A正确，且BCD错误. 故选：A. 3. 已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可所求球即为该正方体的内切球，从而可求解． 【详解】根据题意可所求球即为该正方体的内切球， 该球的半径为正方体的棱长的一半，即， 所求球的体积为 故选：B 4. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，求解关于的一元二次不等式得答案． 【详解】解：方程表示双曲线， ，解得或 的取值范围是 故选：D. 5. 设l，m，n是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则l，m，n彼此平行 【答案】C 【解析】 【分析】对于A:l与m相交、平行或异面；对于B:与相交或平行；对于C:l垂直于与的交线，同时l垂直于与的交线，又与的交线和与的交线相交，从而；对于D:l，m，n彼此间平行、相交． 【详解】对于A，若，，则l与m相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则与相交或平行，故B错误； 对于C，若，，， 在平面内选一点O，过O做与的交线的垂线，由面面垂直的性质定理得； 同理过O做与的交线的垂线， 得到,又因为都在平面内，由线面垂直判定定理，，故C正确； 对于D，若，，， 则l，m，n彼此间平行、相交，故D错误． 故选：C. 6. 设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，设，，，根据向量的坐标运算进行求解即可． 【详解】解：因为点分别在x轴、y轴上滑动， 设，，，因为， 所以，整理得， 因为，， 所以，因为， 所以，解得， 又，所以， 整理得，则点的轨迹方程为 故选：A. 7. 如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果． 【详解】 故选：D 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取AB的中点，设，利用双曲线的定义，结合题设条件，求出，借助于，利用勾股定理列出关于的齐次方程，即可求得. 【详解】 如图，取AB的中点，因为，故得，, 设，由双曲线的定义得①， ，所以， 在中，，，，所以， ，代入①式可得，. 所以， 在中，，解得， 则双曲线的离心率为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题主要考查双曲线的离心率的求法，属于较难题. 解题思路是，一般考虑运用双曲线的定义和正、余弦定理，勾股定理，建立的齐次方程，即可求得离心率. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设直线l：，则（ ） A. 直线l的纵截距为m B. 当时，直线l与直线垂直 C. 直线l过定点 D. 原点到直线l的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线在坐标轴上的截距的概念，判断出A项的正误；根据垂直的两条直线的斜率关系，判断出B项的正误；将直线l方程化简为，由此求出直线l经过的定点坐标，从而判断出C项的正误；由直线l经过定点，根据点到直线的距离的定义判断出D项的正误． 【详解】对于A，在方程中取，得， 所以直线l在y轴上的截距为，即纵截距等于，故A项错误； 对于B，当时，直线l方程为，其斜率， 而直线的斜率，结合，可知直线l与直线垂直，故B项正确； 对于C，直线l方程可化为， 所以直线l经过直线与的交点，故C项正确； 对于D，设直线l经过的定点为，结合点到直线的距离的定义， 可知：当时，原点O到l的距离等于，达到最大值，故D项正确． 故选：BCD. 10. 如图，在圆锥SO中，为等边三角形，C为底面半圆弧AB的中点，M为线段SB的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面AMN，则 B. 若，则 C. 存在，使得 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理判断A选项，三棱柱的体积公式判断B选项，三垂线定理判断C选项和D选项． 【详解】对A选项，若平面AMN， 又平面SBC，且平面平面， 所以，所以A选项正确； 对B选项，若，则N为SC的中点， 所以C到平面SAO的距离等于N到平面SAO的距离的2倍， 所以，即，所以B选项正确； 对C选项，易知，且平面平面ABC， 当时，N在底面ABC的射影不可能为C， 即AN在底面的射影不可能为AC， 所以根据三垂线定理可知，不存在，使得，所以C选项错误； 对D选项，如图，设，则易知，且E为SO的靠近O的三等分点， 又易知平面平面SAB，平面SCO， 所以根据三垂线定理可知：若，则AN在平面SAB内的射影为AE， 所以平面SAB，又平面SAB， 所以，又E为SO的靠近O的三等分点， 所以N为SC的靠近C的三等分点，所以，所以D选项正确． 故选：ABD 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线交椭圆C于A、B两点，P为椭圆C上的一动点，则（ ） A. 当时，四边形的周长为定值8 B. 当为直角三角形时， C. 当直线PA，PB的斜率都存在时，其斜率之积为 D. 当直线与的斜率之差为2时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，根据椭圆的定义即可判断A；当时，求出点P的坐标，代入三角形面积公式中即可判断B；设出A，B，P的坐标，结合斜率公式即可判断C；将直线与的斜率之差表述出来，结合点P在椭圆上，可得，代入三角形面积公式中即可判断D. 【详解】 对于A：因为椭圆，所以，，，即，， 则四边形的周长为，正确； 对于B：当时，设， 因为点P在椭圆上，解得，取，则，错误； 对于C：因为直线交椭圆C于A，B两点，所以A，B两点关于原点对称， 设，，， 因为，两式相减并整理得， 因为，，所以，正确； 对于D：易知，， 所以，整理得， 因为点P在椭圆上，所以，解得， 则，正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线：和直线：平行，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】由方程各项系数均不为0，则由两条直线平行的充要条件列方程，可得a值． 【详解】直线：和直线：平行，可得，解得 故答案为：. 13. 已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，且每条侧棱长均相等，若，则该四棱台的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得该四棱台为正四棱台，且该四棱台补全后的正四棱锥的高等于底面正方形对角线的一半，从而利用棱台的体积公式，即可求解． 【详解】根据题意可得该四棱台为正四棱台，又， 可知该四棱台补全后的正四棱锥的高等于底面正方形对角线的一半，即为， 又上下底面分别是边长为2和4的正方形，正四棱台的高为， 该四棱台的体积为. 故答案为： 14. 如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到点坐标即向量坐标，设，求得点坐标，从而得到坐标.由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得直线MN与平面所成角的正弦值的表达式，再由函数的性质求得最大值. 【详解】设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，，又， 所以， 则，，， 即， 所以， 设平面的一个法向量为， 又，， 则， 取， 设直线MN与平面所成角为，， 当时，N与上的重合，直线MN在平面内，不合题意， 当时， ， 令，则， 则，时，有最小值6， 所以当，即，即时 故答案为： 【点睛】方法点睛，在求线面角的的正弦值问题时，一般采用空间直角坐标系来完成，所以建系设线段长是本题的关键.关于动点问题，一般我们采用向量共线的方法设出动点坐标，然后借助空间向量的夹角求得线面角. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l过点，圆C： （1）若直线l经过圆C的圆心，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C交于M、N两点，，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆C的方程，可得圆心C的坐标及半径r的值，由直线l的过的两点的坐标，可得直线l的斜率，进而求出直线l的方程； （2）设圆心到直线的距离d，由弦长公式，可得d的值，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，设出直线方程，由圆心C到直线的距离可得参数的值，进而求出直线l的方程． 【小问1详解】 将圆C：整理可得，所以圆心，半径， 所以过点，圆心C的直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即； 【小问2详解】 设圆心C到直线l的距离为d，由弦长公式可得，解得， 当过点P的直线斜率不存在时，则直线l的方程为，则圆心C到直线的距离为，符合条件； 当过点P的直线斜率存在时，则直线l的方程为，即， 则圆心C到直线的距离为，解得， 即此时直线l的方程为 综上所述：直线l的方程为或 16. 设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. （1）求F的坐标和抛物线C的准线方程； （2）设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 【答案】（1）F的坐标为，准线方程为； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线方程进行求解即可； （2）先求出点M的坐标，得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、焦点弦长公式和三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 因为抛物线C的方程为， 所以抛物线C焦点F的坐标为，准线方程为； 【小问2详解】 因为在抛物线C的准线上，所以，即， 此时，因为，所以，解得， 所以直线l的方程为， 设，， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为 则 17. 在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指4个面都是直角三角形的四面体.如图，在等腰梯形ABCD中，，，且现将沿AE翻折，使四面体DACE为一个鳖臑，并得到四棱锥 （1）设F为ED的中点，求证：平面BCD； （2）求证：平面 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取DC的中点M，连接FM，BM，证明四边形ABMF是平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由鳖臑的性质，推断出，由勾股定理可得CD的值，再证得，符合勾股定理的逆定理，即为直角三角形． 【小问1详解】 证明：取DC的中点M，连接FM，BM， 因为F为DE的中点，所以FM为的中位线，所以，且， 在等腰梯形ABCD中，，，且， 所以， 所以且，所以四边形AFMB平行四边形，所以， 又平面BCD，平面BCD， 所以平面BCD； 【小问2详解】 由题意可得，，， 因为，，，平面， 所以平面，所以，是直角三角形， 又因为四面体DACE为一个鳖臑，所以需满足，为直角三角形，且不是直角， 又因为，所以，故要使为直角三角形，只能是直角， 即，则， 又平面， 所以，，平面 所以平面，又平面， 所以， 此时成立， 即也是直角三角形， 即证得平面 18. 如图，在三棱柱中，，，，平面平面 （1）求三棱锥的体积； （2）求直线与所成角的余弦值； （3）若点E在棱BC上，且直线与平面所成角正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】1取的中点O，连接，，先证，由面面垂直的性质定理知平面，由勾股定理可得，再根据棱锥的体积公式，求解即可； 2以O为原点建系，利用向量法求异面直线所成角的余弦即可； 3设，，利用向量法求线面角可得关于的方程，解之，再利用向量法求二面角即可． 【小问1详解】 取AC的中点O，连接，， 在平行四边形中，，， 所以是等边三角形， 所以，且， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由，，知，即， 所以三棱锥的体积 【小问2详解】 由1知平面，， 故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以，， 故直线与成角的余弦值为 【小问3详解】 设，，则， 由2知，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以，， 整理得，解得或舍负， 所以， 可取， 易知平面的一个法向量为， 所以，， 由图知，二面角锐角， 所以二面角的余弦值为 19. 已知双曲线C：的离心率为2，左、右顶点分别为，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点. （1）求双曲线C的方程； （2）记直线AP，BP，BQ的斜率分别为，，，求的值； （3）设点，若过P，Q，M三点的圆的圆心恰好在y轴上，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知离心率和顶点求出即可得到方程． （2）设，，再根据直线l与x轴是否重合分类讨论，然后设直线方程，联立方程组，利用韦达定理得到关于和关于参数的关系式，再代入求解即可． （3）因为直线l与双曲线C的右支有两个交点，所以由（2）知，得，求出PQ的长度，再根据若过P，Q，M三点的圆的圆心恰好在y轴上，求解即可． 【小问1详解】 因为双曲线C的离心率为2，左、右顶点分别为，， 所以 于是 所以双曲线C的方程为 【小问2详解】 设，，由1知，点F的坐标为 当直线l与x轴重合时，直线l与双曲线C的右支只有一个交点，不满足题意． 当直线l与x轴不重合时，设直线l：， 由得，故， ， 因为，所以， 因为，， 所以 于是有， 得 【小问3详解】 因为直线l与双曲线C的右支有两个交点， 所以由（2）知，得. , 且线段PQ的中点坐标为， 所以线段PQ的中垂线所在直线方程为， 于是线段PQ的中垂线交y轴于点， 因为的外心在y轴上，所以的外心为， 外接圆半径，且满足， 即， 得， 令，则 ， 由得，于是， 又，得 【点睛】方法点睛，本题是圆锥曲线综合.在解决直线与圆锥曲线交点问题，一般我们用联立方程组，利用根与系数的关系，得到点的坐标的关系，对代数式进行化简求值即可得到结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $