训练十六 复数的加、减运算及其几何意义-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

2+n+"m≥2+√2,当且仅当 n2=2m2时等号 成立。 又2m+n=2,m>0,n>0, 所以m=2-√2,n=2√2-2. 3+√2,n+1的最小值为所以 此时 m=2-√2,n=2√2-2. 训练十六 复数的加、减运算及其几何意义 基础练学考测评 1.B 由复数(1+2i)—(3-4i)=-2+6i,可得其在复平 面内对应的点为(-2,6),位于第二象限。故选B. 2.B 由题意知，z=-1+i-3+i=-4+2i,∴|z|= √(-4)2+22=2√5,故选B. {8+4=0°得{a=-1.ma+bi=-2-i.3.D 由 4.A 设复数—2i,2i,一(1+i)在复平 y 面内对应的点分别为Z?,Z?,Z?,因 2z? 为|z+2i|+|z-2i|=4,|Z?Z?I=4, z 所以复数z对应的点Z的集合线段 0Z?Z?,如图所示，问题转化为：动点Z z z?在线段Z?Z?上移动，求|ZZ?|的最 -2z?小值.因此作 Z?Z?⊥Z?Z?于Z。,则 Z?与Z。的距离即为所求的最小值， |Z?Z?|=1.故选 A. 5.解析 设复数z=x+yi(x,y∈R),则 z-2+4i=(x— 45,二或2)+(y+4)i.由题意知 {y=21,x=2±i. 答案 2±i 6.解析 由题意得x+y+(x—y)i=2, {y=1,Axy=1.{-y=8,解得 答案 1 7.解 z=z?一≈2 =(3x+y)十(y-4z)i-[(4y-2x)—(5x+3y)i] =[(3x+y)—(4y-2x)]+[(y-4.x)+(5x+3y)]i =(5x—3y)十(x+4y)i, 又∵z=13-2i,且x,y∈R, {x=-1,{5-43=-3,解得{ z?=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i, z?=4×(一1)-2×2-[5×2+3×(一1)]i=—8-7i. 能力练迁移运用 8.AD 对于 A,根据共轭复数的定义，显然是真命题；对 于 B,若_z?一z?=0,则z?=z?,当z?,≈2均为实数时，则 有z?=22,当z?,z,是虚数时，z?≠z?,所以B是假命题； 对于C,若z?十z?∈R,则z?,z2可能均为实数，但不一定 相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相 等，所以C是假命题；对于 D,若z?一z?=0,则z?=2, 所以z?与z,互为共轭复数，故 D是真命题。 9.C 由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|, ∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,∴22+ 4°=2*+22°≥2 √22+2=2√23=4√2.当且仅当x=2y 3时,2*+4”取得最小值 4√2. 10.A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件 可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C距离 相等，∴P为△ABC的外心. -+2I|=3z+a a|=ad-bc,得11.解析 由 2y+yi, 故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi. a+3=3x+2y,因为x,y为实数，所以 y=2.即{2+3==,’解得 答案 -1 2 12.解析 |z?—z?I=|(1+icos 0)-(sinθ-i)| =√(1-sin 0)2+(1+cos θ)2 =√3-2(sinθ-cos 0) =√3-2√2sin(0-4) ≤√3+2√2=√2+1. 答案 √2+1 13.解(1)方案一：选择条件①. 设z?=a+bi,z?=c+di(a,b,c,d∈R),则 得 所以x=-2+3,?=1或x=1,z=-2+ 方案二：选择条件②. 设z?=a+bi,z?=c+di(a,b,c,d∈R),则 +-1“ 所以x=-3+2i,?=3+_i或z=3+2i,2 =-s+2 方案三：选择条件③. 设z?=a+bi,z?=c+di(a,b,c,d∈R),则 z=2+3,x=2+8i所以： (2)设在复平面内复数z?,22,z?十z?对应的向量分别 为OA,OB,0C,则由|z|=|z,|=|z十z,|=1,可知以 OA,OB为邻边的平行四边形为菱形，且∠AOB= 120°,所以|z?-z?I=|BA|=√3. 创新练素能培优 (1)x?+z?=(a35+1-a)+(a2-10+2a-5)i14.解 =a2+-4135+(a2+2a-15)i. ∵z?十z?可与任意实数比较大小， z?十z?为实数， {a2+2a-15=06,解得a=3. ∴x=3-i,z?=-1+i, 64 ∴向量Z?Z?对应的复数为 (-1+i)-(3-i)=-g+2i. (2)Z?Z?的中点Z对应的复数为 -1+)+(3-)_-5 .10z1=√(-5)2+o2=56 训练十七 复数的乘、除运算 基础练学考测评 1.D (1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=—6+4i. 2.C(1+i)20—(1-i)20=[(1+i)2]?—[(1-i)2]10= (2i)10—(—2i)10=(2i)10—(2i)1?=0. ∵z=2=(-(1(1+5=1+i,∴|2|=√2,2=3.BC 2i,z的共轭复数为1-i,z的虚部为1.故选BC. 4.B∵=(a+i)(一i)=1-ai,:+i|=11-ail= √1+a2=2,解得a=√3或a=-√3(舍). 2-33=-i,所以z=2-3=(2-3i)i=5.解析 因为 3+2i. 答案 3+2i 2=-2=6.解析 设 z= bi(b∈R,b≠0),则 (6i=2(1+)=2-b+(b+2)=2-?+b±2i是实数， 所以b+2=0,b=—2,所以z=—2i. 答案 —2i 7.解(1)(-1+i(2+3=-3+i=-1-3i. (2)1+2i2+3(1-i=-3+2i+3-3=2+= i2-i=5+号i (3)(告)+s-(3-[±3]+i(3-2i =i?+i=—1+i. 能力练迁移运用 x=1+停3,2=-1+停，所以z=-(2+8.A 因为： 3;)(-2+3i)+i?=1+i,所以复数z在复平面内 对应的点为(1,1),位于第一象限。故选 A. -1=2-1+1=1+=1=1+i,所以x=1+9.C 因为- 1=1-i 10.ACD 令f(x)=(x-1)(x2+x+1)=0,得x=1或 (a+2)2=-3,x2+x+1=0,由x2+x+1=0,得 所以a+1=±停1,则a=-2±,所以一1± 是f(x)=0的两个复数根，对于 A,因为w为方程 f(x)=0的一个虚数根，即w满足x2+x+1=0,所以 w3+w+1=0,故A正确；对于B,w=-2±3i,故B -2+经i与-2-错误；对于C,因为 互为共轭 w·π=(-1+;)(-1-g;)=1,故复数，所以 C正确；对于 D,由w2+w+1=0,得w=-w-1,若w =-2+5,则a2=-0-1=-2-gi=0;若o= -2-经，则a2=--1=-2+停i=.综上，w2 =w,故D正确。故选 ACD. 11.解析 由题得z=1+3i=1+3=(103)=号+号i (3,5),x=3-则z在复平面内对应的点的坐标为 号i,li+5=|号+制i=√(号)+(告)=1. (3,亏)1答案 i 2i|=0化简得z·2i+i(1+i)12.解析 由题意将 z=1-i=2=二2=-2-2i,所以乏==0,则 +—i,所以复数乏在复平面内对应的点在第二 象限。 答案 二 13.解 设z?=a+bi(a,b∈R,且b≠0). (1)z?=z?+1=a+bi+a+bi =(a+a2+b)+(b-a2+B)i 因为z?是实数，b≠0,于是有a2+b2=1, 即|z?l=1,所以z?=2a. 由-1≤z?≤1,得-1≤2a≤1,解得-1≤a≤2, [-1,1].即z1的实部的取值范围是 0=1+2=1+a+6-(+a3+b(2)证明： =-a+i a∈[-2,2],b≠0,所以w为纯虚数.因为 创新练素能培优 14.解(1)由z是方程x2+2x+2=0的根，解得z=-1±i. 因为Im(z)>0,所以z=—1+i, 所以"==1+i=b-2i, 则a=(b-2i)(-1+i)=—b+2+(b+2)i, {b+2=0+2’解得{{b=-2,所以a+b=2.所以 (2)因为Im(z)<0,所以z=—1-i. 又i2023=i3=—i, =41+2i==-i=(-+2((1-22)所以 =--2+(1-2) 因为Re(z?)<0,Im(z?)>0,所以 (-2,2).解得-2<t<-,所以实数t的取值范围为 65 训练十六 复数的加、减运算及其几何意义 基础练 学考测评 能力练 迁移运用 1.(四川仁寿高一期中)复数(1+2i)一(3— 4i)在复平面内对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设复数z满足≈+3—i=—1+i,则|z|= ( ) B.2√5A.5√2 C.4 D.5 3.设z?=2+bi,z2=a+i(a,b∈R),当z?十 z2=0时，复数 a+bi为 ( ) A.1+i B.2+i D.-2—iC.3 4.如果复数z满足|z+2i|+|z—2i|=4,那 ( )么|z+i+1|的最小值是 B.√2A.1 D.√5C.2 5.若|z|=√5,且 z-2+4i为纯虚数，则复数 z= 6.已知实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2, 则xy的值是 . 7.已知z?=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y— 2x)一(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1一 ≈2=13—2i,求：z1,≈2. 8.(多选)给出下列命题，其中是真命题的是 ( ) A.纯虚数z的共轭复数是一≈ B.若z?—z?=0,则z?=≈2 C.若z?十z?∈R,则z?与z2互为共轭复数 D.若z?一≈2=0,则z1与z2互为共轭复数 9.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|= z+2|,则2“+4*的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.4√2 D.16 10.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为 ≈1,≈2,z3,若复数z满足|z—z?l=|z— z2l=|z—z3|,则z对应的点是△ABC的 ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 =a4-c,,如果(x+y)+11.定义运算 (z+3i=+2i为虚数单位),那 么实数x,y的值分别为 12.若复数z1=1+icos θ,z2=sin0—i,θ∈R, 则|z?-z?|的最大值为 31 ?高中数学·必修 第二册 13.在①?+?=1+i;②x?+x?=i;③? 十z?=1+√3i这三个条件中任选一个，补 充在下面的问题中，并解答该问题。 设复数≈1,≈2满足|z?l=|z?|=1. (1)若_ ,求z?,Z2; (2)若|z?+z?I=1,求|z?—z2|. 创新练 素能培优 14.设O为坐标原点，已知向量0Z,0Z,分 ?=a35+(a2—别对应复数z1,z2,且 10)i,z?=1-a+(2a-5)i(其中a∈R), 若z?十z?可以与任意实数比较大小. (1)求向量Z?Z?对应的复数； (2)设Z?Z?中点为Z,求|0Z|. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3