训练十三 余弦定理、正弦定理应用举例-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

知a2+b2-c2=√2ab, 可得cos C=a2+2a-&=2ab=2. 因为C∈(0,π),所以sin C>0, 从而sinC=√1-osc=√1-()=空 又因为sin C=√2cos B,即 cos B=2. 因为B∈(0,π),所以B=3 (2)由(1)可得B=g,cos C=2,c∈(0,π),从而C= 4,A=m-3-4=5 而 sin A=sin 5=sin(4+否)=×3+2×2 =N后+2 mg由正弦定理有- 从而a=G+12.2c=3+1c,b=3·√2c=g 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 SAm=2 absin C=1·13±1c·g.2= 3+83 3+85e=3由已知△ABC的面积为 3+√3,可得 +√3, 所以c=2√2. 创新练素能培优 14.解 (1)由正弦定理及已知条件得 sin Csin A= sin Acos C.因为0<A<π,所以 sin A>0,从而 sin C= cos C,又C∈(0,π),则C=4· (2)由(1)知，B=3-A, 于是√3sin A-cos(B+4)=√3sin A-cos(π-A) =√3sin A+cos A=2sin(A+6). 0<A<7,所以否<A+6<1因为 从而当A+6=匹，即A=3时， 2sin(A+6)取得最大值2. 综上所述，√3sin A-cos(B+4)的最大值为 2,此时 A=3,B=5 训练十三 余弦定理、正弦定理应用举例 基础练学考测评 1.B 连接 AC,由题意，知∠ABC=45°,∠ACD=75°— 15°=60°,∠ACB=15°+45°=60°,AB=10√3 km,CD sn2ACB== 4√2 km.在△ABC中，由正弦定理得 inZABC ,则 AC=10√2 km.在△ACD,即 中，由余弦定 理得 AD2= AC2+CD2— 2AC· CDcos∠ACD=152,则AD=2√38 km. 2.A △ABC中，AC=BC=a km,∠ACB=90°, 所以 AB=√2a km. 3.A 如图所示，BC=√3h,AC=h, ∴AB=√3h2+h2=2h. 2300~- h 30 B45 2 A 4.AB 解法一：由题作出示意图，A 如图所示，易知 B=30°,AC=√3, ·B BC=3,由正弦定理得 sin A= BAc=3y3°=,,因为 C BC>AC,所以 A>B.又因为 B=30°,所以A有两解， 即A=60°或120°??A=60°时，∠ACB=90°,x=2√3; 当A=120°时，∠ACB=30°,x=√3. 解法二：由题意可知△ABC中B=30°,AC=√3. 由余弦定理知3=x2+9-6x·cos 30°,∴x2-3√3x十 6=0,∴x=2√3或x=√3. 5.解析 如图，由题意知∠C=45°,由正 c sA6=sin 45.所以 AC=弦定理得 -66m k75° 60%2A- B 答案 √6 6.解析 在Rt△ABC中，∠CAB=30°,BC=50 m,所以 AC=100 m.在△AMC中，∠MAC=75°,∠MCA=60, sin45sin 6,因此从而∠AMC=45°,由正弦定理得 AM=50√6 m.在Rt△MNA中，AM=50√6 m,∠MAN =45°,得MN=AMsin 45°=50√3(m). 答案 50√3 7.解 如题中图所示，在△ABC中， AB=40,AC=20,∠BAC=120°, 由余弦定理知， BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800 →BC=20√7 n mile sin2ACB=sinLBAc→由正弦定理得 sin∠ACB=A·sin∠BAC=×2I. 由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角， 则 cos∠ACB=27. 由θ=∠ACB+30°,得cos O=cos(∠ACB+30°) =cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=141. 能力练迁移运用 8.D 在Rt△ABC中，BC=600 m,∠CAB=60°,所以AC sin60o=400√3(m)。在△MAC中，由正弦定理知 sinAAMc=sin2ACM,解得 sin∠AMc=竖，所以 ∠AMC=60°或 120°.若∠AMC=60°,则∠MAC=75°, ∠MAD=45°,所以θ=60°—45°=15°;若∠AMC= 120°,则∠MAC=15°,∠MAB=75°,此时 D在A右侧， 不符合题意.综上所述，0=15°.故选D. 61 9.A 对于①,利用内角和定理先求出C=π-A-B,再利 sin B=sinc解出c;对于②,直接利用余弦用正弦定理- 定理c2=a2+b2-2abcos C即可解出c;对于③,先利用 sin A=内角和定理求出C=π—A—B,再利用正弦定理 sinc;解出c.故选 A. 10.AB 画出示意图如图，客船 北 半小时航行的路程为 32× B' 2=16(n mile), 东 ∴AB=16 n mile. 又 BS=8√2 n mile,∠BAS= 30,m30=mZASB sB309 i sin ∠ASB=2, A ∴∠ASB= 45°或∠ASB= 135°.当船在 B处时， ∠ASB=45°,∠B'BS=75°;当船在 B'处时，∠ASB′= 135°,∠AB'S=15°.综上，灯塔 S在B处的北偏东75° 或南偏东15°,故选 AB. 11.解析 如图所示，由题意可知 AB= 3√3 km,BC=2 km,∠ABC=150°. 由余弦定理得 AC2=27+4-2×3√3 ×2×cos 150°=49,AC= 7 km.则 北 B C 60 AP A,C两地距离为7 km. 答案 7 12.解析 甲楼的高为20tan 60°=20×√3=20√3(米);乙 楼的高为20/3-20tan 30°=20/3-20×3=4033(米). 4033答案 20√3 13.解(1)设CD=a km. 在△ADC中，∠BDC=60°,∠ADB=30°,∠ACD=45°, 则∠CAD=45°,所以△ADC是等腰直角三角形， 所以 AC=√2a km. 在△BCD中，∠BCA=30°,∠ACD=45°,∠BDC=60°, 可得∠CBD=45°. sBC=sm45,解得BC=1akm.由正弦定理得 在△ABC中，由余弦定理得 AB=√(a)+(Za3-2×厘axJaXco30= a(km). 因为 AB=2 km,所以a=2√2, 即CD=2√2 km≈2.828 km=2 828 m. 因为|2 828-2 840|=12<20, 所以百度地图测距是准确的。 AN=sin(in=(2)在△ABN 中，由正弦定理得 sm-3 设 BN=3x km,AN=4x km. cos θ=4+162-9a在△ABN 中，由余弦定理得 =4+67a2, cos∠ABN=4+92-16a2-4-2a2, cos φ=cos(π-∠ABN)=—cos∠ABN=7x2-4 又=4,所以x=1,所以 BN=3 km,AN=4 km. 在Rt△ANM 中，MN= AN·tan∠MAN=4× tan 4.8°≈0.336(km)=336(m). 故常州现代传媒中心的高度为336m. 创新练素能培优 14.解 在△ABC中,cos A=13,sin B=6, isinA=√1-cos3A=√1-(1s)2=53 c-:-由正弦定理，得 乙从 B出发时，甲已经走了50×(2+8+1)=550(m), 甲还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为 v m/min, 00-730|<3,由题意得 1430≤≤45.解得 ∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min, [1430,6245].乙步行的速度 v m/min的取值范围是 训练十四 数系的扩充和复数的概念 基础练学考测评 z=a-1+(a2-1)i1.C 因为复数 i是实数，且 a为实数， {a-10,则 ’解得a=-1.故选C. 2.B 因为z?=a+2i,z?=3+(a2-7)i,且z?=z?, {a2=-37=2,所以有 解得a=3.故选B. {m2-5m-6=3,m=-1.3.B 由题意知 e2os591≠0,解得4.B 由题意得 Z).∴θ=2kπ+4,k∈Z. 5.解析 由条件知a2-3+2a=0,解得a=1或a=-3. 答案 1或一3 {m2-9=0, m=-3或3,即6.解析 依题意知 解得 m=3. 答案 3 7.解(1)若z是实数，则m2—m-2=0, 解得m=2或m=—1. (2)若z是虚数，则m2-m-2≠0,解得m≠2且m≠-1. m2+m-6=0,(3)若z是纯虚数，则 解得m=—3. 能力练迁移运用 8.C 若复数(a2—a-2)+(|a-1|-1)i不是纯虚数，则 有a2—a-2≠0或|a-1|-1=0,解得 a≠-1.故应 选C. 9.BD 取 x=i,y=—i,则x+yi=1+i,但不满足 x=y=1,故 A错误；Va∈R.a2+1>0恒成立，所以(a2 +1)i是纯虚数，故B正确；-1的平方根为士i,故 C错误； 复数lg(m2-2m—7)+(m2+5m+6)i是纯虚数等价于 62 训练十三 余弦定理、正弦定理应用举例 基础练 学考测评 1.(黑龙江哈尔滨高 北 一下期末)为运输 方便，某工程队将 从 A到D 修建一 A_ B D ℃ 条湖底隧道，如图，工程队从 A出发向正 东方向行10√3 km到达 B,然后从B向南 偏西 45°方向行了一段距离到达C,再从C 向北偏西 75°方向行了4√2 km到达 D,已 知C在 A南偏东15°方向上，则 A到D的 距离为 ( ) A.15√6 km B.2 √38 km C.10√2 km D.15√3 km 2.两灯塔 A,B与海洋观察站C的距离都等 于 a km,灯塔 A在C北偏东 30°,B在C 南偏东60°,则 A,B之间距离为 ( ) A.√2a km B.√3a km C.a km D.2a km 3.从高出海平面 h米的小岛看正东方向有一 只船俯角为30°,看正南方向一只船俯角为 45°,则此时两船间的距离为 ( ) B.√2h米A.2h米 C.√3h米 D.2√2h米 4.(多选)某人向正东走了x km后向右转了 150°,然后沿新方向走3 km,结果离出发点恰 好√3 km,那么x的值是 ( ) A.√3 B.2√3 C.3 D.6 5.在相距 2 km 的 A,B两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 A,C 两点之间的距离为 km. M6.(广东广州高一下期 中)如图，为测量山高 C MN,选择 A 和另一 座山的山顶C 为测 量观测点.从 A点测 N BA 得M点的仰角∠MAN=45°,C点的仰角 ∠CAB=30°以及∠MAC=75°,从C点测 得∠MCA=60°.已知另一座山高 BC= 50 m,则山高MN=_ m. 7.如图，位于 A处的信 息中心获悉：在其正 东方向相距40 n mile 的 B处有一艘渔船遇 险，在原地等待营救. 信息中心立即把消息 北 十东 A 40 B 30720 c 告知在其南偏西 30°、相距 20 n mile的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直 线CB前往B处救援，求cosθ的值. 能力练 迁移运用 8.如图，在离地面 h m 的热气球M上，观 察到山顶C处的仰 角为θ,在山脚 A处 观察到山顶C处的 C 且 M 60° D A B 仰角为60°,且热气球M在地面上的射影 D在A 左侧.若 A到热气球的距离 AM= 400√2 m,山的高度 BC=600m,∠ACM= 45°,则θ= ( ) A.30° B.25° C.20° D.15° 9.如图所示，为了测量某湖泊两侧 A,B间的 距离，李宁同学首先选定了与A,B不共线 的一点C,然 后给出了三种测量方案 (△ABC的角 A,B,C所对的边分别记为 a,b,c): ①测量 A,B,b;②测量 a,b,C;③测量 A, B,a. 25 ?高中数学·必修 第二册 则一定能确定 A,B间距离的所有方案的 个数为 ( ) C- B A A.3 B.2 C.1 D.0 10.(多选)一艘客船上午 9:30在 A处，测得 灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以 每小时32 n mile的速度继续沿正北方向 匀速航行，上午 10:00 到达 B处，此时测 得客船与灯塔S相距 8√2 n mile,则灯塔 S可能在B处的 ( ) B.南偏东15°A.北偏东75° C.东北方向 D.东南方向 11.某人从A处出发，沿北偏东60°方向行走 3√3 km 到 B处，再沿正东方向行走 2 km到C 处，则 A,C 两 地 距 离 为 km. 12.甲、乙两楼相距 20米，从乙楼底望甲楼顶 的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角 为30°,则甲楼的高是 米，乙楼的 高是 米. 13.(江苏常州高一期中)常州现代传媒中心 是常州市最高的标志性建筑.某学习小组 要完成两个实习作业：验证百度地图测距 的准确性及测算常州现代传媒中心的高 度.如图①,龙城大道沿线的水平路面上 有两点 A,B,首先利用百度地图测距功 能测出 AB的长度为 2 km,接着在飞龙 路沿线选定水平路面上可直接测距的C, D两点，测得∠BCA=30°,∠ACD=45°, ∠BDC=60°,∠ADB=30°.该学习小组 根据上述条件计算出CD的长度，并将其 与CD的实际长度2.84 km进行比较，若 误差介于一20 m～20 m之间，则认为百 度地图测距是准确的. 2 km A MB- 北 (1)通过计算说明百度地图测距是否准 确?(√2≈1.414) (2)如图②,该学习小组在 A处测得常州 现代传媒中心楼底 N在其西偏北θ方向 上，且楼顶M的仰角∠MAN=4.8°,在 B 处测得楼底 N在其西偏北φ方向上，通过 sing=4,cosQ=4,tan 4.8°≈计算得 0.084.若百度地图测出的 AB=2 km是 准确的，请根据以上数据算出常州现代传 媒中心的高度.(精确到1m) 创新练 素能培优 14.如图，游客从景点A下山至C有两种路径： 一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从 A乘缆车到 B,然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A下山.甲沿AC匀 速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B,在 B处停留 1 min后，再从 B匀速步行到C.已知缆 车从 A到B要8 min,AC长为1 260 m, 若cos A=13,sin B=65.为使两位游客 在C处互相等待的时间不超过3 min,求 乙步行的速度 v(m/min)的取值范围. A B< C c D 图① N B 图② A ⋯⋯2