训练十二 正弦定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

a+2a-b,化简得 a2十b2— c2=ab,所以 cos C= a+2a-=1.又C∈(0,π),所以C=3 sin(c+否)=cos C+1,得方案二：选条件②.由 sinc+2cosSC=cosC+1,即simnc-20osSC= ,所以sin(c-6)=2 .因为C∈(0,π),所以C一 6∈(-6,56),所以C-6=6,所以C=3 方案三：选条件③.因为m=(a—c,b—a),n=(a+c, b),m⊥n,所以(a—c)·(a+c)+(b-a)·b=0,化简 cos C=a22ab=2.又C得 a2+b2—c2=ab,所以 C=3∈(0,π),所以 (2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2—ab =(a+b32-3ab.又atb≥√ab,所以ab≤a+b2,当 且仅当a=b时等号成立，所以3ab=(a+b)2-3≤ 3(a+b)2,所以0<a+b≤2√3,当且仅当a=b=√3时 等号成立，所以a+b+c≤2√3+√3=3√3.又a+b> c,所以a+b+c>2c=2√3,所以△ABC周长的取值范 围为(2√3,3√3). 训练十二 正弦定理 基础练学考测评 1.A 因为sinB=_,c=否，所以B=否，A=3.由正 snA=sinB,得b=sinAB=1.弦定理- BCA=sAC,即2.A 在△ABC中，由正弦定理得 =sC sinC= 0<C<3A=3,所以,解得 .因为 所以C=4. 3.D 由 asin Asin B+bcos2A=√2a及正弦定理，得 sin Asin Asin B+sin Bcos2A=√2 sin A,所以 sin B(sin2A a=sin A十cos2A)=√2 sin A,即 sin B=√2sin A,所以 =√2. 4.B 在△ABC中，A=75°,B=45°,所以C=180°-A- B=60°.设△ABC的外接圆的半径为R,则由正弦定 理，可得R---2,解得R=1,故△ABC的外 接圆的面积S=πR2=π. 5.解析 由正弦定理得 sin Bsin A+ sin Acos B=0. ∵A∈(0,π),B∈(0,π),∴sin A≠0,得 sin B+cos B= 0,即 tan B=-1,∴B=34. 34答案 snA=sin p,得sin B=a·sin A=6.解析 由正弦定理- ×2=N2 .由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 7=4+c2-4c×cos 60°,即c2-2c—3=0,解得c=3或 —1(舍去). 3答案 7.解(1)证明：由sin2A+sin2B=1,得 sin2A=1-sin2B, 即 sin2A=cos2B.又边c最长，则 A,B均为锐角，所以 sinA=cos B=sin(2-B),解得A=2-B,A+B= 四，即C=2,所以△ABC为直角三角形. C=2,由勾股定理a2+b2=c2及c=1,得a2+(2)因为 s=2ab,b2=1.记△ABC的面积为S,则 ,由2ab≤a2十 a=b=时s=2ab≤4(a2+b)=4,当且仅当b2得 a=b=2时，△ABC的面积取到最大等号成立，所以当 4.值- 能力练迁移运用 8.ABC A>B?a>b?sin A>sin B,故 A成立，函数y= cos x在区间[0,π]上是减函数，∵A>B,∴cos A< cos B,故B成立.在锐角三角形中，∵A+B>2, [0,2]∴A>2-B,函数y=sin x在区间 上是增函 数，则有sin A>sin(2-B),即 sin A>cos B,C成立， 同理 sin B>cos A,故 D不成立. cos A=号，∴A∈(0,9.A 由5cos(B+C)+3=0 得--),∴sinA=4,由正弦定理得 2.又∵a>b,∴A>B,且A∈(0,2),∴B必为锐角， ∴B=6 10.A 在△ABC中，∠ABC=∠ACB=72°,由正弦定理 BCA=sin2ABC,即32°=AC=-5-1得- ,由倍角 2sin3030s?6°=5-1,解得 cos360°=1+45公式得 则 sin54°=sin(90°-36°)=cos36°=1+45 11.A 由asin A-bsin B=4csin C可得a2-b2=4c2,又 cos A=+2b-a2=-4,所以2(b2+c2-a2)=-bc. c=6,又a2-b2=4c2,所以6c2=bc,即 ,故选 A. 4 12.解析 如图，由AD=1,B=4,知 CAD=3BC= BD,B2 DBD= 1,又 ∴BC=3,DC=2,AC=√12+22=√5.由正弦定理 知，m∠BAC-:sc-×3- 答案 √5 310 13.解(1)由余弦定理有a2+b2—c2=2abcos C,对比已 60 知a2+b2-c2=√2ab, 可得cos C=a2+2a-&=2ab=2. 因为C∈(0,π),所以sin C>0, 从而sinC=√1-osc=√1-()=空 又因为sin C=√2cos B,即 cos B=2. 因为B∈(0,π),所以B=3 (2)由(1)可得B=g,cos C=2,c∈(0,π),从而C= 4,A=m-3-4=5 而 sin A=sin 5=sin(4+否)=×3+2×2 =N后+2 mg由正弦定理有- 从而a=G+12.2c=3+1c,b=3·√2c=g 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 SAm=2 absin C=1·13±1c·g.2= 3+83 3+85e=3由已知△ABC的面积为 3+√3,可得 +√3, 所以c=2√2. 创新练素能培优 14.解 (1)由正弦定理及已知条件得 sin Csin A= sin Acos C.因为0<A<π,所以 sin A>0,从而 sin C= cos C,又C∈(0,π),则C=4· (2)由(1)知，B=3-A, 于是√3sin A-cos(B+4)=√3sin A-cos(π-A) =√3sin A+cos A=2sin(A+6). 0<A<7,所以否<A+6<1因为 从而当A+6=匹，即A=3时， 2sin(A+6)取得最大值2. 综上所述，√3sin A-cos(B+4)的最大值为 2,此时 A=3,B=5 训练十三 余弦定理、正弦定理应用举例 基础练学考测评 1.B 连接 AC,由题意，知∠ABC=45°,∠ACD=75°— 15°=60°,∠ACB=15°+45°=60°,AB=10√3 km,CD sn2ACB== 4√2 km.在△ABC中，由正弦定理得 inZABC ,则 AC=10√2 km.在△ACD,即 中，由余弦定 理得 AD2= AC2+CD2— 2AC· CDcos∠ACD=152,则AD=2√38 km. 2.A △ABC中，AC=BC=a km,∠ACB=90°, 所以 AB=√2a km. 3.A 如图所示，BC=√3h,AC=h, ∴AB=√3h2+h2=2h. 2300~- h 30 B45 2 A 4.AB 解法一：由题作出示意图，A 如图所示，易知 B=30°,AC=√3, ·B BC=3,由正弦定理得 sin A= BAc=3y3°=,,因为 C BC>AC,所以 A>B.又因为 B=30°,所以A有两解， 即A=60°或120°??A=60°时，∠ACB=90°,x=2√3; 当A=120°时，∠ACB=30°,x=√3. 解法二：由题意可知△ABC中B=30°,AC=√3. 由余弦定理知3=x2+9-6x·cos 30°,∴x2-3√3x十 6=0,∴x=2√3或x=√3. 5.解析 如图，由题意知∠C=45°,由正 c sA6=sin 45.所以 AC=弦定理得 -66m k75° 60%2A- B 答案 √6 6.解析 在Rt△ABC中，∠CAB=30°,BC=50 m,所以 AC=100 m.在△AMC中，∠MAC=75°,∠MCA=60, sin45sin 6,因此从而∠AMC=45°,由正弦定理得 AM=50√6 m.在Rt△MNA中，AM=50√6 m,∠MAN =45°,得MN=AMsin 45°=50√3(m). 答案 50√3 7.解 如题中图所示，在△ABC中， AB=40,AC=20,∠BAC=120°, 由余弦定理知， BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800 →BC=20√7 n mile sin2ACB=sinLBAc→由正弦定理得 sin∠ACB=A·sin∠BAC=×2I. 由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角， 则 cos∠ACB=27. 由θ=∠ACB+30°,得cos O=cos(∠ACB+30°) =cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=141. 能力练迁移运用 8.D 在Rt△ABC中，BC=600 m,∠CAB=60°,所以AC sin60o=400√3(m)。在△MAC中，由正弦定理知 sinAAMc=sin2ACM,解得 sin∠AMc=竖，所以 ∠AMC=60°或 120°.若∠AMC=60°,则∠MAC=75°, ∠MAD=45°,所以θ=60°—45°=15°;若∠AMC= 120°,则∠MAC=15°,∠MAB=75°,此时 D在A右侧， 不符合题意.综上所述，0=15°.故选D. 61 训练十二 正弦定理 基础练 学考测评 1.(广东深圳高一下期中)设△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=√3, 7.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b, c,其中边c最长，并且sin2A+sin2B=1. (1)求证△ABC是直角三角形； (2)当c=1时，求△ABC面积的最大值. sin B=2,c=6,则b=(( ) A.1 B.2 c. D.√5 A=3,2.(渝东九校联考)在△ABC中，若 BC=√3,AB=√2,则C= ( ) A.4 B.3 c.34 D.至或4 3.△ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 b1aa,b,c,且asin Asin B+bcos2A=√2a,则 ( )= B.2√2A.2√3 D.√2C.√3 4.在△ABC中，内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若c=√3,A=75°,B=45°,则 ( )△ABC的外接圆的面积为 A.4 B.π C.2π D.4π 5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c.已知 bsin A+acos B=0,则 B= 6.在△ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则 sin B= __,c= 能力练 迁移运用 8.(多选)锐角△ABC中，三个内角分别是 A, B,C,且 A>B,则下列说法正确的是( ) A.sin A>sin B B.cos A<cos B D. sin B<cos AC. sin A>cos B 9.在△ABC中，a=4,b=5,5cos(B+C)+ 3=0,则角 B的大小为 ( ) B.4A.6 6πC.弯 D. A10.人们通常把顶角为36°的等 腰三角形称为黄金三角形， 因为它的底边和腰长的比值 B/ C 23 ?高中数学·必修 第二册 5-1,等于黄金分割比 ,我们熟悉的五角 星就是由5个黄金三角形和1个正五边 形组成的，如图所示，三角形 ABC就是 一个黄金三角形，根据以上信息，可得 sin 54°等于 ( ) B.3+85A.1+45 c.4+5 D.2×5-1 11.△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b, c,已知 asin A—bsin B=4csin C,cos A= -4,则?= ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 创新练 素能培优 14.在△ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且满足 csin A=acos C. (1)求角C的大小； (2)求√3sin A-cos(B+4)的最大值，并 求取得最大值时角 A,B的大小. 12.在△ABC中，B=4,BC边上的高 AD 等 于零BC,且 AD=1,则AC= , sin A= 13.(新课标全国I卷)记△ABC的内角 A, B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin C= √2 cos B,a2+b2—c2=√2ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+√3,求c. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2