训练十 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

训练十 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 基础练 学考测评 DC=1AB,且1.在四边形 ABCD 中，若 |AD|=|BC|,则这个四边形是 ( ) A.平行四边形 B.矩形 D.菱形C.等腰梯形 2.(江苏扬州高一期中)如图，在重100 N的 物体上有两根绳子，两根绳子与铅垂线的 夹角分别为 30°,60°.物体平衡时，两根绳 子拉力的大小分别为 ( ) 6.(北京海淀区高一期中)一条河宽为 800 m, 一艘船从岸边的某处出发向对岸航行.船 的速度的大小为 20 km/h,水流速度的大 小为12 km/h,则当航程最短时，这艘船行 驶完全程所需要的时间为 min. 7.(山东菏泽高一期中)在△ABC中，已知 BC=4,AC=3,P在线段 BC上，且BP= 4BC,AQ=2AB,设CB=a,CA=b. (1)用向量a,b表示CQ; (2)若∠ACB=60°,求AP·cQ. 4 Q B4 P A.50√3 N,50√3 N B.50 N,100 N C.50√3 N,50 ND.100 N,50√3 N 3.已知△ABC满足AB2=AB·AC+BA· BC+CA·CB,则△ABC是 ( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 4.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向 量 v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相 同，且每秒移动的距离为|v|个单位).设开 始时点P的坐标为(—10,10),则 5 秒后 ( )点P的坐标为 A.(—2,4) B.(—30,25) C.(10,—5) D.(5,—10) 5.在四边形 ABCD中，已知AB=(4,—2), AC=(7,4),AD=(3,6),则四边形 ABCD 的面积是 19 C ?高中数学·必修 第二册 能力练 迁移运用 8.在△ABC中，设AC2-AB2=2 AM·BC, 那么动点M的轨迹必通过△ABC的( ) A.垂心 B.内心 D.重心C.外心 9.一只鹰正以与水平方向成 30°角的方向向 下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下 来，鹰在地面上的影子的速度是 40 m/s, 则鹰的飞行速率为 ( ) B.4033m/sA.3m/s c.8033m/s D.4m/s 10.(广东东莞月考)在日常生活中，我们会看 到这样的情境：两个人共提一个行李包.假 设行李包所受重力为G,作用在行李包上的 两个拉力分别为F?,F?,且|F?|=|F?|,F? 与F?的夹角为θ,则下列结论中正确的 是 ( ) A.0越小越费力，0越大越省力 B.0的范围为[0,π] C.当0=3时，|F?I=|G D.当θ=2时，|F?I=|G 11.如图，BC,DE 是半径 为1 的圆O的两条直 径，BF= 2 FO,则 FD·FE= D F 0B c E 12.河水的流速大小为2 m/s,一艘小船以大 小为10 m/s的速度沿垂直于对岸的方向 行驶，则小船在静水中的速度大小为 m/s. 13.(四川宜宾高一期中)在△ABC中，已知 BC·CA=CA·AB. (1)求证：△ABC为等腰三角形； (2)若|BA+BC|=2且B∈[3,23],求 BA·BC的取值范围. 创新练 素能培优 14.在某海滨城市 O附近 海面有一台风，据监测， 当前台风中心位于城市 O(如图所示)的东偏南 cos0=g,0∈(0°,90 方向 300 km的海面 P 北 海 东 岸/ 线60 Q 45 P 处，并以20 km/h的速度向西偏北 45°方 向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当 前半径为60 km,并以10 km/h的速度不 断增大.问几小时后该城市开始受到台风 的侵袭?(注：cos(θ-45°)=) 20 xoP·e?=IoP|·le?|· os120°=-1, 所以x=-2.又|oP=√a2+y2=1, y=±3 (-1,±3).解得 ,故点P的坐标是 (2)依题意，e?,e2的夹角为45°, 故e?·e?=le?|·lel·cos45°=2,oP=e?+√2e? 所以|OP|=le?+√2e?I=√(e?+√2e?)2 =√ei+2√2e?·e?+2e2=√5,OP·e? =|OP|·|e?|·cosa=√5cos a,OP·e? =(e?+√2e?)·e?=e2+√2·e?·e?=2, 所以√5cosa=2,故cosa=255 训练十 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 基础练学考测评 1.C 由DC=—AB知 DC//AB,且DC=—AB,因此四 边形 ABCD是梯形.又因为|AD|=|BC|,所以四边形 ABCD是等腰梯形.故选C. C 2.C 设两根绳子的拉力分别为OA,OB. 作口OACB如图所示，使∠AOC=30°, A ∠BOC=60°.在□OACB中，|0C|= BG100 N,∠ACO=∠BOC= 60°,所以 ∠0AC=90°,所以|OAI=|0C| cos 30° 0 =50√3 N,|AC|=10C|sin 30°=50 N,所以|OB|= |AC|=50 N,故两根绳子拉力的大小分别为50√3 N, 50 N. 3.C 由题意得AB2=AB·AC+AB·CB+CA·CB= AB·(AC+CB)+CA·CB=AB2+CA·CB,∴CA· CB=0,∴CA⊥CB,∴△ABC是直角三角形 4.C 设(—10,10)为 A,5 秒后P点的坐标为A?(x,y), 则AA=(x+10,y-10),由题意有AA,=5.即(z+10, {a=-06y-10=-015,y-10)=(20,-15),所以 解得 5.解析 BC=AC-AB=(3,6)=AD.又因为AB·BC= (4,—2)·(3,6)=0,所以四边形 ABCD为矩形，所以 |AB|=√42+(-2)2=2√5,|BC|=√32+62=3√5, 所以S=|AB||BC|=2√5×3√5=30. 答案 30 6.解析 如图所示，当合速度 v2的方向垂直于岸边时，所 需航程最短， v?v v? 此时|v?I=√lvl2-Iv?I2=√202-122=16(km/h). t=168=0.05(h)=3(min).故所需时间； 答案 3 7.解(1)由题得CQ=CA+AQ= CA+4AB=CA+4(CB-CA)=4CA+4CB= 4a+4b. (2)AP=CP-CA=3CB-C=4a-b,∴AP·ca =(4a-b)·(4a+4b)=96lal2-6a·b-41bl2 =16×42-16×4×3×cos60°-4×32=87. 能力练迁移运用 8.C 设 BC的中点是O,则AC2-AB2=(AC+AB)· (AC-AB)=2AO·BC=2AM·BC,即(AO-AM). BC=MO·BC=0,所以MO_BC,所以动点M在线段 BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的 外心，故选C. 9.C 设鹰的飞行速度为v?,鹰在地面上的影子的速度为 v?,则|v?I=40(m/s),因为鹰的运动方向是与水平方向 w--5ms,故选C.成30°角向下，故| FF?10.C 如图所示，根据题意依次分析选项： 对于 A,由于F?+F?=G,且|F?I=|F?|, 则有|F?I cos2=2|G|,即|F?I= +G.又|G|为定值，故θ越小越省力，0 越大越费力，A错误；对于 B,0<|F?|cos≤G,且 0=0时，IFI=IF?I=IC,所以是∈[0,否],即θ的 0=2时，有取值范围是(0,π),B错误；对于C,当 F?|cos3=2IG|,则|F?I=|G|,C正确；对于 D,当 0=2时，有IF?los4=2IG|,则√2IFI=IG|,D错误. FD=FO+OD,FE=FO+OE,且OD=-OE,11.解析 所以FD·FE=(FO+OD)·(FO+OE)=FO- oD2=g-1=-8. -9答案 12.解析 设河水的流速为 v?,小船在静水中的速度为 v?, 船的实际速度为 v,则 v=v?+v?,|v?I=2 m/s,|v|= 10 m/s. 所以|v?I=|v-v?I=√v-2v·v?+v=√100-0+4= √104=2√26(m/s). 答案 2√26 13.解(1)证明：因为BC·CA=C·AB 所以CA·(BC-AB)=0. 因为AB+BC+CA=0,所以CA=-(AB+BC), 所以-(AB+BC)·(BC-AB)=0,所以AB2-BC =0, 所以|AB|=IBC|,故△ABC为等腰三角形. Be[3,g],所以cosBe[-2,2].(2)因为 设|AB|=IBC|=a. 因为|BA+BC|=2,所以|BA+BC|2=4, a2=1+cos B所以a2+a2+2a2cos B=4,所以 又因为BA·BC=|BA||BC| cos B=a2cos B= 12+osB=2-1+2osB,-1≤cos B≤2, 58 所以-2≤2-1+cos B<3, [-2,3].故BA·BC的取值范围为 创新练素能培优 14.解 设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受 到台风的侵袭，∠OPQ=0-45°. ∵OQ=OP+PQ, ∴.0g=(OP+PQ)2=OP2±PQ+20P·PQ, ∴.0Q2=OP2+PQ2-2|OPI|PQ| cos(θ-45°)= 3002+(20t)2-2×300×20t×4=100(4t3-96t+ 900). 依题意得0Q2≤(60+10t)2,解得12≤t≤24. 即12 h后该城市开始受到台风的侵袭。 训练十一 余弦定理 基础练学考测评 1.C ∵a=2,b=3,c=√7,∴由余弦定理可得cos C= a+o-c=4×9×3=2.∵C∈(0,π),∴C=3.故 选C. 2.A 在△ABC中，若 AB= √13,BC=3,C=120°, AB2=BC2+AC2-2AC·BCcos C,可得13=9+AC2+ 3AC,解得 AC=1或一4(舍去). B=3,则3.B 因为 A+C=2B,而A+C+B=π,所以 √3a2+√3c2-2acsin3=√3a2+√3c2-√3ac=9√3,得 a2+c2-ac=9.根据余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B =a2+c2—ac=9,故b=3.故选B. a+b-=dbos 60°=ab,4.A 依题意 两式相减得 ab=4. 5.解析 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=4+12— 2×2×2√3×3=4,所以b=2. 答案 2 6.解析 由余弦定理可得 cos A=B2+2b-a,,代入9b2+ 6bccos A=11c2,得9b2+3(b2+c2-a2)=11c2,整理得b2 =(3a2+ 82),则 cos B=a2+2a-= 2+2-t(G2+8e)_+>√3ד -2,当且仅当 3a=2c时取“=”.又因为 B∈(0,π),所以 30<B≤3,所以角B的最大值为 3答案 7.解 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A =(b+c)2-2bc(1+cos A), 所以49=64-2be(1-2),即bc=15, b=158°解得(8=3或(8=3.由 能力练迁移运用 8.B 若a为最大边，则b2+c2—a2>0,即 a2<5,∴a< √5,若c为最大边，则a2+b2>c2,即a2>3,∴a>√3,故 √3<a<√5. 9.C ∵(a+b):(b+c):(c+a)=7:9:10,不妨设a+ b=7k,则b+c=9k,c+a=10k(k是不为0的正常数), 解得a=4k,b=3k,c=6k.由余弦定理可得cos C= a2+2a-2=-24<0.∵0<C<π,故C为钝角，则 △ABC为钝角三角形. 10. BD 对于A选项，sin A=cos B>0且A,B∈(0,π), 则B∈(0,否),若A为锐角，则 sinA=cos B=sin(2 -B),且2-B∈(o,否),此时A=2-B,即A+B =2;若A为钝角，则 sin A=cos B=sin(2+B),且 2+B∈(2,π),此时A=2+B,即A-B=2.综上 所述，△ABC为直角三角形或钝角三角形，A不满足 条件.对于 B选项，因为sin 2A+sin 2B=sin 2C,即 sin 2C=sin[(A+B)+(A—B)]+sin[(A+B)一(A— B)]=sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B) +sin(A+B)cos(A-B)—cos(A+B)·sin(A-B)= 2sin(A+ B)cos(A— B)=2sin Ccos(A— B),即 sin Ccos C= sin Ccos(A— B).因为C∈(0,π),所以 sin C>0,所以 cos(A-B)=cos C=cos[π—(A+B)] =— cos(A+ B),即 cos Acos B+ sin Asin B= sin Asin B-cos Acos B,所以 cos Acos B=0,所以 cos A=0或 cos B=0.因为A,B属于(0,π),所以A或 B为直角，故△ABC为直角三角形，B满足条件。对于 a(B32b-a2=C选项，因为acos A=bcos B,即 b(a3+a&-b,,整理可得(a2-b2)(a2+b2—c2)=0,所 以a=b或a2+b2=c2,故△ABC为等腰三角形或直角 三角形，C不满足条件.对于D选项，因为c=acos B= a.a2+&-B,整理可得bB+&?=a2,所以△ABC为直 角三角形，D满足条件. 11.解析 ∵b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120°= a2+c2+ac,∴a2+c2+ac—b2=0. 答案 0 12.解析 由题意知△EFD为等边三角形，则∠EDA= 3,所以∠BDA=3,根据条件△AFC与△BDA全 等，所以 AF=BD=1,在△ABD中，AD=3,BD=1, 则 AB2=AD2+BD2-2×AD×BD×cos∠BDA=32 +12-2×3×1×(-2)=13,所以AB=√13. 答案 √13 13.解 (1)2bcos C-2a+c=0, 由余弦定理得2b×2+2a--2a+c=0 →a2+c2—b2=ac, 则 cos B=222a-6=2ac=2. 又因为0<B<π,所以B=3· (2)由 tan B=1,0<B<π得 B= 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac-2accos B =52-2×4√2-2×4√2×2=17-8/2. 创新练素能培优 14.解(1)方案一：选条件①.由题意得 2a—b=2c· 59