训练八 平面向量数乘运算的坐标表示-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

训练八 平面向量数乘运算的坐标表示 基础练学考测评 1.(江苏扬中高一期中)已知 a=(—3,4),b =(5,2),则2a—3b= ( ) A.(21,2) B.(—21,2) 7.已知向量a=(2,1),b=(1,1),c=(5,2), m=λb+c(λ为常数). (1)求a+b; (2)若a与m平行，求实数λ的值. C.(2,21) D.(—2,21) 2.(天津高一期中)在口ABCD中，若AD= (3,7),AB=(-2,3),对角线的交点为O, 则CO= ( ) A.(一2,5) B.(一2,-5) D.(2,5)c.(2,-5) 3.已知向量AB=(2,4),AC=(1,2),则下列 与向量BC平行的向量是 ( ) A.(-2,-2) B.(—1,-2) C.(1,—1) D.(1,—2) 4.已知 A(—3,0),B(0,2),0为坐标原点， 点C 在∠AOB 内，且∠AOC=45°,设 OC=λOA+(1-λ)OB(λ∈R),则λ的 值为 ( ) A.5 B.3 c. D.3 5.(湖南邵阳期中)已知 M(—2,7),N(10, -2),点P是线段MN上的点，且PN= —2 PM,则点P的坐标为 ( ) A.(2,4) B.(—14,16) C.(6,1) D.(22,—11) 6.设向量a=(1,2),b=(—3,5),c=(4,x), 若a+b=λc(a∈R),则λ+x= 能力练迁移运用 8.(多选)已知向量 a=(x,3),b=(—3,x), 则下列叙述中不正确的是 ( ) A.存在实数x,使a//b B.存在实数x,使(a+b)//a C.存在实数x,m,使(ma+b)//a D.存在实数x,m,使(ma+b)//b 9.(烟台高一期中)若向量a=(1,2),b=(0, 1),ka —b与a+2b共线，则实数k的值为 ( ) B.-A.—1 C.1 D.2 10.(多选)已知向量OA=(1,-3),OB= (-2,1),OC=(t+3,t-8).若点 A,B,C 能构成三角形，则实数t可以为 ( ) B.A.—2 C.1 D.—1 15 ?高中数学·必修 第二册 11.已知向量a=(3,2),b=(2,-1),若非零 向量 ma+nb与a+2b共线，其中m,n∈ n的值为R,则 12.已知两点P?(3,2),P?(-8,3),点P(1, y),且P?P=λPP?,则λ= ,y= 13.(河南信阳高一下期末)已知 e?,e?是平 面内两个不共线的非零向量，AB=2e?+ e?,BE=-e?+λe?,EC=-2e?+e?,且 A,E,C三点共线. (1)求实数λ的值； (2)若 e?=(2,1),e?=(2,-2),求BC的 坐标； (3)已知 D(3,5),在(2)的条件下，若 A, B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边 形，求点 A的坐标. 创新练 素能培优 14.(河南洛阳联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1,-2),B(2,1),C(3,2). (1)若点 D(-2,3),AB=a,AC=b,试用 基底{a,b}表示AD+BD+CD; (2)若AP=AB+λAC(a∈R),且点P在 第四象限，求λ的取值范围. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 12.解析 过A分别作AM,AN垂直于x轴、y轴，垂足为 M,N,易知 AM=1,AN=√3, ∴A(-√3,1),∴OA=(-√3,1). 答案(一√3,1) 13.解 如图，正三角形 ABC的 y* 边长为2, C 则顶点 A(0,0),B(2,0), C(2cos 60°,2sin 60°), D ∴C1,3),D(1,g), o B (A) ∴AB=(2,0),AC=(1,√3), BC=(1-2,√3-0)=(-1,√3), BD=(1-2,3-0)=(-3,3). 4.(l-a+o=0.2)+(3,30=a+3.2+30 若点P在x轴上，则2+3t=0,∴t=-3. 若点P在y轴上，则1+3t=0,∴t=-3 +3<>0,若点P在第二象限，则 ∴-3<i<-3. (2)不能。理由如下： OA=(1,2),PB=OB-OP=(3-3t,3-3t). 若四边形OABP为平行四边形，则OA=PB, :{3-3(=2,该方程组无解. 故四边形 OABP不能成为平行四边形. 训练八 平面向量数乘运算的坐标表示 基础练学考测评 1.B 由题意得2a=(-6,8),3b=(15,6),所以2a-3b= (-21,2). 2.B Co=--Ac=-2(AD+AB)=-2(1,10) =(-2,-5). 3.B 由题可知，BC=AC-AB=(-1,-2),选项B的向 量与其相等，故选 B. 4.C 如图所示，由题意，设C(x,—a),则 y OC=(x,一x).又因为 A(-3,0), B C B(0,2),所以λOA+(1—λ)OB= A 0 {-a=2-2x,解(-3λ,2—2λ),所以 得λ=号. 5.A 设P(x,y),则PN=(10-x,-2-y),PM=(-2- x,7-y).由PN=-2 PM,得 -2-=-2(-7-),则{{y=4,即P(2,4). 6.解析 由已知，可得(1,2)十(一3,5)=λ(4,x),所以 a=-章{4A=72'解得 λ+x=-.’所以 -29答案 7.解(1)因为a=(2,1),b=(1,1), 所以a+b=(2,1)十(1,1)=(3,2). (2)因为b=(1,1),c=(5,2), 所以m=λb+c=λ(1,1)+(5,2)=(λ+5,λ+2). 又因为a=(2,1),且a与m 平行， 所以2(λ+2)=λ+5,解得λ=1. 能力练迁移运用 8.ABC 只有D正确，可令m=0,则ma+b=b,无论x为 何值，都有b//b. 9.B∵向量a=(1,2),b=(0,1),∴ka—b=k(1,2)一 (0,1)=(k,2k—1),a+2b=(1,2)+2(0,1)=(1,4).又 ka-b与a+2b共线，∴4k=2k-1,解得k=-2 10.ABD 若点 A,B,C能构成三角形，则 A,B,C三点不 共线，即向量AB,BC不共线。 由于向量OA=(1,-3),OB=(-2,1),0c=(t+3, t-8), 故AB=OB-OA=(-3,4),BC=Oc-OB=(1+5, t-9). 若A,B,C三点不共线， 则一3(t—9)-4(t+5)≠0,∴t≠1. 11.解析 由a=(3,2),b=(2,—1),得 ma+nb=(3m十 2n,2m—n),a+2b=(7,0).因为ma+nb与a+2b共 n=2.线，所以14m-7n=0,解得 答案 ∵P?P=(1-3,y-2)=(-5,y-2),12.解析 PP?=(-8-1,3-y)=(-1,3-y), 且P?P=λPP?, ∴(-2,y-2)=λ(-2,3-y), 52 13.解(1)AE=AB+BE=(2eq+e?)+(-e?+λe?)=e? +(1+λ)e?. 答案 因为A,E,C三点共线，所以存在实数 k,使得AE= kEC, 即e?+(1+λ)e?=k(-2e?+e?), 得(1+2k)e?=(k—1-λ)e?. 因为e?,e?是平面内两个不共线的非零向量， k-2-A=0,解得所以 (2)BC=BE+Ec=-3e-2e?=-3(2,1)-2(2, -2)=(-6,-3)一(1,-1)=(-7,-2). (3)因为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边 形，所以AD=BC.设A(x,y),则AD=(3-w,5-y). 因为BC=(-7,-2),所以 5-x=-2,解得 {y=7,即点A的坐标为(10,7). 创新练素能培优 14.解(1)AB=(1,3),AC=(2,4),AD=(-3,5), BD=(-4,2),CD=(-5,1), 56 所以AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)= (—12,8). 由题意，知存在实数m,n, 使得AD+BD+CD=mAB+nAC, 即(-12,8)=m(1,3)+n(2,4)=(m+2n,3m+4n), m+2n==-812,解得{m=322可得 U1T04山 所以AD+BD+CD=32 AB-22 AC=32a-22b. (2)设P(x,y),则AP=(x-1,y+2). 又AP=AB+λAC=(1,3)+λ(2,4)=(1+2x,3+ {3-2=3+4',(=2+4又点P在第四象4λ),则 {+4<0,解得-1<a<-4限，所以 ,故λ的取值范 (-1,-4).围是( 训练九 平面向量数量积的坐标表示 基础练学考测评 1.B 解法一：因为a=(3,4),a—b=(1,2),所以b= a—(a—b)=(2,2),所以 a·b=3×2+4×2=14. 解法二：a·(a-b)=3×1+4×2=11.又a·(a-b)= a2—a·b,所以a·b=a2-11=32+42-11=14. e=(1,),2.D 设向量e是与b同向的单位向量，则 be=e=则向量a在b方向上的投影向量为 -3e=(-3,-323).故选D. 3.B ∵BC=AC-AB,∴n·BC=n·AC-n·AB=7- 5=2. 4.B 因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2= 2a·b.又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2 =1+6bB2=4,从而|bl=2. 5.解析 因为alb,所以a·b=0,即1×(m+1)+(-1)× (2m—4)=0,解得m=5. 答案 5 6.解析 因为OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1, k-2),所以AB=(1,2),AC=(k,k+1)。因为A为钝 角，所以AB·AC<0,所以(1,2)·(k,k+1)<0,即→-→ 3k+2<0,解得k<-3.又AB,AC共线时，2k=k+1, 解得k=1>-3.不符合.则实数k应满足的条件是 k<-3 (-,-3)答案 7.解(1)因为a=(1,-1),b=(-2,1),所以a+b= (2,0),a-b=(3,-2),所以(a+b)·(a-b)=2 ×2+0=4. (2)因为a=(1,-1),b=(-2,1),所以a+2b=(0, cosa,a+2b)=a|a+2)=z×1=-,1),所以 34所以向量a与向量a+2b的夹角为 能力练迁移运用 8.B 由|a-b|=|a+b|,可得|a-b|2=|a+b|2,整理得 a2-2a·b+b2=a2+2a·b+b2,可得a·b=0.又由平 面向量a=(1,m),b=(-1,√3),可得a·b=1×(一1) m=3. 9.C 设P(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1), AP·BP=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x- +√3m=0,解得 3)2+1,故当x=3 时，AP·BP最小，此时点P的坐标 为(3,0). 10.ABC ∵AB=(2,3),AC=(1,b),∴BC=AC-AB= (-1,k-3).若∠A=90°,则AB·AC=2×1+3×k= 0,∴k=-3;若∠B=90°,则AB·BC=2×(-1)十 3(k-3)=0,3k=号；若∠C=90°,则AC·Bo=1× (-1)+k(k-3)=0,:k=3±213.故所求k的值为 一号或号或3±×13. 11.解析 以A为原点，AB所在直线y F为x轴，AD所在直线为y轴建立 D C 平面直角坐标系，设 F(x,2),所以 AE=(√2,1),AF=(x,2),AB= E (√2,0),所以AB·AF=√2x=√2, 所以 x=1,所以F的坐标为(1,2), 所以BF=(1,2)-(√2,0)=(1- A B √2,2),所以AE·BF=√2. 答案 √2 12.解析 因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sinβ),a—b= (cos a—cos β,sin α-sin β),所以(a+b)·(a-b)= (cos a+cos β)(cos a-cos β)+(sin a+sin β)(sin a一 sin β)=cos2a—cos2β+ sin2a-sin2β= sin2α+ cos2a一 (sin2β+cos2β)=0.所以(a+b)⊥(a-b),即a+b与 2a-b的夹角为 2答案 13.解(1)当m=0时，f(x)=√2 sin(x+4)sin x= sinz·(sinx+cos x)=sim2c+sin acos x=1-22+ 2-sm(2a-4)+_,由ae[8,4],得2z- 4∈[0,57].当2-4∈[0,否],即ae[g,8]时， 2a-4∈[2,54],即x∈函数f(x)单调递增；当2 [8,4]时，函数f(x)单调递减. (2)由a//b可得√2msin(x+4)sin(x-4)=sinx· sin(x+4)≠sin(x+4).由 tan x = 2,可 得 0(若sin(a+4)=0,则x=km-4(k∈Z),此时 tan x=-1,与条件矛盾).从而有√2 msin(x-π)= sin x,即 m(sin x—cosx)=sinx,两边同除以 cos x,可 得m(tan x—1)=tan x=2,m=2. 创新练素能培优 14.解(1)当θ=90°时，坐标系xOy为平面直角坐标系， 设点P(x,y),则有OP=(x,y), 而e?=(1,0),OP·e?=x. 57