训练七 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

训练七 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 基础练 学考测评 1.(安徽马鞍山高一月考)如果用i,j分别表 示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且 A(2,3),B(4,2),则AB可以表示为( ) A.2i+3j B.4i+2j C.2i—j D.-2i+j 2.(广东广州期中)已知AB=(5,5),A(2, 3),则点 B的坐标为 ( ) 7.(广西钦州高一期中)如图，平面上 A,B,C 三点的坐标分别为(2,1),(-3,2),(-1,3). (1)写出向量AC,BC的坐标； (2)如果四边形ABCD是平行四边形，求点 D的坐标. y C(-1,3) B(-3,2) A(2,1) o| A.(3,2) B.(7,8) C.(—3,—2) D.(—7,—8) 3.已知四边形 ABCD 为平行四边形，其中 A(5,—1),B(—1,7),C(1,2),则顶点 D 的坐标为 ( ) A.(—7,0) B.(7,6) D.(7,—6)C.(6,7) 4.若{i,j}为正交基底，设a=(x2+x+1)i— (x2—x+1)j(其中x∈R),则向量 a 对应 的坐标位于 ( ) 能力练迁移运用 A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如图，在口ABCD中，AC为一条对角线， 若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD= D C 8.(多选)给出下面几种说法，正确的有( ) A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的 坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为始点，该点为 终点的向量一一对应 A4 B 6.若向量 a=(2x—1,x2+3x—3)与AB相 等，已知 A(1,3),B(2,4),则x= 9.已知集合M={a|a=(1,2)+(3λ?,4λ?), λ?∈R},N={a|a=(—2,—2)十(4λ2, 5λ?),λ?∈R},则MNN等于 ( ) A.{(1,1)} 13 >D ?高中数学·必修 第二册 B.{(1,1),(-2,—2)} C.{(-2,-2)} D.× 10.如果将O=3,绕原点O逆时针方 向旋转120°得到OB,则OB的坐标是 ( ) A.(一1, B.,1 D.[-,1C.(-1,√3) 11.已知向量a=(2m,m),b=(n,—2n),若 a+b=(9,—8)(m,n∈R),则m—n的值 为 12.已知O是坐标原点，点 A在第二象限， |OA|=2,∠xOA=150°,则向量OA的坐 标为 13.已知边长为 2的正三角形 ABC,顶点 A 在坐标原点，AB边在x 轴上，C在第一 象限，D为AC的中点，分别求向量AB, AC,BC,BD的坐标. 创新练 素能培优 14.已知点 O(0,0),A(1,2). (1)若点 B(3t,3t),OP=OA+OB,则t为 何值时，点P在x轴上?t为何值时，点 P在y 轴上? t为何值时，点 P在第二 象限? (2)若 B(4,5),P(1+3t,2+3t),则四边 形 OABP能为平行四边形吗?若能，求t 值；若不能，请说明理由. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 4b)=-4a-06. 10.C ∵P为线段AB上的点，∴存在实数λ使得AP= λAB(O≤A≤1),∴CP=CA+AP=CA+λAB=CA+ λ(CB-CA)=(1-x)CA+λCB(O≤A≤1).又CP= a+*0,--wy=12(1-λ)λ= -12(a-去)2+3≤3,当且仅当；a=2时，等号成立， 故 xy的最大值是3. 11.解析 如图，∵EC=2 AE,∴BE E =AE-AB=1AC-AB,EM=B4 M Ec+cM=3AC+2CB=-AC +(AB-AC)=2AB+1A. 3Ac-AB AB+1AC答案 C 12.解析 因为PQ=AQ-AP=xAB-yAD, 由PQ//BE,可设PQ=λBE, 即xAB-yAD=λ(CE-CB)=λ(-1AB+AD) =-会AB+λAD,所以=言“- 答案 C13.证 明 如图，AD,BE,CF 是 △ABC的三条中线. E令AC=a,BC=b,则AB=AC- D C(G)BC=a-b,AD=AC+CD=a- A F 2b,BE=BC+CE=--a+b. B 令AD与BE 交于点G?,并假设AG?=λAD,BG= μBE, 则有AG?=xa-合b,BG?=-臣a+,b. 又AG?=AB+BG=(1-些)a+(μ-1)b, --1解得。λ=μ=3,∴AG?=3AD. 再令AD与CF相交于点G?,同理可得AG?=3AD. ∴G?与G?重合，即 AD,BE,CF相交于同一点。故三 角形的三条中线交于一点。 创新练素能培优 14.解(1)连接 AO,因为OC=2OB, AB=mAM,AC=nAN, 所以AO=3AB+3AC=3mAM+3nA? 因为M,O,N共线，所以3m+3n=1,,则2m+n=3. m+n≥2+√2等价于n+n≥(2)显然 t>0,所以 2+/2,即((m+n)_≥2+12. 1+n=.因为 3(m+n)(2m+n)=3(3+2m+”)≥1+232, m=3-32,n=3√2-3时，n当且仅当n=√2m,即 取到最小值，为1+232=×2+12,+ ,于是 (2+12≥2+12,t≥6-3√2.故实数t的最小整 数值是2. 训练七 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 基础练学考测评 1.C 因为A(2,3),B(4,2),所以AB=(2,-1),所以AB =2i-j.故选C. 2.B 设B(x,y),则AB=(x,y)—(2,3)=(x-2,y-3), :{y-3=5, {y=8,-B(7,8).解得 3.D 设 D(x,y),因为AD=BC,所以(x-5,y+1)=(2, -5),所以x=7,y=-6.所以 D(7,-6). 4.D x2+a+1=(a+2)+4>0,z2-a+1=(a-2) +3>0,,所以向量a对应的坐标位于第四象限. 5.解析_BC=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),BD= BC+CD=BC-AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5). 答案(-3,-5) 6.解析 ∵AB=(2,4)-(1,3)=(1,1),AB=a, :{2+32-3=1,解得x=1. 答案 1 7.解(1)AC=(-1-2,3-1)=(-3,2),BC=(-1+3, 3-2)=(2,1). (2)设 D(x,y),则AD=(x-2,y-1).因为四边形 {"-2=2,解ABCD是平行四边形，所以BC=AD,所以 y=2,所以 D(4,2).得 能力练迁移运用 8.ABD 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无 数个相等的向量，故C错误. 9.C 令(1,2)+(3λ,4λ?)=(-2,-2)+(4λ2,5λ2), 即(1+3λ?,2+4λ?)=(-2+4λ2,-2+5λ2), {2+4=二2+6,解得(=-1, M∩N={(-2,-2)}. 10.D 设OA绕原点O逆时针方向旋转 120°得到的OB的 坐标为(x,y), 则x=1OAlcos(120°+30°)=-3, yA B y=10A|sin(120°+30°)=2, 120°30° A o(-,1),由此可知 B点坐标为 x (-3,1).故OB的坐标是 11.解析a+b=(2m+n,m—2n)=(9,—8), :{2-2n=9-8,*{m=5,m-n=2-5=-3. 答案 -3 55 12.解析 过A分别作AM,AN垂直于x轴、y轴，垂足为 M,N,易知 AM=1,AN=√3, ∴A(-√3,1),∴OA=(-√3,1). 答案(一√3,1) 13.解 如图，正三角形 ABC的 y* 边长为2, C 则顶点 A(0,0),B(2,0), C(2cos 60°,2sin 60°), D ∴C1,3),D(1,g), o B (A) ∴AB=(2,0),AC=(1,√3), BC=(1-2,√3-0)=(-1,√3), BD=(1-2,3-0)=(-3,3). 4.(l-a+o=0.2)+(3,30=a+3.2+30 若点P在x轴上，则2+3t=0,∴t=-3. 若点P在y轴上，则1+3t=0,∴t=-3 +3<>0,若点P在第二象限，则 ∴-3<i<-3. (2)不能。理由如下： OA=(1,2),PB=OB-OP=(3-3t,3-3t). 若四边形OABP为平行四边形，则OA=PB, :{3-3(=2,该方程组无解. 故四边形 OABP不能成为平行四边形. 训练八 平面向量数乘运算的坐标表示 基础练学考测评 1.B 由题意得2a=(-6,8),3b=(15,6),所以2a-3b= (-21,2). 2.B Co=--Ac=-2(AD+AB)=-2(1,10) =(-2,-5). 3.B 由题可知，BC=AC-AB=(-1,-2),选项B的向 量与其相等，故选 B. 4.C 如图所示，由题意，设C(x,—a),则 y OC=(x,一x).又因为 A(-3,0), B C B(0,2),所以λOA+(1—λ)OB= A 0 {-a=2-2x,解(-3λ,2—2λ),所以 得λ=号. 5.A 设P(x,y),则PN=(10-x,-2-y),PM=(-2- x,7-y).由PN=-2 PM,得 -2-=-2(-7-),则{{y=4,即P(2,4). 6.解析 由已知，可得(1,2)十(一3,5)=λ(4,x),所以 a=-章{4A=72'解得 λ+x=-.’所以 -29答案 7.解(1)因为a=(2,1),b=(1,1), 所以a+b=(2,1)十(1,1)=(3,2). (2)因为b=(1,1),c=(5,2), 所以m=λb+c=λ(1,1)+(5,2)=(λ+5,λ+2). 又因为a=(2,1),且a与m 平行， 所以2(λ+2)=λ+5,解得λ=1. 能力练迁移运用 8.ABC 只有D正确，可令m=0,则ma+b=b,无论x为 何值，都有b//b. 9.B∵向量a=(1,2),b=(0,1),∴ka—b=k(1,2)一 (0,1)=(k,2k—1),a+2b=(1,2)+2(0,1)=(1,4).又 ka-b与a+2b共线，∴4k=2k-1,解得k=-2 10.ABD 若点 A,B,C能构成三角形，则 A,B,C三点不 共线，即向量AB,BC不共线。 由于向量OA=(1,-3),OB=(-2,1),0c=(t+3, t-8), 故AB=OB-OA=(-3,4),BC=Oc-OB=(1+5, t-9). 若A,B,C三点不共线， 则一3(t—9)-4(t+5)≠0,∴t≠1. 11.解析 由a=(3,2),b=(2,—1),得 ma+nb=(3m十 2n,2m—n),a+2b=(7,0).因为ma+nb与a+2b共 n=2.线，所以14m-7n=0,解得 答案 ∵P?P=(1-3,y-2)=(-5,y-2),12.解析 PP?=(-8-1,3-y)=(-1,3-y), 且P?P=λPP?, ∴(-2,y-2)=λ(-2,3-y), 52 13.解(1)AE=AB+BE=(2eq+e?)+(-e?+λe?)=e? +(1+λ)e?. 答案 因为A,E,C三点共线，所以存在实数 k,使得AE= kEC, 即e?+(1+λ)e?=k(-2e?+e?), 得(1+2k)e?=(k—1-λ)e?. 因为e?,e?是平面内两个不共线的非零向量， k-2-A=0,解得所以 (2)BC=BE+Ec=-3e-2e?=-3(2,1)-2(2, -2)=(-6,-3)一(1,-1)=(-7,-2). (3)因为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边 形，所以AD=BC.设A(x,y),则AD=(3-w,5-y). 因为BC=(-7,-2),所以 5-x=-2,解得 {y=7,即点A的坐标为(10,7). 创新练素能培优 14.解(1)AB=(1,3),AC=(2,4),AD=(-3,5), BD=(-4,2),CD=(-5,1), 56