训练五 向量的数量积-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

则AB=-2 BC,即λ=-2. 综上，λ=±2. 答案 ±2 12.解析∵△ABC中，D为 BC边的中点，E为AD的 中点，∴AE=-AD=4(AB+AC). ∵AB=m AM,Ac=nAN,∴AE=AM+ME= nAB+ME=4(AB+AC),∴ME=(4-n)AB +4AC,同理NE=4AB+(4-1)Ac.∵ME与 NE共线，∴存在实数λ,使ME=λ NE(a<0), 即(4-1)AB+4Ac=λ[4AB+(4-1)Ac], -)·: +络-解得 cmAcC:X- 且m+n=4,.mn≤(m去”)2=4,,当且仅当 m=n=2 n 4,时取等号，此时 有最小值 ,则有M,N 分别为 S .AB,AC的中点时， 取得最小值为 43答案 13.证明 因为BM=去BA,BN=gBD=÷(BA+BC), 所以MN=BN-BM =3BA+gBC--BA=gBC-?BA, ① Mc=BC-BM=BC-1BA, ② 乙 由①②可知MC=3MN,所以MC与MN共线且有公共 点M,所以M,N,C三点共线。 创新练素能培优 14.解(1)由A是BC的中点，则有OA=1(OB+0c), 所以OC=20A-OB=2a-b; 由 D是将OB分成 2:1的一个内分点， 得OD=3oB, 所以Dc=0c-oD=(2a-b)-3b=2a-5b (2)由于C,E,D三点共线，则EC=μDC. 又EC=Oc-OE=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b, DC=2a-5b, 所以(2-λ)a-b=r(2a-5b).-解得λ=号.又 a,b不共线，则 训练五 向量的数量积 基础练学考测评 1.AD A √ 根据向量的运算律可知，A正确 B × (a·b)c表示与向量c共线的向量，a(b·c) 表示与向量 a 共线的向量，则(a·b)c与 a(b·c)不一定相等 C X 当两个非零向量 a与b的方向相反时， a·b=—|a||b|<0,此时a与b的夹角为180°, 不是钝角 若 a与b中至少有一个零向量，则|a·b|= |a||b|=0,此时 a与b共线；若a与b均为非 零向量，设a与b的夹角为θ,则|a·b|=D √ |a||bl|cos θ|=|allb|,可得cos θ=±1. 又0≤0≤π,所以0=0或π,即 a与b共线，反 之也成立。综上，|a·b|=|a||b|?a//b 2.C 因为|a|=2,a·(a-b)=a2-a·b=|a|2-a·b=5, 所以a·b=—1.设向量a与b的夹角为θ,则 cos θ= Iab=2x1=-2.因为θ∈[0,π],所以0=3g. 3.B 因为(a-b)·b=1×1×1=1,所以a·b-b2=2, 则a·b=2,,故向量 a 在向量 b 上的投影向量为 lalcos(a,b)b=lal·abb=2b. 4.B OB+0c-2 OA=(OB-OA)+(Oc-OA)=AB+ AC,oB-oc=CB=AB-AC,所以AB+ACl=IAB- AC|,所以|AB+ACI2=|AB-AC|2,即AB·AC=0,所 以 AB⊥AC,故△ABC为直角三角形. ∵cos0=ialb=号(θ为a与b的夹角),5.解析 ∴|alcos θe=号e. e答案 6.解析 由题意，可得任意两向量的夹角是0°或120°?? a,b,c两两夹角为0°时，a,b,c方向相同，则|a+2b+c|= 5;当a,b,c两两夹角为 120°时，由于|a|=|b|=1, |c|=2,故|a+2b+c|2=a2+4b2+c2+4a·b+2a·c十 4b·c=12+4×12+22+4×1×1×cos 120°+2×1×2 Xcos120°+4×1×2×cos 120°=1,即|a+2b+c|2=1,得 |a+2b+c|=1.综上，|a+2b+c|=5或1. 答案 1或5 7.解 因为(3a+b)·(a-2b)=—16,所以3a2—5a·b— 2b2=—16,即3×22—5a·b-2×32=—16,解得a·b=2. (1)若(a—λb)⊥(a+b),则(a—λb)·(a+b)=0,即a2 十(1—λ)a·b—λb2=0,即22+2(1—λ)一λ×32=0,解 得λ= (2)因为a·(a-2b)=a2-2a·b=22-2×2=0,所以 cos(a,a-2b)=1a|a-26)=0,即a与a-2b的夹角 的余弦值为0. 能力练迁移运用 8.D ∵(a-mb)⊥a,∴(a—mb)·a=0,∴a2—ma·b= 0,即9-m×3×2×cos60°=0,im=3. 9.B∵AC·AB>|AB|2,∴AC·AB—AB2>0, ∴AB·(AC-AB)>0,即AB·BC>0,∴BA·BC<0, 即 cos∠ABC<0,∴∠ABC为钝角。 53 10.AD 设b与c的夹角为0,则|b+c|2=|b|2+|cl2+ 2b·c=20+2b·c=12,所以b·c=-4,所以 cos θ= be=-1.又o≤≤π,所以0=g..由题意得a·b =2,a·c=4,则|a+2b|=√(a+2b)2=2√7,|b—λc| =√(b—λc)2=√16x2+8λ+4,(a+2b)·(b—λc)= a+2bb--e =4λ 十 10, 所 以 2√×√16x+8x+4=2, λ=-4,解得 或λ=1. 1b|=3,11.解析 由题意，得 ,解得 icosθ=a|b=6×3=-2. ∵0°≤0≤180°,∴θ=120°. 答案 120° 12.解析 由题意可知a·b=|a||b|cos 60°=2×3× l_ =3.于是(a+λb)·(λa+b)=λa2十(λ2+1)a·b十 λb2=3λ2+13λ+3. a+λb与λa+b的夹角为锐角，∴3x2+13λ+3>0, 解得λ>×133-13或a<=136√133..当λ=1 时， a+λb与λa+b共线，其夹角为0°,不符合题意，故实数 λ的取值范围是(—～,—13—133)u(～133—13, 1)U(1,+o). (-o,-13-6√133)u(√133-13,1)U(1,答案 十0) 13.解(1)因为AB=OB-OA=4e?-2e?,所以|AB|= √(4e?-2e?)2= √16e3+4e2-16|e?|le? cos 60°= √16+4-16×1=2√3. (2)AC=oc-OA=(t-1)e?-3e,BC=oc-OB=(t -5)e?-e?.若△ABC是以AB为斜边的直角三角形， 则 ACLBC,即AC·BC=0,则AC·BC=[(t-1)e?- 3e?]·[(t-5)e?-e?]=(t-1)(t-5)+3-[(t-1)+ 3(t-5)]×2=0,化简得t2-8t+16=0,解得t=4.所 以存在t=4 满足条件. 创新练素能培优 14.解(1)当 bLc时，b·c=0, 即b·c=.xa·b+(1-x)b2=0, -5za+5(1-a)=0,解得x=2. (2)c2=x2a2+2x(1-x)a·b+(1-x)2b2 =25x2-20x+5=25(a-号)2+1, ,c=5a+号b.当x=号时，Ie|取最小值1,此时，C 设向量a与c的夹角为0, 则a·e=lallelcos o=a·(5a+号b)=1, coso=10解得 ,故当|c|取最小值时，向量a与c的 0夹角的余弦值为 训练六 平面向量基本定理 基础练学考测评 1.A A 因为2e?-4e?=-2(2e?-e?),所以2e?-e?和2e? -4e?共线，不能作为基底 B 设 e?+e?=λ(e?— 2e?)= λe?— 2λe?,则 {-=x=1,无解，故 e?+e?和e?-2e?不共线，能作 为基底 C 与B同理可得e?-2e?和e?不共线，e?+e?和2e? +e?也不共线，均能作为基底D 由以上分析知选A. 2.D 当 e?//e?时，a//e?.因为b=2e?,所以 b//e?.又因为 e?≠0,所以a与b共线；当λ=0时，a//e?,因为b=2e?, 所以b//e?.又因为e?≠0,所以a与b共线。故选D. 3.C 因为A,B,D三点共线，所以存在实数t,使AD= tAB,则CD-CA=t(CB-CA).所以CD=CA+ --喜t(CB-CA)=(1-t)CA+tCB.所以 ’解得 a=-3 4.A 因为EF=ED+DF=-2AB-gAD,xAC+ yAB=x(AB+AD)+yAB=(x+y)AB+xAD,所以 x+y=-2.故选 A. 5.解析 因为a=4e?-2e?与b=-2e?+λe?共线，所以存 在实数t,使a=tb,即4e?-2e?=t(-2e?+λe?)=-2te? {-==2,十λte?,所以 解得λ=1. 答案 1 AG=AB+BE+EG=a+ib+4BD=a+6.解析 2b+4b-4a=4a+3b 4a+3b答案 7.解 ∵AB=m,CA=n, ∴BC=-m-n, :.DE=Dc+CE=3BC+4cA =-3m-3n+4n=-3m-i2n. EF=EA+AF=4C+2AB=4n+2m. FD=FB+BD=1AB+号BC=_m+3(-m-n)= 6m-gn. 能力练迁移运用 8.AD 由平面向量基本定理，可知 A,D说法正确，B说 法错误，对于C,当λ?=λ?=μ?=μ?=0时，这样的λ有无 数个，故C说法错误。 9.C 在平行四边形 ABCD 中，AB=a,AD=b,所以 AC=a+b,所以AM=4MC=4AC=4(a+b).因为 P为AD的中点，所以MP=AP-AM=2b-(4a+ 54 训练五 向量的数量积 AI伴学助手 在线答疑 墨 日排酉原信扫码 基础练学考测评 1.(多选)(深圳龙岗区高一期中)关于平面向 量 a,b,c,下列说法中正确的是 ( ) A.(a+b)·c=a·c+b·c 7.(江西赣州高一联考)已知向量a,b满足|a| =2,|b|=3,且(3a+b)·(a-2b)=—16. (1)若(a—λb)⊥(a+b),求实数λ的值； (2)求a与a-2b的夹角的余弦值. B.(a·b)c=a(b·c) C.若 a·b<0,则a与b的夹角为钝角 D.|a·b|=|a||b|?a//b 2.已知平面向量 a,b满足|a|=2,|b|=1,a ·(a—b)=5,则向量a与b的夹角为 ( ) c.3 D.6A.6 B.弯 3.(山西大同高一下联考)已知向量a—b与 向量b 均为单位向量，且它们的夹角为 60°,则向量 a在向量b上的投影向量为 ( ) A.-2a B.2b c.-_b D.3a 4.若 O是△ABC所在平面内一点，且满足 |OB-oC|=|OB+OC-20A|,则△ABC 的形状为 ( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 5.已知|a|=3,|b|=5,a·b=12,b方向上 的单位向量为e,则向量a在向量b上的投 影向量为 6.平面向量 a,b,c两两夹角都相等，且|a|= b|=1,|c|=2,则|a+2b+c|= 能力练 迁移运用 8.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a 与b的夹角为60°,若(a—mb)⊥a,则实数 m的值为 ( ) B.A.1 D.3C.2 9.在△ABC中，若AC·AB>|AB|2,则该三 角形为 ( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 9 ?高中数学·必修 第二册 10.(多选)已知向量 a,b,c满足|b+c|= 2√3,且|a|=|b=2,|c|=4,向量a与 3,b,a与c,a+2b与b—λc的夹角都是 则λ的值可能为 ( ) A.-4 B.4 C.-1 D.1 11.已知 a·b=-9,e?,e?分别是与 a,b方向 相同的单位向量，a在b上的投影向量为 -3e,则a—3e?,b在a上的投影向量为 与b的夹角θ= 12.已知向量a与b的夹角为60°,且|a|=2, |b|=3.若a+λb与λa+b的夹角为锐 角，则实数λ的取值范围为 13.(江苏无锡高一期末)在平面直角坐标系 中，0为坐标原点，已知 e?,e2是两个夹角 为60°的单位向量，OA=e?+3e?,OB= 5e?+e?. (1)求|AB|; (2)设OC=te?,是否存在实数 t,使得 △ABC是以 AB为斜边的直角三角形? 若存在，求出t的值；若不存在，请说明 理由. 创新练 素能培优 14.已知向量 a,b,c满足|a|=√10,|b|= √5,a·b=-5,c=xa+(1-x)b. (1)若b⊥c,求实数x的值； (2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹 角的余弦值. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯0