训练四 向量的数乘运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

训练四 向量的数乘运算 基础练 学考测评 1.(多选)已知 m,n是实数，a,b是向量，则下 ( )列命题中正确的为 A.m(a—b)=ma—mb B.(m—n)a=ma —na C.若ma=mb,则a=b D.若 ma=na,则m=n 2.设四边形 ABCD 中，有AB=3 DC且 |AD|=|BC|,则这个四边形是 ( ) B.矩形A.平行四边形 C.等腰梯形 D.菱形 3.若向量a=2e?+e?,b=—2e?+3e?,则下列 向量中与向量2a+b共线的是() A.—5e?+2e? B.4e?+10e? C.10e?+4e? D.e?+2e? 4.已知△ABC中，BC边上的中线为AD,点 O满足AO=2 OD,则OC=( ) A.-÷AB+3AC B.3AB--AC c. -AB-3AC D.-3AB+3AC 5.设 a,b是两个不共线的向量.若向量 ka十 2b与8a+kb 的方向相反，则k= 6.已知 O,A,B是平面内任意三点，点P在 直线AB上，若OP=3 OA+xOB,则x= 7.设e?,e?是两个不共线的向量，已知AB= 2e?-8e?,CB=e?+3e?,CD=2e?-e?. (1)求证 A,B,D三点共线； (2)若BF=3e-ke?,且BF//BD,求实数k 的值. 能力练 迁移运用 8.已知G为△ABC的重心，DG=--AG, 则AD= ( ) B. AB+3ACA. sAB+1AC c. AB+3AC D. AB+÷AC 9.在平行四边形 ABCD中，AC与 BD 交于 点O,E是线段OD 的中点，AE的延长线 与CD交于点F,若AC=a,BD=b,则AF 等于 ( ) B. a+3bA.4a+2b c.za+4b D.3a+3b 10.(湖北随州高一期中)古希腊数学家欧多 克索斯在深入研究比例理论时，提出了分 线段的“中末比”问题：将一线段 AB分为 两线段 AC,CB,如图①所示，使得其中较 长的一段 AC是全长与另一段CB 的比 AG=BC=5-1,后人例中项，即满足 把这个数称为黄金分割数，把点C称为 线段 AB的黄金分割点.如图②所示，在 △ABC中，若点 P,Q为线段 BC的两个 7 ?高中数学·必修 第二册 黄金分割点，设AP=x?AB+y? AC,AQ =x?AB+y?AC,则二+y等于( ) A A CB B PQ C 图① 图② A.5+1 B.2 C.√5 D.√5+1 11.若|AB|=2|BC|,且AB=λBC,则λ= A12.(山东泰安高一月考)如 N图，在△ABC中，D为边 EMBC中点，经过 AD 中点 B CDE 的直线分别交线 段 AB,AC于点M,N,若AB=mAM,AC= nAN,则m+n= _;该直线将原 三角形分成的两部分，即三角形 AMN与 四边 形 BCNM 面积之 比的最小 值 是 D C13.如图，在平行 四边 形 N ABCD 中，点M是 AB MA B 的中点，点N在BD上， 且 BN= BD,求证：M,N,C三点共线. 创新练 素能培优 14.如图，已知△OCB中，点 A是 BC的中 点，D是将 OB 分成 2:1 B b的一个内分点，DC和 OA Aa交于 点 E,设 OA= a.0 C OB=b. (1)用a,b表示向量OC,DC; (2)若OE=λOA,求λ的值. 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ s=2mn≤1×m,n,则m2+n2=4,三角形面积 m3+n=1,当且仅当m=n=√2时等号成立。 11.解析 如图，延长CB至点D,使CB=BD,连接AD. C A 60° B 120° D 在△ABD中，AB=BD=1,∠ABD=120°, AB-BC=AB+CB=AB+BD=AD. 易求得AD=√3,即|AD|=√3. 所以|AB-BC|=√3. 答案√3 12.解析如图，设OA=a,OB=b,B C 则|BA|=|a-b|.以OA,OB为 邻边作平行四边形OACB,则 |oC|=|a+b|.由于(√7+1)2+o A (√7-1)2=42,因此|OA|2+|OB|2=|BA|2,因此 △OAB是直角三角形，∠AOB=90°,从而OALOB, 所以平行四边形OACB是矩形.根据矩形的对角线相 等，得1Oc|=|BA|=4,即|a+b|=4. 答案4 → 13.解(1)AC=AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b. 若a+b与a—b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD. 因为当|a|=|b|时，四边形ABCD为菱形， 此时AC⊥BD,故当a,b满足|a|=|b|时， a+b与a—b所在的直线互相垂直。 (2)不可能。因为□ABCD的两对角线不可能平行， 所以a+b与a—b不可能为共线向量，更不可能为相 等向量。 创新练素能培优 14.证明 因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°, 所以CA=CB.又M是斜边AB的中点， 所以CM=AM=BM. (1)因为CM-CA=AM,又|AM|=|CM|, 所以|a-b|=|a|. (2)因为M是斜边AB的中点，所以AM=MB, 所以a+(a-b)=CM+(CM-CA) =CM+AM=CM+MB=CB, 因为|CA|=|CB|, 所以|a+(a-b)|=|b|. 训练四 向量的数乘运算 基础练学考测评 1.AB A正确；B正确；C错误，由ma=mb得m(a—b)= 0,当m=0时也成立，推不出a=b;D错误，由ma=na 得(m—n)a=0,当a=0时也成立，推不出m=n. Dc=3AB,所以AB//DC且AB≠DC,所以2.C因为 四边形ABCD是梯形.又|AD|=|BC|,所以四边形 ABCD是等腰梯形. 3.B因为向量a=2e?+e?,b=-2e?+3e?,所以2a+b= 2e?+5e?.又4e?+10e?=2(2e?+5e?),所以B选项与 2a+b共线.故选B. 4.A如图所示，∵D为BC的中 A 点，∴AD=-AB+1Ac.∵AO o=20D,∴Ao=3AD=1AB B4 D+÷AC,:oc=Ac-Ao=AC -(3AB+÷AC)=-3AB+-AC,,故选A. c 5.解析 因为向量ka +2b与8a+kb的方向相反，所以 ka+2b=λ(8a+kb)→k=8λ,2=λk→k=—4(因为方向 相反，所以λ<0→k<0). 答案-4 6.解析因为点P在直线AB上，所以AP=λAB,λ∈R, OP-OA=λ(OB-OA),即OP=λOB+(1-λ)OA,所 以{A=a=3所以x=-2. 答案-2 7.解(1)证明：由已知可得BD=CD-CB=e?-4e?,AB =2(e-4e?)=2 BD>AB//BD. ∵AB与BD有公共点B,∴A,B,D三点共线 (2)∵BF//BD,∴存在实数λ,使BF=λBD, ∴3e?-ke?=λe?—4λe2,∴(3-λ)e?=(k—4λ)e?. k-4x=0,又∵e?,e2不共线，∴ 解得k=12. 能力练迁移运用 D=-2AG,8.D如图所示，因为 A 所以A,G,D三点共线.又因为G c. 为△ABC的重心，所以D为BC AD=2AB+2AC.故B4 c的中点，故 D 选D. 9.D ∵△DEFCO△BEA,∴AB=BB=3, ∴.DF=3AB=3DC, :AF=AD+DF=Ab+3AB. ∵AC=AB+AD=a,BD=AD-AB=b, ∴AB=2(a-b),AD=2(a+b), ∴AF=2(a+b)+号(a-b)=3a+3b. 10.C由题意知AP=AB+BP=AB+(1-5-1)·B =AB+3-25(Ac-AB)=(1-3-5)AB+ 3-25Ac=5-1AB+3-5AC,同理，AQ=AB+ BQ=AB+5-1Bc=AB+5-1(Ac-AB)= 3-5AB+×?-1AC.∴x?=v=5-1,x?=y= 3-25,.+=3--5+3-1=、5. 11.解析(1)当点C在线段的延长线上时，如图. A BC 则AB=2 BC,则λ=2. (2)当点C在线段上时，如图. AC B 52 则AB=-2 BC,即λ=-2. 综上，λ=±2. 答案 ±2 12.解析∵△ABC中，D为 BC边的中点，E为AD的 中点，∴AE=-AD=4(AB+AC). ∵AB=m AM,Ac=nAN,∴AE=AM+ME= nAB+ME=4(AB+AC),∴ME=(4-n)AB +4AC,同理NE=4AB+(4-1)Ac.∵ME与 NE共线，∴存在实数λ,使ME=λ NE(a<0), 即(4-1)AB+4Ac=λ[4AB+(4-1)Ac], -)·: +络-解得 cmAcC:X- 且m+n=4,.mn≤(m去”)2=4,,当且仅当 m=n=2 n 4,时取等号，此时 有最小值 ,则有M,N 分别为 S .AB,AC的中点时， 取得最小值为 43答案 13.证明 因为BM=去BA,BN=gBD=÷(BA+BC), 所以MN=BN-BM =3BA+gBC--BA=gBC-?BA, ① Mc=BC-BM=BC-1BA, ② 乙 由①②可知MC=3MN,所以MC与MN共线且有公共 点M,所以M,N,C三点共线。 创新练素能培优 14.解(1)由A是BC的中点，则有OA=1(OB+0c), 所以OC=20A-OB=2a-b; 由 D是将OB分成 2:1的一个内分点， 得OD=3oB, 所以Dc=0c-oD=(2a-b)-3b=2a-5b (2)由于C,E,D三点共线，则EC=μDC. 又EC=Oc-OE=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b, DC=2a-5b, 所以(2-λ)a-b=r(2a-5b).-解得λ=号.又 a,b不共线，则 训练五 向量的数量积 基础练学考测评 1.AD A √ 根据向量的运算律可知，A正确 B × (a·b)c表示与向量c共线的向量，a(b·c) 表示与向量 a 共线的向量，则(a·b)c与 a(b·c)不一定相等 C X 当两个非零向量 a与b的方向相反时， a·b=—|a||b|<0,此时a与b的夹角为180°, 不是钝角 若 a与b中至少有一个零向量，则|a·b|= |a||b|=0,此时 a与b共线；若a与b均为非 零向量，设a与b的夹角为θ,则|a·b|=D √ |a||bl|cos θ|=|allb|,可得cos θ=±1. 又0≤0≤π,所以0=0或π,即 a与b共线，反 之也成立。综上，|a·b|=|a||b|?a//b 2.C 因为|a|=2,a·(a-b)=a2-a·b=|a|2-a·b=5, 所以a·b=—1.设向量a与b的夹角为θ,则 cos θ= Iab=2x1=-2.因为θ∈[0,π],所以0=3g. 3.B 因为(a-b)·b=1×1×1=1,所以a·b-b2=2, 则a·b=2,,故向量 a 在向量 b 上的投影向量为 lalcos(a,b)b=lal·abb=2b. 4.B OB+0c-2 OA=(OB-OA)+(Oc-OA)=AB+ AC,oB-oc=CB=AB-AC,所以AB+ACl=IAB- AC|,所以|AB+ACI2=|AB-AC|2,即AB·AC=0,所 以 AB⊥AC,故△ABC为直角三角形. ∵cos0=ialb=号(θ为a与b的夹角),5.解析 ∴|alcos θe=号e. e答案 6.解析 由题意，可得任意两向量的夹角是0°或120°?? a,b,c两两夹角为0°时，a,b,c方向相同，则|a+2b+c|= 5;当a,b,c两两夹角为 120°时，由于|a|=|b|=1, |c|=2,故|a+2b+c|2=a2+4b2+c2+4a·b+2a·c十 4b·c=12+4×12+22+4×1×1×cos 120°+2×1×2 Xcos120°+4×1×2×cos 120°=1,即|a+2b+c|2=1,得 |a+2b+c|=1.综上，|a+2b+c|=5或1. 答案 1或5 7.解 因为(3a+b)·(a-2b)=—16,所以3a2—5a·b— 2b2=—16,即3×22—5a·b-2×32=—16,解得a·b=2. (1)若(a—λb)⊥(a+b),则(a—λb)·(a+b)=0,即a2 十(1—λ)a·b—λb2=0,即22+2(1—λ)一λ×32=0,解 得λ= (2)因为a·(a-2b)=a2-2a·b=22-2×2=0,所以 cos(a,a-2b)=1a|a-26)=0,即a与a-2b的夹角 的余弦值为0. 能力练迁移运用 8.D ∵(a-mb)⊥a,∴(a—mb)·a=0,∴a2—ma·b= 0,即9-m×3×2×cos60°=0,im=3. 9.B∵AC·AB>|AB|2,∴AC·AB—AB2>0, ∴AB·(AC-AB)>0,即AB·BC>0,∴BA·BC<0, 即 cos∠ABC<0,∴∠ABC为钝角。 53