训练三 向量的减法运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

训练三 向量的减法运算 基础练 学考测评 1.在平行四边形 ABCD中，AB+CB-DC= ( ) B.ACA.BC —→c.DA D. BD→ 2.下列式子中不能化简为AD的是 ( ) A.(AB+CD)+BC B.(AD+MB)+(BC+CM) c.(MB+AD)-BM D.(Oc-OA)+CD ( )3.(多选)下列式子中正确的有 A.a—0=a B.a—b=—(b—a) C.AB+BA≠0 D.AC=DC+AB+BD 4.(山东临沂高一期中)在四边形 ABCD中， AC-AB=AD,|BC+BA|=|AD-Cb, ( )则四边形ABCD一定是 A.矩形 B.菱形 C.梯形 D.正方形 5.如图，在四边形 ABCD中，设 AB=a,AD=b,BC=c,则 DC可用a,b,c表示为 D C A B 6.如图，在梯形 ABCD中， A D AD//BC,AC与 BD交于 0点，则BA-BC-OA+ OD+DA= 0 B C 7.如图，已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d, OF=f,试用a,b,c,d,f表示以下向量. —→ (1)AC; —→ (2)AD; (3)AD-AB; (4)AB+CF; (5)BF-BD. F B A o D C 能力练迁移运用 8.(多选)给出下面四个推论，其中正确的是 ( ) A.若线段 AC= AB+BC,则向量AC= → AB+BC B.若向量AC=AB+BC,则线段AC= AB+BC C.若向量 AB与BC共线，则线段 AC= AB+BC D.若向量AB与BC反向共线，则|AB- BC|=|AB+BCI 9.若非零不共线向量a,b满足|a+b|=|b|, 则 ( ) A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b 5 ?高中数学·必修 第二册 10.设向量 a,b满足|a+b|=|a—b|=2,则 以|a|,|b|,|a—b|为边长的三角形面积 最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.在△ABC中，|AB|=|BC|=|CA|=1, 则|AB-BC|= 12.已知非零向量 a,b满足|a|=√7+1, 创新练 素能培优 14.已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB= 90°,M是斜边 AB的中点，CM=a.CA= b.求证： (1)|a—b|=|a|; C (2)|a+(a—b)|=|b|. A M B b|=√7-1,且|a—b|=4,则|a+b|= 13.如图，在口ABCD中，AB=a,AD=b. (1)当 a,b满足什么条件时，a+b与a—b 所在的直线互相垂直? (2)a+b与a—b有可能为相等向量吗? 为什么? D C b/ A a B A t d1 1 (⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 4.ACD a与b反向，且|a|>|b|,则a+b与a 同向，所以 选项B错误；a与b同向，则a+b与a 同向，也与b同 向。故选ACD. 5.解析 在菱形 ABCD中，连接 BD(图略),∵∠DAB= 60°,∴△BAD为等边三角形。 又∵|AB|=1,∴|BD|=1,|BC+CD|=|BD|=1. 答案 1 6.解析 由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b知0≤|a+b|≤ 4,当|a+b|取得最大值时，向量a,b的方向相同。 答案 [0,4] 相同 7.证明 ∵D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中 点，∴EF//AD,DE//AF,∴四边形 ADEF为平行四边 形，由向量加法的平行四边形法则，得ED+EF=EA ①.同理，在平行四边形 BEFD中，FD+FE=FB②.在 平行四边形CFDE中，DF+DE=DC③.由①②③得 EA+FB+DC=ED+EF+FD+FE+DF+DE=(EF +FE)+(ED+DE)+(FD+DF)=0. 能力练迁移运用 8.A 若a和b方向相同，则它们和的方向应该与a(或b) 的方向相同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模， 则它们和的方向与a的方向相同.故选 A. B C9.D PA+PB=PC,根据平行四边形 法则，如图，则点 P在△ABC外部. 故选D. P A 10.ACD 当a+b=0时，知 A不正确； 由向量加法的三角形法则知B正确；当 A,B,C三点共 线时知C不正确；当向量a与向量b方向不相同时|a +b|≠|a|+|b|,故D不正确。 11.解析 如图，设船在静水中的速度为 ? |v?I=10√3 km/h,河水的流速为|v?I =10 km/h,小船实际航行速度为 v。,1309t 则由|v?I2+|v?I2=|v?I2, 得(10√3)2+102=|v?I2,所以|v。= 20 km/h,即小船实际航行速度的大小为20 km/h. 答案 20 12.解(1)DG+EA+CB=Gc+BE+CB=Gc+CB+ BE=GB+BE=GE. (2)EG+CG+DA+EB=EG+GD+DA+AE =ED+DA+AE=EA+AE=0. 13.解 AB,BC分别表示飞机从A 地按北偏东 35°的方向 飞行 800 km,从 B地按南偏东55°的方向飞行800 km, 则飞机飞行的路程指的是|AB|+|BC|; 两次飞行的位移的和指的是AB+BC=AC. 依题意，有|AB|+|BC|=800+800=1600(km). 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°, ACl=√IABl2+|BCl2=√8002+800°=所以 800√2(km). 其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°. 这架飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移的 和为800√2 km,方向为北偏东80°. 创新练素能培优 14.解(1)在平面内任取一点O,作 OA=a,AB=b,BC=c,CD=d, 则OD=a+b+c+d. d CD A bc (2)在平面内任取一点 O,作 OA=a,AB=e,则a+e=OA+ AB=OB,因为e为单位向量， a Bo 所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示), B B?e A a 0 由图可知当点B在点B?时，0,A,B?三点共线， |OB|即|a+e|最大，最大值是3. 训练三 向量的减法运算 基础练学考测评 1.C 在平行四边形ABCD中，AB=DC,CB=DA,所以 AB+CB-DC=(AB-DC)+CB=DA. 2.C 对于A,(AB+CD)+BC=AB+BC+CD=AC+ CD=AD;对于 B,(AD+MB)+(BC+CM)=AD+ (MB+BC)+CM=AD+(MC+CM)=AD+0=AD; 对于C,(MB+AD)-BM=MB+AD+MB=2 MB+ AD,所以C选项不能化简为AD;对于 D,(OC-OA)+ CD=AC+CD=AD.故选C. 3.ABD 根据向量减法的三角形法则，A正确；B正确；因 为AB与BA是一对相反向量，相反向量的和为零向量， 所以C不正确；根据向量加法的多边形法则，D正确。 C4.A 如图所示，由向量减法的三 De 角形法则，得AC-AB=BC= AD,得 BC//AD,BC=AD,所以 四边形 ABCD一定是平行四边 A B 形.又|BC+BA|=|AD-Cb, 得|BD[=|AC|,所以平行四边形 ABCD一定是矩形. 5.解析 解法一：DC=DB+BC=AB-AD+BC=a- b+c. 解法二：DC=Ac-AD=AB+BC-AD=a+c-b. 答案 a—b+c 6.解析 由题图知BA-BC-OA+OD+DA=CA- OA+OA=CA. CA 7.解(1)AC=oc-OA=c-a. 答案 (2)AD=OD-OA=d-a. (3)AD-AB=BD=OD-OB=d-b. (4)AB+CF=OB-OA+OF-OC=b-a+f-c. (5)BF-BD=OF-OB-(OD-OB)=OF-OD= f-d. 能力练迁移运用 8.AD 对于A,AC=AB+BC恒成立，故A正确；对于B, 在△ABC中，AC=AB+BC,但 AC<AB+BC,故B错 误；对于C,AB,BC反向共线时，|AC|=|AB+BC|≠ |AB|+|BC|,即 AC=AB+BC不一定成立，故C错 误；对于 D,AB,BC反向共线时，|AB-BC|=|AB+ (一BC)|=|AB+BC|,故D正确。 9.C |a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=2|b|.由于 a,b是非零不共线向量，故 a+b与b不共线，故等号不 成立。 10.A 依题意，知以|a|,|b|,|a-b|为边长的三角形为 直角三角形，且斜边长为|a—b|=2,两直角边长设为 51 s=2mn≤1×m,n,则m2+n2=4,三角形面积 m3+n=1,当且仅当m=n=√2时等号成立。 11.解析 如图，延长CB至点D,使CB=BD,连接AD. C A 60° B 120° D 在△ABD中，AB=BD=1,∠ABD=120°, AB-BC=AB+CB=AB+BD=AD. 易求得AD=√3,即|AD|=√3. 所以|AB-BC|=√3. 答案√3 12.解析如图，设OA=a,OB=b,B C 则|BA|=|a-b|.以OA,OB为 邻边作平行四边形OACB,则 |oC|=|a+b|.由于(√7+1)2+o A (√7-1)2=42,因此|OA|2+|OB|2=|BA|2,因此 △OAB是直角三角形，∠AOB=90°,从而OALOB, 所以平行四边形OACB是矩形.根据矩形的对角线相 等，得1Oc|=|BA|=4,即|a+b|=4. 答案4 → 13.解(1)AC=AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b. 若a+b与a—b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD. 因为当|a|=|b|时，四边形ABCD为菱形， 此时AC⊥BD,故当a,b满足|a|=|b|时， a+b与a—b所在的直线互相垂直。 (2)不可能。因为□ABCD的两对角线不可能平行， 所以a+b与a—b不可能为共线向量，更不可能为相 等向量。 创新练素能培优 14.证明 因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°, 所以CA=CB.又M是斜边AB的中点， 所以CM=AM=BM. (1)因为CM-CA=AM,又|AM|=|CM|, 所以|a-b|=|a|. (2)因为M是斜边AB的中点，所以AM=MB, 所以a+(a-b)=CM+(CM-CA) =CM+AM=CM+MB=CB, 因为|CA|=|CB|, 所以|a+(a-b)|=|b|. 训练四 向量的数乘运算 基础练学考测评 1.AB A正确；B正确；C错误，由ma=mb得m(a—b)= 0,当m=0时也成立，推不出a=b;D错误，由ma=na 得(m—n)a=0,当a=0时也成立，推不出m=n. Dc=3AB,所以AB//DC且AB≠DC,所以2.C因为 四边形ABCD是梯形.又|AD|=|BC|,所以四边形 ABCD是等腰梯形. 3.B因为向量a=2e?+e?,b=-2e?+3e?,所以2a+b= 2e?+5e?.又4e?+10e?=2(2e?+5e?),所以B选项与 2a+b共线.故选B. 4.A如图所示，∵D为BC的中 A 点，∴AD=-AB+1Ac.∵AO o=20D,∴Ao=3AD=1AB B4 D+÷AC,:oc=Ac-Ao=AC -(3AB+÷AC)=-3AB+-AC,,故选A. c 5.解析 因为向量ka +2b与8a+kb的方向相反，所以 ka+2b=λ(8a+kb)→k=8λ,2=λk→k=—4(因为方向 相反，所以λ<0→k<0). 答案-4 6.解析因为点P在直线AB上，所以AP=λAB,λ∈R, OP-OA=λ(OB-OA),即OP=λOB+(1-λ)OA,所 以{A=a=3所以x=-2. 答案-2 7.解(1)证明：由已知可得BD=CD-CB=e?-4e?,AB =2(e-4e?)=2 BD>AB//BD. ∵AB与BD有公共点B,∴A,B,D三点共线 (2)∵BF//BD,∴存在实数λ,使BF=λBD, ∴3e?-ke?=λe?—4λe2,∴(3-λ)e?=(k—4λ)e?. k-4x=0,又∵e?,e2不共线，∴ 解得k=12. 能力练迁移运用 D=-2AG,8.D如图所示，因为 A 所以A,G,D三点共线.又因为G c. 为△ABC的重心，所以D为BC AD=2AB+2AC.故B4 c的中点，故 D 选D. 9.D ∵△DEFCO△BEA,∴AB=BB=3, ∴.DF=3AB=3DC, :AF=AD+DF=Ab+3AB. ∵AC=AB+AD=a,BD=AD-AB=b, ∴AB=2(a-b),AD=2(a+b), ∴AF=2(a+b)+号(a-b)=3a+3b. 10.C由题意知AP=AB+BP=AB+(1-5-1)·B =AB+3-25(Ac-AB)=(1-3-5)AB+ 3-25Ac=5-1AB+3-5AC,同理，AQ=AB+ BQ=AB+5-1Bc=AB+5-1(Ac-AB)= 3-5AB+×?-1AC.∴x?=v=5-1,x?=y= 3-25,.+=3--5+3-1=、5. 11.解析(1)当点C在线段的延长线上时，如图. A BC 则AB=2 BC,则λ=2. (2)当点C在线段上时，如图. AC B 52