训练二 向量的加法运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

训练二 向量的加法运算 基础练 学考测评 1.(多选)(湖南怀化高一期中)下列各式中结 果一定为零向量的是 ( ) A.MB+BO+OM B.AB+BC c.OB+OC+BO+Co D.AB-AC+BD-CD 2.如图，正六边形 ABCDEF 中，BA+CD+ EF= ( ) A.0 D E B.BE Fc< C.AD D.CF B A 3.(江西南昌高一期中)在四边形 ABCD中， AC=AB+AD,则一定有 ( ) A.四边形 ABCD是矩形 B.四边形 ABCD是菱形 C.四边形 ABCD是梯形 D.四边形 ABCD是平行四边形 4.(多选)已知向量 a,b皆为非零向量，下列 ( )说法正确的是 A.若a与b反向，且|a|>|b|,则a+b与 a同向 B.若 a与b反向，且|a|>|b|,则 a+b与 b同向 C.若a与b同向，则a+b与a同向 D.若a与b同向，则a+b与b同向 5.在菱形 ABCD 中，∠DAB=60°,|AB|= 1,则|BC+CD= 6.若|a|=|b|=2,则|a+b|的取值范围为 ,当|a+b|取得最大值时，向量 a,b的方向 . 7.如图，已知 D,E,F分别是△ABC三边 AB,BC,CA的中点，求证：EA+FB+DC =0. A D F B E 能力练 迁移运用 8.已知向量 a//b,且|a|>|b|>0,则向量 a+b的方向 ( ) A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反 C.与向量b的方向相同 D.不确定 9.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内 一点P满足PA+PB=PC,则下列结论中 正确的是 ( ) A.点P在△ABC的内部 B.点P在△ABC的边AB上 C.点P在AB边所在的直线上 D.点P在△ABC的外部 3 C ?高中数学·必修 第二册 10.(多选)下列结论中，不正确的有 ( ) A.如果非零向量 a与b的方向相同或相 反，那么 a+b的方向必与a,b之一的 方向相同 B.在△ABC中，必有AB+BC+CA=0 C.若AB+BC+CA=0,则 A,B,C为一 个三角形的三个顶点 D.若a,b均为非零向量，则a+b的长度 与a 的长度加b的长度的和一定相等 11.小船以10√3 km/h的速度按垂直于对岸 的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h,则 小船实际航行速度的大小为 km/h. 12.如图，E,F,G,H分别是梯形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA的中点，化简下列各式： 13.如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东35°的方向飞行 800 km到达 B地接到受伤人员，然后又从 B地按南 偏东55°的方向飞行 800 km送往C地医 院，求这架飞机飞行的路程及两次位移 的和. 北 B β a A 东 A E B H F D G C (1)DG+EA+CB; (2)EG+CG+DA+EB. 创新练 素能培优 14.如图，已知向量 a,b,c,d. (1)求作 a+b+c+d; (2)设|a|=2,e为单位向量，求|a+e|的 最大值. d a b c ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 c 素能提升训练 训练一 平面向量的概念 基础练学考测评 1.B 两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若 a与 b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与 任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，共线的单 位向量方向也可能相反；两个相等向量的起点、方向、长 度必须都相同错误，因为两个向量相等的条件是长度相 等、方向相同，与起点无关. 2.A 如果一架飞机向东飞行 200 km,再向南飞行 300 km,那么飞机飞行的路程为s= 200+300= 500(km),|a|= √2002+3002=100 √13(km),所以 s>|a|.故选 A. 3.AD 因为点O是平行四边形 ABCD的对角线的交点， 所以O是AC中点，即有AO=0C,A正确；平行四边形 对角线长不一定相等，则|AO|与|BO|不一定相等，B不 正确；点A,O,B不共线，C不正确；平行四边形 ABCD 中，AB//CD,即有AB与CD共线，D正确。故选 AD. 4.C 温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错误；a≠b, 但a与b的方向可以相同，②错误；向量的长度可以比 较大小，但向量不能比较大小，③错误；单位向量只要求 长度等于1个单位长度，但方向未确定，④错误；作图易 得⑤正确。 5.解析 此题中，马在 A处有两条路可走，在 B处有三条 路可走，在C处有八条路可走.如图，以 B为起点作有 向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个； 以C为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合 题意的共8个.所以共有11个. B 答案 11 6.解析 相等向量一定是共线向量，①能使 a//b;方向相 同或相反的向量一定是共线向量，③能使 a//b;零向量 与任意向量平行，④能使 a//b. 答案 ①③④→ 7.解(1)向量AD,DC,CB,AB,如图所示。 (2)由题意知AD=BC. 北 所以 ADBC,则四边形 ABCD 为平行四边形.所以AB=DC, 则 B地相对于A 地的位移为“北 偏东60°,6 km”. c 60° 30° BD30° 西 A 东 能力练迁移运用 南 8.C 由于|OA|=2,所以A点构 成一个以O为圆心，半径为2的圆.故选C. 9.BCD A × 与a共线且与a 长度相等的向量为a,—a,则 A∩B={a,—a} B √ C √ 与 a长度相等且方向相反的向量为一a,则CG A,CSB D √ 由 A∩B={a,—a},可得{a}SA∩B 10.ABD 由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不 一定正确。 11.解析 据题意画出图形如图所示，c 由图可知|BC|=5√2 km,且∠ABC =45°,故C地相对于 B地的位移是 西北方向5√2 km. 答案 西北方向5√2 km 12.解析 由题意，可知从点 A,B,C, A1 B D,0中任取2个不同的点作向量，共有 20个，分别为 AB,AC,AD,AO,BA,BC,BD,Bo,CA,CB,CD,co, DA,DB,DC,DO,OA,OB,oc,OD.由平行四边形的 性质，可知共有8对向量相等：AB=DC,AD=BC,DA =CB,BA=CD,AO=OC,OA=CO,DO=OB,OD= → BO.因为集合中的元素具有互异性，所以集合T中的 元素共有12个. 答案 12 13.解(1)画出所有满足条件的向 C 量AC,即AC?(i=1,2,⋯,8),如 图所示. C(2)由(1)所画的图知，当点C位 C? C C于点C?或C?的位置时，|BC|取 B 得最小值√12+22=√5; 当点C位于点C?或C。的位置时，|BC|取得最大值 √42+52=√41, 故|BC|的最大值为√41,最小值为√5. 创新练素能培优 北14.解 如图所示，AB表示飞机从 A 地按北偏西15°方向飞行到 B地 B C 的位移，则|AB|=1400 km. BC 表示飞机从 B地按东偏南15°方 向飞行到C地的位移，则|BC|= 1 400 km.-→ A 所以AC为从A 地到C地的位移。 在△ABC中，AB=BC=1 400 km,且∠ABC=(90°— 15°)—15°=60°,故△ABC为等边三角形，所以 AC =1 400 km. 所以 C地在 A地北偏东60°—15°=45°,距离 A 地 1 400 km处。 训练二 向量的加法运算 基础练学考测评 1.ACD 对于A,MB+Bo+0M=MO+OM=0,A符 合；对于B,AB+BC=AC,AC不一定是零向量，B不符 合；对于C,OB+0C+BO+Co=(OB+BO)+(OC+ CO)=0+0=0,C符合；对于 D,AB-AC+BD-CD =AB+BD-(AC+CD)=AD-AD=0,D 符合.故 选 ACD. 2.D BA+CD+EF=BA+AF+CB=BF+CB=CF.故 选D. 3.D 因为AC=AB+AD,所以AD=AC-AB=BC,即 AD=BC且AD//BC,所以四边形 ABCD的一组对边平 行且相等，所以四边形 ABCD是平行四边形，故选 D. 50 东 4.ACD a与b反向，且|a|>|b|,则a+b与a 同向，所以 选项B错误；a与b同向，则a+b与a 同向，也与b同 向。故选ACD. 5.解析 在菱形 ABCD中，连接 BD(图略),∵∠DAB= 60°,∴△BAD为等边三角形。 又∵|AB|=1,∴|BD|=1,|BC+CD|=|BD|=1. 答案 1 6.解析 由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b知0≤|a+b|≤ 4,当|a+b|取得最大值时，向量a,b的方向相同。 答案 [0,4] 相同 7.证明 ∵D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中 点，∴EF//AD,DE//AF,∴四边形 ADEF为平行四边 形，由向量加法的平行四边形法则，得ED+EF=EA ①.同理，在平行四边形 BEFD中，FD+FE=FB②.在 平行四边形CFDE中，DF+DE=DC③.由①②③得 EA+FB+DC=ED+EF+FD+FE+DF+DE=(EF +FE)+(ED+DE)+(FD+DF)=0. 能力练迁移运用 8.A 若a和b方向相同，则它们和的方向应该与a(或b) 的方向相同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模， 则它们和的方向与a的方向相同.故选 A. B C9.D PA+PB=PC,根据平行四边形 法则，如图，则点 P在△ABC外部. 故选D. P A 10.ACD 当a+b=0时，知 A不正确； 由向量加法的三角形法则知B正确；当 A,B,C三点共 线时知C不正确；当向量a与向量b方向不相同时|a +b|≠|a|+|b|,故D不正确。 11.解析 如图，设船在静水中的速度为 ? |v?I=10√3 km/h,河水的流速为|v?I =10 km/h,小船实际航行速度为 v。,1309t 则由|v?I2+|v?I2=|v?I2, 得(10√3)2+102=|v?I2,所以|v。= 20 km/h,即小船实际航行速度的大小为20 km/h. 答案 20 12.解(1)DG+EA+CB=Gc+BE+CB=Gc+CB+ BE=GB+BE=GE. (2)EG+CG+DA+EB=EG+GD+DA+AE =ED+DA+AE=EA+AE=0. 13.解 AB,BC分别表示飞机从A 地按北偏东 35°的方向 飞行 800 km,从 B地按南偏东55°的方向飞行800 km, 则飞机飞行的路程指的是|AB|+|BC|; 两次飞行的位移的和指的是AB+BC=AC. 依题意，有|AB|+|BC|=800+800=1600(km). 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°, ACl=√IABl2+|BCl2=√8002+800°=所以 800√2(km). 其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°. 这架飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移的 和为800√2 km,方向为北偏东80°. 创新练素能培优 14.解(1)在平面内任取一点O,作 OA=a,AB=b,BC=c,CD=d, 则OD=a+b+c+d. d CD A bc (2)在平面内任取一点 O,作 OA=a,AB=e,则a+e=OA+ AB=OB,因为e为单位向量， a Bo 所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示), B B?e A a 0 由图可知当点B在点B?时，0,A,B?三点共线， |OB|即|a+e|最大，最大值是3. 训练三 向量的减法运算 基础练学考测评 1.C 在平行四边形ABCD中，AB=DC,CB=DA,所以 AB+CB-DC=(AB-DC)+CB=DA. 2.C 对于A,(AB+CD)+BC=AB+BC+CD=AC+ CD=AD;对于 B,(AD+MB)+(BC+CM)=AD+ (MB+BC)+CM=AD+(MC+CM)=AD+0=AD; 对于C,(MB+AD)-BM=MB+AD+MB=2 MB+ AD,所以C选项不能化简为AD;对于 D,(OC-OA)+ CD=AC+CD=AD.故选C. 3.ABD 根据向量减法的三角形法则，A正确；B正确；因 为AB与BA是一对相反向量，相反向量的和为零向量， 所以C不正确；根据向量加法的多边形法则，D正确。 C4.A 如图所示，由向量减法的三 De 角形法则，得AC-AB=BC= AD,得 BC//AD,BC=AD,所以 四边形 ABCD一定是平行四边 A B 形.又|BC+BA|=|AD-Cb, 得|BD[=|AC|,所以平行四边形 ABCD一定是矩形. 5.解析 解法一：DC=DB+BC=AB-AD+BC=a- b+c. 解法二：DC=Ac-AD=AB+BC-AD=a+c-b. 答案 a—b+c 6.解析 由题图知BA-BC-OA+OD+DA=CA- OA+OA=CA. CA 7.解(1)AC=oc-OA=c-a. 答案 (2)AD=OD-OA=d-a. (3)AD-AB=BD=OD-OB=d-b. (4)AB+CF=OB-OA+OF-OC=b-a+f-c. (5)BF-BD=OF-OB-(OD-OB)=OF-OD= f-d. 能力练迁移运用 8.AD 对于A,AC=AB+BC恒成立，故A正确；对于B, 在△ABC中，AC=AB+BC,但 AC<AB+BC,故B错 误；对于C,AB,BC反向共线时，|AC|=|AB+BC|≠ |AB|+|BC|,即 AC=AB+BC不一定成立，故C错 误；对于 D,AB,BC反向共线时，|AB-BC|=|AB+ (一BC)|=|AB+BC|,故D正确。 9.C |a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=2|b|.由于 a,b是非零不共线向量，故 a+b与b不共线，故等号不 成立。 10.A 依题意，知以|a|,|b|,|a-b|为边长的三角形为 直角三角形，且斜边长为|a—b|=2,两直角边长设为 51