6．4平面向量的应用（16大题型）-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

6．4平面向量的应用 【题型归纳目录】 题型一：利用向量证明平面几何问题 题型二：利用向量解决平面几何求值问题 题型三：向量在物理中的应用 题型四：已知两边及一角解三角形 题型五：已知三边解三角形 题型六：利用余弦定理判断三角形的形状 题型七：已知两角及任意一边解三角形 题型八：已知两边及其中一边的对角解三角形 题型九：三角形形状的判断 题型十：距离问题 题型十一：高度问题 题型十二：角度问题 题型十三：三角形多解问题 题型十四：三角形边长、面积、周长最值与范围问题 题型十五：三角形中的图形类问题 题型十六：面积与周长求值问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 题型一：利用向量证明平面几何问题 【例1】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【变式1-1】已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【变式1-2】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 【变式1-3】如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 知识点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（，）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 题型二：利用向量解决平面几何求值问题 【例2】在中，为的中点，在边上，交于，且，设 (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若在上，且,设，若，求的范围. 【变式2-1】如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O． (1)若，求的值； (2)求的余弦值． 【变式2-2】在平行四边形中，，，和交于点P． (1)若，求x的值； (2)求的值． 【变式2-3】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 知识点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 题型三：向量在物理中的应用 【例3】红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 【变式3-1】平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【变式3-2】小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【变式3-3】一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 知识点四、余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 知识点五、利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 题型四：已知两边及一角解三角形 【例4】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【变式4-1】在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式4-2】在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 【变式4-3】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 题型五：已知三边解三角形 【例5】在中，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知的内角的对边分别是，面积为S，且，则角的值为（    ） A． B． C． D． 题型六：利用余弦定理判断三角形的形状 【例6】在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式6-1】三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式6-2】在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【变式6-3】已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 知识点六、正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 知识点七、解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 知识点八、正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 知识点九：利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 题型七：已知两角及任意一边解三角形 【例7】 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则该三角形最小角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】在中，，，分别为内角，，的对边，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】在中，若，则等于（　　） A．1 B． C．4 D． 【变式7-3】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 题型八：已知两边及其中一边的对角解三角形 【例8】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 【变式8-1】中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【变式8-2】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 知识点十：三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 题型九：三角形形状的判断 【例9】在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 【变式9-1】在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【变式9-2】在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式9-3】已知的内角所对的边分别为，下列四个说法中正确个数是（    ） ①若，则一定是等边三角形； ②若，则一定是等腰三角形； ③若，则一定是等腰三角形； ④若，则一定是锐角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点十一、解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 知识点十二、解三角形应用题的基本思路 实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解 题型十：距离问题 【例10】如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1） 【变式10-1】如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 【变式10-2】如图，，两地之间隔了一个湖，在与，同一平面内取一点，测得，，，则，两地之间的距离为 . 【变式10-3】如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为120°的扇形区域，两个凉亭分别座落在点及点处，花园里有一条平行于的小路；已知某人从凉亭沿小路走到点用了3分钟，从点沿走到凉亭用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径的长为 米（精确到1米）． 题型十一：高度问题 【例11】龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 【变式11-1】在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为 m. 【变式11-2】某数学兴趣小组成员为测量某古塔的高度，如图，在塔底的同一水平面上的A、B两点处进行测量，已知在A处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，，则该塔的高度 . 【变式11-3】贵州中天201大厦是贵阳标志性建筑之一，又名为“芦笙楼”．它是以贵州少数民族芦笙为原型设计，外形造型看上去就像是用很多微型大楼“拼接”起来的一样，而这一部分其实具有相当先进的建筑工艺，采用的是筒式悬挂结构，目前是世界上最高的筒式悬挂建筑．某数学兴趣小组成员为测量中天201大厦的高度，在与楼底位于同一水平面上的两处进行测量，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，则中天201大厦的高度为 米．    题型十二：角度问题 【例12】一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【变式12-1】如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计） 【变式12-2】如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为 米． 【变式12-3】如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则 千米． 题型十三：三角形多解问题 【例13】在中，，只需添加一个条件，即可使存在且唯一．在条件：①；②；③；④中，所有可以选择的条件的序号为 ． 【变式13-1】在中，角的对边分别为，已知，，，则使该三角形有唯一解的的值可以是 ．（仅需填写一个符合要求的数值） 【变式13-2】张老师在整理试题时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角的对边，已知，，求边．显然缺少条件，张老师打算补充条件，给出的大小，使得有两解，则可以给出的的范围是 ． 【变式13-3】在中，，，，若有两解，则的取值范围是（    ） A．           B．           C．             D． 【解法1】有两解，，，即，故选C． 【解法2】，． 有两解，，，即，故选B． 你认为 是正确的．（填“解法1”或“解法2”） 题型十四：三角形边长、面积、周长最值与范围问题 【例14】已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【变式14-1】在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【变式14-2】如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 【变式14-3】在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 题型十五：三角形中的图形类问题 【例15】如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，． (1)求角； (2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积． 【变式15-1】如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 【变式15-2】在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【变式15-3】如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 题型十六：面积与周长求值问题 【例16】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若D为AC的中点，且，，求的面积. 【变式16-1】在中，角，，所对的边分别为，，，其中，且. (1)求角； (2)求面积的最大值； (3)若点为边上一点，且，求的面积. 【变式16-2】已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求； (2)若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD. 【变式16-3】在中，角、、所对的边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若，且，求的周长. 【强化训练】 1．在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．已知的面积为，则（    ） A．13 B．14 C．17 D．15 3．已知边长为3等边三角形中，点为边上一点，，，则下列结论一定正确的为（    ） A． B． C． D． 4．在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 5．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 7．已知，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 9．（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A．在中，若，则为钝角三角形 B．已知函数，则的最小正周期是 C．在中，若，则是等腰直角三角形 D．已知，，则的最小值为 10．（多选题）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 11．（多选题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．点D满足，且，O是外心，则下列判断正确的是（   ） A． B．的外接圆半径是 C． D．CD的最大值为 12．如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为 .    13．内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 14．克罗狄·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且，若，则（1）圆的半径是 ，（2）四边形面积的取值范围是 . 15．锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 16．在中，. (1)求； (2)若的边上的高等于，求. 17．在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 18．①，②，③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求 (1)； (2)的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19．在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．4平面向量的应用 【题型归纳目录】 题型一：利用向量证明平面几何问题 题型二：利用向量解决平面几何求值问题 题型三：向量在物理中的应用 题型四：已知两边及一角解三角形 题型五：已知三边解三角形 题型六：利用余弦定理判断三角形的形状 题型七：已知两角及任意一边解三角形 题型八：已知两边及其中一边的对角解三角形 题型九：三角形形状的判断 题型十：距离问题 题型十一：高度问题 题型十二：角度问题 题型十三：三角形多解问题 题型十四：三角形边长、面积、周长最值与范围问题 题型十五：三角形中的图形类问题 题型十六：面积与周长求值问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 题型一：利用向量证明平面几何问题 【例1】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【解析】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【变式1-1】已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【解析】（1）. （2）， ，. 【变式1-2】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 【解析】（1）； . （2）. 证明如下： 由（1）知，，， . ，. 【变式1-3】如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【解析】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 知识点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（，）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 题型二：利用向量解决平面几何求值问题 【例2】在中，为的中点，在边上，交于，且，设 (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若在上，且,设，若，求的范围. 【解析】（1）由三点共线，则存在使得， 则，整理可得， 由三点共线，则存在使得， 则，整理可得； 根据平面向量基本定理可得，解得； 因此； （2）由（1）可得， 又，由①可得； 又，则, 则， ， ； 则， 所以的余弦值为. （3）由（1）可知，则， 由共线，设， 又，可得， 则，可得； 所以，即， 因此，又，则， 则，解得，故的范围为. 【变式2-1】如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O． (1)若，求的值； (2)求的余弦值． 【解析】（1） 如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 由题意，易得，,过点作轴于点， 则,故, 则又，则 故得，，解得， 故． （2）由图知， ， 即的余弦值为. 【变式2-2】在平行四边形中，，，和交于点P． (1)若，求x的值； (2)求的值． 【解析】（1）依题意可得， 又，， 所以，解得． （2）由（1）可得，则，即． 因为，即， 所以，即，所以， 所以． 【变式2-3】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【解析】（1）因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 知识点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 题型三：向量在物理中的应用 【例3】红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 【答案】A 【解析】当红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时， 合速度的方向与合加速度的方向，不在一条直线上，物体做曲线运动， 因为玻璃管水平向右做匀加速直线运动，所以红蜡块在竖直方向运动相同的距离时，向右的运动的距离越来越大， 所以运动轨迹为曲线. 故选：A. 【变式3-1】平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 所以， 故选：C． 【变式3-2】小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【解析】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 【变式3-3】一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 知识点四、余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 知识点五、利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 题型四：已知两边及一角解三角形 【例4】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【解析】因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：， 所以. 故选：D. 【变式4-1】在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理可得， ， 故选:B. 【变式4-2】在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 【答案】C 【解析】由余弦定理可得,即， 解得或， 故选：C 【变式4-3】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【解析】由余弦定理得，即， 解得，解得或（舍去）， 故. 故选：D 题型五：已知三边解三角形 【例5】在中，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，因为，，， 由余弦定理得， 因为，所以， 则. 故选：B. 【变式5-1】设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于是钝角三角形的三边长， 所以，且，所以. 设最长边对的角为， 则， 解得. 故选：B 【变式5-2】在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且， 所以， 所以 ， 因为 ，所以 ， 故选：A 【变式5-3】已知的内角的对边分别是，面积为S，且，则角的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 则，所以， 又，则. 故选：A 题型六：利用余弦定理判断三角形的形状 【例6】在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 【变式6-1】三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 【变式6-2】在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，由，可知， 所以为钝角三角形， 故选：B 【变式6-3】已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 知识点六、正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 知识点七、解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角． 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角． 知识点八、正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 知识点九：利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 题型七：已知两角及任意一边解三角形 【例7】 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则该三角形最小角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理可知 设，已知角A最小， 由余弦定理可得：. 故选：B 【变式7-1】在中，，，分别为内角，，的对边，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理可得，则，，又，则. 故选：C. 【变式7-2】在中，若，则等于（　　） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】由正弦定理得：. 故选：C 【变式7-3】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】在中，， 因为，所以， 则由正弦定理得. 故选：B． 题型八：已知两边及其中一边的对角解三角形 【例8】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 【答案】A 【变式8-1】中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 【变式8-2】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 【变式8-3】在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为在中，，，， 由正弦定理，得， 解得或， 又因为可得，所以不符合题意，舍去． 可得，故A，B，D错误． 故选：C. 知识点十：三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 题型九：三角形形状的判断 【例9】在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 【答案】D 【解析】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是直角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是等腰三角形，， 说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 此时，不等构成三角形，故命题错误. 故选：D. 【变式9-1】在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角. 故选：C 【变式9-2】在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】在中，由及正弦定理得，而， 整理得，即，而， 则，因此或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：C 【变式9-3】已知的内角所对的边分别为，下列四个说法中正确个数是（    ） ①若，则一定是等边三角形； ②若，则一定是等腰三角形； ③若，则一定是等腰三角形； ④若，则一定是锐角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对于①，由，由正弦定理可得， 即，所以，是以是等边三角形，故①正确； 对于②，由正弦定理可得，可得， 所以或， 所以或 所以是等腰或直角三角形，故②不正确； 对于③，因为， 由正弦定理可得，即， 由正弦定理可得，所以为等腰三角形，故③正确； 对于④，由正弦定理可得，所以角为锐角， 而角不一定是锐角，④不正确． 故选：B． 知识点十一、解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 知识点十二、解三角形应用题的基本思路 实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解 题型十：距离问题 【例10】如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1） 【答案】13.8 【解析】根据题意得，在中，，, 在中，,, . 故答案为：13.8 【变式10-1】如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 【答案】 【解析】在中，因，则， 在，，则， 由正弦定理可得，即，解得， 在中，，，则． 所以山高为. 故答案为：. 【变式10-2】如图，，两地之间隔了一个湖，在与，同一平面内取一点，测得，，，则，两地之间的距离为 . 【答案】 【解析】由余弦定理得 . 故答案为：. 【变式10-3】如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为120°的扇形区域，两个凉亭分别座落在点及点处，花园里有一条平行于的小路；已知某人从凉亭沿小路走到点用了3分钟，从点沿走到凉亭用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径的长为 米（精确到1米）． 【答案】267 【解析】设该扇形的半径为米，连接. 由题意，得(米)，（米）， 在中， 即 解得（米). 故答案为：267. 题型十一：高度问题 【例11】龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 【答案】33米 【解析】在中，，则， 由正弦定理，得， 由在点仰角为，得米. 故答案为：33米 【变式11-1】在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为 m. 【答案】 【解析】 如图，尖塔为，设， 则由题意可知，，， 在中，由余弦定理可知， 即，解得，即，， 由线段上的点处测得塔顶的仰角为最大可知， 故，即， 得， 故答案为： 【变式11-2】某数学兴趣小组成员为测量某古塔的高度，如图，在塔底的同一水平面上的A、B两点处进行测量，已知在A处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，，则该塔的高度 . 【答案】 【解析】由题意可知，设米， 则， 所以， 所以在中，由余弦定理得， 解得，故，即该塔的高度. 故答案为：. 【变式11-3】贵州中天201大厦是贵阳标志性建筑之一，又名为“芦笙楼”．它是以贵州少数民族芦笙为原型设计，外形造型看上去就像是用很多微型大楼“拼接”起来的一样，而这一部分其实具有相当先进的建筑工艺，采用的是筒式悬挂结构，目前是世界上最高的筒式悬挂建筑．某数学兴趣小组成员为测量中天201大厦的高度，在与楼底位于同一水平面上的两处进行测量，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，则中天201大厦的高度为 米．    【答案】 【解析】设，在中，，则， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以中天201大厦的高度为米. 故答案为： 题型十二：角度问题 【例12】一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【答案】南偏西 【解析】如图，在中，， 由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 【变式12-1】如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计） 【答案】 【解析】 由塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上， 可知，，在中，， 由，结合正弦定理得， 在可得：， 过点作交于，由于平面，平面， 可得：，即， 当取最小值时：， 由正切函数在锐角范围是单调递增，即要求仰角的最大值，即求其正切值的最大值， 所以有最大值. 故答案为：. 【变式12-2】如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为 米． 【答案】 【解析】 过点作,垂足为,过作,垂足为， 在直角中，,可得, 在直角中，,可得：, 在直角中，,可得：, 所以可得：, ,即, 所以,再由, 再由图中三个直角可知四边形是矩形，所以, 即, 故答案为：. 【变式12-3】如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则 千米． 【答案】 【解析】由题意可得是等边三角形，千米.记直线与直线的交点为， ，所以，为的中点， 所以为等腰三角形，由， 所以千米. 故答案为：. 题型十三：三角形多解问题 【例13】在中，，只需添加一个条件，即可使存在且唯一．在条件：①；②；③；④中，所有可以选择的条件的序号为 ． 【答案】②③ 【解析】若选①，根据三角形内角性质知， 结合及三角形内角和，此时不存在，不符合； 若选②，由，故存在且唯一，符合； 若选③，结合，由余弦定理可求出且唯一，故存在且唯一，符合； 若选④，根据三角形内角性质知可能为钝角或锐角， 当为锐角时，，满足构成三角形； 当为钝角时，根据其正弦值易知，也满足构成三角形； 所以，存在，但不唯一，不符合. 故答案为：②③ 【变式13-1】在中，角的对边分别为，已知，，，则使该三角形有唯一解的的值可以是 ．（仅需填写一个符合要求的数值） 【答案】8（答案不唯一，满足或即可） 【解析】在中，，，， 由正弦定理得：，则， 当时，，三角形无解； 当时，，，三角形有唯一解； 当时，即，则，由，得，或，所以三角形有两解， 当时，即，则，由，得，， 因为在上单调递增，所以三角形有唯一解； 故答案为：8（答案不唯一，满足或即可）. 【变式13-2】张老师在整理试题时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角的对边，已知，，求边．显然缺少条件，张老师打算补充条件，给出的大小，使得有两解，则可以给出的的范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可知三角形有两个解 由上图可知： 若有两解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有两个交点 则，即, 故答案为： 【变式13-3】在中，，，，若有两解，则的取值范围是（    ） A．           B．           C．             D． 【解法1】有两解，，，即，故选C． 【解法2】，． 有两解，，，即，故选B． 你认为 是正确的．（填“解法1”或“解法2”） 【答案】解法1 【解析】根据题意画出图形，三角形有两解即满足，解法1是正确的； 解法2中因为，要是三角形有两解，则应该，即，所以错误. 题型十四：三角形边长、面积、周长最值与范围问题 【例14】已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【解析】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 【变式14-1】在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【解析】（1）， ，即， 由正弦定理得：， ， ，，，又，. （2）由正弦定理得：，， ， ，为锐角三角形，，， ，， 即面积的取值范围为. 【变式14-2】如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 【解析】（1）（1）在 中, , 所以 ， 因为 , 所以 即 是直角三角形, 所以 （2）①在 中, 由余弦定理知, 所以 即 ，当且仅当 时，等号成立, 所以 面积 故 面积的最大值为 . ②在 中, 由正弦定理知 所以 因为 为锐角三角形, 所以 , 解得 , 所以 , 所以 , 所以 面积 故 面积的取值范围为 【变式14-3】在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【解析】（1）由题及正弦定理可知：， ， 又，， ，， ，. （2）由（1）及余弦定理得：，即，① 又因为，则， 所以，② 由得：， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以． 因为为锐角三角形，所以，， 即，，则，即， 则，故的周长的取值范围为． 题型十五：三角形中的图形类问题 【例15】如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，． (1)求角； (2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积． 【解析】（1）由，联立方程组，解得， 不妨设，可得 由余弦定理得， 因为，所以. （2）由，由（1）知，可得， 因为过作的垂线并延长到点，使四点共圆， 在直角中，可得，则， 因为，可得， 在直角中，可得，即， 所以， 所以， 所以四边形的面积为. 【变式15-1】如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 【解析】（1）因为在中，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为在中，，所以． （2）在中，设，， 则由正弦定理得，即，① 又在中，，， 则由正弦定理得，即，② 则由①②两式得，，即， 展开并整理得，即，所以， 因为在中，，所以， 把代入①式得，． 【变式15-2】在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 【变式15-3】如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【解析】（1）在中，，，则、均为锐角， 则，， . （2）在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 题型十六：面积与周长求值问题 【例16】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若D为AC的中点，且，，求的面积. 【解析】（1）由正弦定理得，， 则由得：， 在中，， ，则， ，， ， ，； （2）∵D为AC的中点，，，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积. 【变式16-1】在中，角，，所对的边分别为，，，其中，且. (1)求角； (2)求面积的最大值； (3)若点为边上一点，且，求的面积. 【解析】（1）因为， 所以， 即， 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由余弦定理得，， 又因为，所以. （2）由结合余弦定理得，因为，当且仅当时取“=”， 所以，故面积的最大值为. （3）如图所示， 因为， 所以 因为，所以， 所以，所以， 即，即， 又因为，所以， 在中，由余弦定理得，， 即， 代入，解得（负值舍去）， 所以， 所以. 【变式16-2】已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求； (2)若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD. 【解析】（1）依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； （2）依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 【变式16-3】在中，角、、所对的边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若，且，求的周长. 【解析】（1）由正弦定理得， 因为，则，所以，所以， 因为，所以； （2）因为，且，所以， 由余弦定理可得， 所以，解得， 因此的周长为. 【强化训练】 1．在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【解析】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 2．已知的面积为，则（    ） A．13 B．14 C．17 D．15 【答案】C 【解析】因为的面积为， 所以的面积，所以， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 3．已知边长为3等边三角形中，点为边上一点，，，则下列结论一定正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，，且， 由余弦定理， 即，解得或， 当时，符合题意， 当时，不符合题意， 因此，，，，A错误，B正确； 又，， 因此，即，C错误； 又，， 所以，D错误. 故选：B 4．在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 5．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得，在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得 故选：B. 6．如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，可得， 且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：C. 7．已知，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】中，因为，所以， 则，即， 又，则，即，则， 所以，所以， 所以， 当时，面积取得最大值为，故A正确. 故选：A. 8．在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由余弦定理得，代入得， ， 则，即， ， 令，， 则， 当且仅当时， ，即时等号成立， 此时，，即，为等腰直角三角形时， 取到最小值. 故选：B. 9．（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A．在中，若，则为钝角三角形 B．已知函数，则的最小正周期是 C．在中，若，则是等腰直角三角形 D．已知，，则的最小值为 【答案】AD 【解析】对于A，由可得，由于，， 当，，此时由，可得， 此时，故，故为钝角三角形； 若，，此时由，可得，即， 此时只需要，故，故为钝角三角形，故A正确； 对于B，函数， 则的最小正周期不是，故B错误； 对于C，在中，若，则或， 即或，故是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，由于，故， 由于，故，则， 当且仅当，即时取到等号， 故最小值为，D正确. 故选：AD. 10．（多选题）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 【答案】BCD 【解析】对于A：若，根据正弦定理则， 即，因为，所以或 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对B，因为，则，， 则根据正弦定理有， 故B正确； 对C，设，. 则， ， 所以 ， 当时，三角形的面积取得最大值，故C正确； 对D，由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确. 故选：BCD. 11．（多选题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．点D满足，且，O是外心，则下列判断正确的是（   ） A． B．的外接圆半径是 C． D．CD的最大值为 【答案】ABC 【解析】选项A，因为，由正弦定理得， 又，所以，而，所以，A正确； 选项B，因为，所以，所以，B正确； 选项C，取中点，如图所示，在中， ， 在中，，，C正确； 选项D，，当且仅当圆心在上时取等号，所以，D错误． 故选：ABC． 12．如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为 .    【答案】/ 【解析】设，则，， 则， 则， 设该风景区面积为，则， 令，则， 即 函数对称轴， 即当时，面积取最大值，此时. 故答案为：. 13．内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 【答案】/ 【解析】由，结合正弦定理得， ， 因为，所以, 利用余弦定理，解得， 所以. 故答案为：. 14．克罗狄·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且，若，则（1）圆的半径是 ，（2）四边形面积的取值范围是 . 【答案】 2 【解析】由托勒密定理，得． 因为，所以． 设圆的半径为，由正弦定理，得． 又，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，则，故． 因为，可知点到直线的距离， 可知直线为以为圆心，半径为1的圆的切线， 在中，可知，结合圆的性质可知点在优弧上， 取，则；取，则； 取，则；取，则； 可知点A在劣弧或上，且与的夹角， 所以四边形面积. 故答案为：2；. 15．锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 【解析】（1）由可得， ，故， ，， 由于， 由于为锐角三角形，因此，故. （2）, 由于，所以，故， . 16．在中，. (1)求； (2)若的边上的高等于，求. 【解析】（1）由题意，， 解得 （2），结合，解得， 又，则，得， 根据三角形的面积公式，，解得， 不妨设，由余弦定理，，则， 再由余弦定理， 17．在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【解析】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以， ， ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 18．①，②，③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求 (1)； (2)的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）选①：由得， 即，因为，所以． 选②：由正弦定理得得，因为， 所以． 因为，所以．因为，所以． 选③：由题意得，得． 因为，所以． （2）因为，所以． 由，所以或． 当时，，又因为，所以，． 则面积． 当时，，所以．又因为，所以． 则面积． 综上所述，的面积为或． 19．在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理可知， 因为， 整理得， 因为，所以，所以，即， 又因为，所以． （2）如图，设，，由正弦定理有，得， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可知，， 即，解得或． 若，， 则的面积为：，即； 若，则， 则， 因为， 所以， 综上可得的面积的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$