6．3 平面向量基本定理及坐标表示（12大题型）-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

6．3 平面向量基本定理及坐标表示 【题型归纳目录】 题型一：平面向量基本定理的理解 题型二：用基底表示向量 题型三：平面向量的坐标表示 题型四：平面向量加、减运算的坐标表示 题型五：平面向量数乘运算的坐标表示 题型六：向量共线的判定 题型七：利用向量共线的坐标表示求参数 题型八：定比分点坐标公式及应用 题型九：数量积的坐标运算 题型十：平面向量的模 题型十一：平面向量的夹角、垂直问题 题型十二：平面向量数量积的综合应用 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 知识点诠释： 平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 题型一：平面向量基本定理的理解 【例1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-3】若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型二：用基底表示向量 【例2】如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式2-3】如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 知识点二：平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 知识点诠释： 如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点诠释： （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 题型三：平面向量的坐标表示 【例3】如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    【变式3-1】如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．    【变式3-2】已知，两点的坐标，求，的坐标． （1），； （2），； （3），； （4），． 【变式3-3】设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 知识点三：平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 题型四：平面向量加、减运算的坐标表示 【例4】已知，设． （1）求； （2）求满足的实数 （3）求M，N的坐标及向量的坐标． 【变式4-1】平面内三个向量，，． （1）求； （2）求满足的实数m，n． 【变式4-2】直线上的坐标运算：设直线上两个向量的坐标分别为，u，v是两个实数，则的坐标为 ，的坐标为 ，的坐标为 ． 【变式4-3】已知，则的坐标是 ． 题型五：平面向量数乘运算的坐标表示 【例5】如图，网格纸上小正方形的边长为，向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ．    【变式5-1】已知向量，，若存在实数，满足，则实数的值为 ． 【变式5-2】已知点，，则的坐标为 ． 【变式5-3】下列向量中，与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 题型六：向量共线的判定 【例6】若=（6，6），=（5，7），=（2，4），则下列结论成立的是（    ） A．与共线 B．与共线 C．与共线 D．与共线 【变式6-1】已知向量，，则与共线的单位向量为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】下列各组向量中，共线的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式6-3】已知，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．A，O，C三点共线 C．A，B，C三点共线 D． 题型七：利用向量共线的坐标表示求参数 【例7】已知向量，，若，则 ． 【变式7-1】已知向量，，且，则实数的值为 ． 【变式7-2】已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 ． 【变式7-3】已知向量，且与共线，则实数 ． 题型八：定比分点坐标公式及应用 【例8】已知向量，，若，则 ． 【变式8-1】已知向量，，且，则实数的值为 ． 【变式8-2】已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 ． 【变式8-3】已知向量，且与共线，则实数 ． 知识点五：向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 题型九：数量积的坐标运算 【例9】已知正方形的边长为，为的中点，点在上，，则 ． 【变式9-1】已知向量，，则 ． 【变式9-2】在边长为4的正方形ABCD中，M是BC的中点，E在线段AB上运动，则的取值范围 ． 【变式9-3】已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为 ．（结果用坐标表示） 题型十：平面向量的模 【例10】已知向量，若，则 ． 【变式10-1】已知，，则 ． 【变式10-2】已知非零向量，，满足：，，，，则 ． 【变式10-3】已知向量，且，那么 ． 【变式10-4】已知向量，且，则 ． 知识点六：向量在几何中的应用 （1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 （2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件 （3）求夹角问题，利用 （4）求线段的长度，可以利用或 题型十一：平面向量的夹角、垂直问题 【例11】已知向量，，其中． （1）若，求角的大小； （2）若，求的值． 【变式11-1】已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【变式11-2】已知向量，，，且向量与共线． （1）证明：； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，求的值． 【变式11-3】已知向量，满足． （1）求向量与的夹角； （2）求向量在向量上的投影向量； （3）若向量与垂直，求实数的值． 题型十二：平面向量数量积的综合应用 【例12】设，，，为平面内的四点，已知，，． （1）若四边形为平行四边形，求点的坐标； （2）若，，三点共线，，求点的坐标． 【变式12-1】在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，且，P是线段AB上的动点． （1）用，表示和； （2）当P是线段AB上的中点时，求，的坐标和； （3）设，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式12-3】在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点． （1）若，，三点共线，求的值； （2）若向量与的夹角为，求的值； （3）若四边形为矩形，求点坐标． 【强化训练】 1．已知，是两个不共线的平面向量，向量，（λ，μ∈R），若∥，则有（　 　） A． B． C． D． 2．已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 3．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍．若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在中，，E为AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点满足，．若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．在中，点是线段的中点，点是线段上一点，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（    ） A．点、，与向量共线的单位向量为 B．非零向量和满足，则与的夹角为 C．已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D．向量，，则在上的投影向量的坐标为 10．（多选题）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．若，则t的值为2 C．若与的夹角为45°，则或 D．若与的夹角为钝角，则t的取值范围是 11．（多选题）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 12．如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 13．已知．若的夹角为钝角，则的范围为 ． 14．已知点P为内一点，，则 ． 15．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设． （1）以为基底表示和； （2）将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值． 16．如图，在等边中，，点O在边BC上，且．过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N． （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值． 17．如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． （1）试用表示和； （2）若，求． 18．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．3 平面向量基本定理及坐标表示 【题型归纳目录】 题型一：平面向量基本定理的理解 题型二：用基底表示向量 题型三：平面向量的坐标表示 题型四：平面向量加、减运算的坐标表示 题型五：平面向量数乘运算的坐标表示 题型六：向量共线的判定 题型七：利用向量共线的坐标表示求参数 题型八：定比分点坐标公式及应用 题型九：数量积的坐标运算 题型十：平面向量的模 题型十一：平面向量的夹角、垂直问题 题型十二：平面向量数量积的综合应用 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 知识点诠释： 平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 题型一：平面向量基本定理的理解 【例1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底．故正确． 故选：． 【变式1-1】如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底． 故选：C 【变式1-2】若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基． 故选：D 【变式1-3】若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项A中两个向量能作为基底，故A错误； 对于B，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项B中两个向量能作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以与共线，即选项C中两个向量不能作为基底，故C正确； 对于D，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项D中两个向量是能作为基底，故D错误； 故选：C． 题型二：用基底表示向量 【例2】如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A． 【变式2-1】如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点为中点，所以，又，， 所以 故选：C． 【变式2-2】在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】 ∵，∴， ∴． ∵A，P，D三点共线，∴． ∵，∴． ∵E是边AB的中点，∴． ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故． 故选：A． 【变式2-3】如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接DE， 由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则， 故． 又，所以，则． 故选：A 知识点二：平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 知识点诠释： 如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点诠释： （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 题型三：平面向量的坐标表示 【例3】如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    【解析】如图， 作平行四边形OBAC，则． 因为，， 所以，在中，，． 所以，即． 因此在基下的坐标为． 【变式3-1】如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．    【解析】由图可知： ，对应坐标为； ，对应坐标为； ，对应坐标为； ，对应坐标为． 【变式3-2】已知，两点的坐标，求，的坐标． （1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】（1）因为，， 所以，． （2）因为，， 所以，． （3）因为，， 所以，． （4）因为，， 所以，． 【变式3-3】设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 【解析】因为， 又，所以． 因此在基下的坐标为． 知识点三：平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 题型四：平面向量加、减运算的坐标表示 【例4】已知，设． （1）求； （2）求满足的实数 （3）求M，N的坐标及向量的坐标． 【解析】（1）由已知 得，同理 （2）∵ ∴解得 （3）设O为坐标原点， ， ， 【变式4-1】平面内三个向量，，． （1）求； （2）求满足的实数m，n． 【解析】（1）∵， ∴． （2）由，得， ∴，解得，． 【变式4-2】直线上的坐标运算：设直线上两个向量的坐标分别为，u，v是两个实数，则的坐标为 ，的坐标为 ，的坐标为 ． 【答案】 【解析】由题意可知：的坐标为，的坐标为， 的坐标为． 故答案为：；；． 【变式4-3】已知，则的坐标是 ． 【答案】 【解析】因为， 所以． 故答案为：． 题型五：平面向量数乘运算的坐标表示 【例5】如图，网格纸上小正方形的边长为，向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ．    【答案】/0．8 【解析】以，交点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图所示：则，，， 因为，所以，， 故答案为： 【变式5-1】已知向量，，若存在实数，满足，则实数的值为 ． 【答案】6 【解析】因，所以， 所以， 得， 故答案为：6 【变式5-2】已知点，，则的坐标为 ． 【答案】 【解析】设点的坐标分别为． 由题意得，． 因为， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以，解得， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式5-3】下列向量中，与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】与向量共线的向量需满足． 故选：C 知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 题型六：向量共线的判定 【例6】若=（6，6），=（5，7），=（2，4），则下列结论成立的是（    ） A．与共线 B．与共线 C．与共线 D．与共线 【答案】C 【解析】，因为，所以与不共线； ，因为，所以与不共线； ，因为，所以与共线； ，因为，所以与不共线． 故选：C． 【变式6-1】已知向量，，则与共线的单位向量为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案．因为，，则， 所以， 设与共线的单位向量为， 则， 解得 或 所以与共线的单位向量为或． 故选：D． 【变式6-2】下列各组向量中，共线的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】若两个向量共线，则， 其中只有B选项，满足条件． 故选：B 【变式6-3】已知，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．A，O，C三点共线 C．A，B，C三点共线 D． 【答案】B 【解析】由题意， 所以，A错误； 因为，，所以， 所以三点共线，B正确； 又，而，所以不共线，从而三点不共线，C错； ，D错误， 故选：B． 题型七：利用向量共线的坐标表示求参数 【例7】已知向量，，若，则 ． 【答案】或 【解析】因为向量，，且，则， 即，解得或． 故答案为：或． 【变式7-1】已知向量，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】根据题意得， ． 因为， 所以，解得． 故答案为：． 【变式7-2】已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 ． 【答案】 【解析】因为与共线，设，即， 所以，故解之可得． 故答案为： 【变式7-3】已知向量，且与共线，则实数 ． 【答案】或 【解析】， 由于与共线，所以， 即，解得或． 故答案为：或 题型八：定比分点坐标公式及应用 【例8】已知向量，，若，则 ． 【答案】或 【解析】因为向量，，且，则， 即，解得或． 故答案为：或． 【变式8-1】已知向量，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】根据题意得， ． 因为， 所以，解得． 故答案为：． 【变式8-2】已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 ． 【答案】 【解析】因为与共线，设，即， 所以，故解之可得． 故答案为： 【变式8-3】已知向量，且与共线，则实数 ． 【答案】或 【解析】， 由于与共线，所以， 即，解得或． 故答案为：或 知识点五：向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 题型九：数量积的坐标运算 【例9】已知正方形的边长为，为的中点，点在上，，则 ． 【答案】 【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则、、、、， 因为，则，可得，， 所以． 故答案为：． 【变式9-1】已知向量，，则 ． 【答案】 【解析】由题意可得：， 所以， 故答案为： 【变式9-2】在边长为4的正方形ABCD中，M是BC的中点，E在线段AB上运动，则的取值范围 ． 【答案】[8，24] 【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系， 则，设， 则， 因为，所以， ． 故答案为：． 【变式9-3】已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为 ．（结果用坐标表示） 【答案】 【解析】向量在向量方向上的投影向量为：． 又，，则． 故答案为：． 题型十：平面向量的模 【例10】已知向量，若，则 ． 【答案】． 【解析】因为向量， 若，则，解得， 即，所以． 故答案为：． 【变式10-1】已知，，则 ． 【答案】10 【解析】因为，，则， 所以． 故答案为： 【变式10-2】已知非零向量，，满足：，，，，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，， 不妨设，， 由，得； 由，得； 所以， 故答案为： 【变式10-3】已知向量，且，那么 ． 【答案】5 【解析】因为向量，且， 所以，解得， 故， 则， 所以， 故答案为：5． 【变式10-4】已知向量，且，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 知识点六：向量在几何中的应用 （1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 （2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件 （3）求夹角问题，利用 （4）求线段的长度，可以利用或 题型十一：平面向量的夹角、垂直问题 【例11】已知向量，，其中． （1）若，求角的大小； （2）若，求的值． 【解析】（1）由，得，所以，即， 因为，所以，所以或，解得或． （2）由题得，，化简得 即， 整理得， 因为，所以，齐次化后得， 即， 即， 解得 因为， 所以． 【变式11-1】已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故． （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是． 【变式11-2】已知向量，，，且向量与共线． （1）证明：； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，求的值． 【解析】（1）因为向量与共线，所以， 则，解得， 所以，， 因为， 所以． （2）由（1）得， 所以， 即与夹角的余弦值为． （3）因为，，， 所以，解得． 【变式11-3】已知向量，满足． （1）求向量与的夹角； （2）求向量在向量上的投影向量； （3）若向量与垂直，求实数的值． 【解析】（1）由，得，， 因此，而， 所以向量与的夹角． （2）向量在向量上的投影向量为． （3）依题意，，，由向量与垂直， 得，所以． 题型十二：平面向量数量积的综合应用 【例12】设，，，为平面内的四点，已知，，． （1）若四边形为平行四边形，求点的坐标； （2）若，，三点共线，，求点的坐标． 【解析】（1）因为，，，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 设，所以， 所以，所以 （2）因为，，三点共线，， 所以设， 又，所以，所以， 又 所以． 【变式12-1】在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 【解析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，且，P是线段AB上的动点． （1）用，表示和； （2）当P是线段AB上的中点时，求，的坐标和； （3）设，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为，且， 所以，即，， 所以 （2）当为线段的中点时，， 所以， 所以 所以． （3）假设存在满足题意的， 则 则 所以， ， 所以， 故， 整理得，， 方程显然无根， 即不存在实数使得． 【变式12-3】在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点． （1）若，，三点共线，求的值； （2）若向量与的夹角为，求的值； （3）若四边形为矩形，求点坐标． 【解析】（1）向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； （2）， 解得， （3）设， 由，， ， ， 若四边形为矩形，则， 即，解得； 由，得， 解得， 故 【强化训练】 1．已知，是两个不共线的平面向量，向量，（λ，μ∈R），若∥，则有（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为∥，所以设＝k， 因为，（λ，μ∈R），所以， 即， 由，不共线可得，所以． 故选：C． 2．已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据题意，， 则，若三点共线，则， 则有，变形可得． 故选：A 3．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍．若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】根据题意，如图，连接，设与交于点， 过点作于点，过点作于点， 若面积是面积的2倍，即， 根据相似三角形的性质可知，， ， 设， ， 即，即， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1． 故选：A． 4．在中，，E为AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】中，不共线，又因为， 则， 因为为的中点，， 所以． 故选：A． 5．如图，在中，点满足，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故，，， 故选：A 6．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在线段上，且， ． 又为线段上一点，若与的面积相等， ，为的中点． 如图，建立平面直角坐标系，则，，，，， ，， ． 故选：D． 7．在中，点是线段的中点，点是线段上一点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，即，又， 所以，因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得． 故选：A 8．已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：因为共线， 设， 即， 则，解得， 所以 方法二：过点连接的中点，过点分别做边的垂线，垂足分别是， 易得， 则在边上的投影是， 所以； 方法三：以边的中点为坐标原点，以边为轴建立如图所示直角坐标系， 则， 设， 因为共线可得，解得， 即，可得， 所以． 故选：A． 9．（多选题）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（    ） A．点、，与向量共线的单位向量为 B．非零向量和满足，则与的夹角为 C．已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D．向量，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】AC 【解析】对于A，因为、，则，， 所以与向量共线的单位向量为，故A错误； 对于B，因为，所以， 则，化简得， 所以，即， 又， 所以， 因为，所以，故B正确； 对于C，因为，， 当时，，得， 经检验，当时，、同向共线，即此时、的夹角不为锐角，故C错误； 对于D，因为，， 所以在上的投影向量的坐标为，故D正确． 故选：AC． 10．（多选题）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．若，则t的值为2 C．若与的夹角为45°，则或 D．若与的夹角为钝角，则t的取值范围是 【答案】AB 【解析】对于A，，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，则，解得，B正确； 对于C，，解得或，而，无解，C错误； 对于D，由与的夹角为钝角，得且与不共线，则，且， 解得且，D错误． 故选：AB 11．（多选题）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【解析】对于选项A，因为，所以，且， 所以，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则为的中点，因为为的中点， 所以，与相交于点矛盾，故选项B错误， 对于选项C，因为为的中点，所以，故选项C正确， 对于选项D，解法一：由题意可设，， 所以， 又，所以，，所以，故选项D错误， 解法二：因为三点共线，所以，且， 又，，所以，，，故选项D错误， 故选：AC． 12．如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 【答案】 【解析】设，因为，，， 所以， 又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，所以， 解得，所以． 故答案为：． 13．已知．若的夹角为钝角，则的范围为 ． 【答案】且 【解析】若，的夹角为钝角，则，且与不平行， 即，且，求得且， 故答案为： 且． 14．已知点P为内一点，，则 ． 【答案】2 【解析】设， 则，， 可得， ， 两式相减可得， 可得， 所以． 故答案为：2． 15．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设． （1）以为基底表示和； （2）将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值． 【解析】（1）在中，对角线相交于点，则； 由，得． （2）由，得， 由与共线，得，所以． 16．如图，在等边中，，点O在边BC上，且．过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N． （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值． 【解析】（1）由，得，所以． （2）在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以． （3）由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 17．如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． （1）试用表示和； （2）若，求． 【解析】（1）因为，所以， 设，所以， 又三点共线，所以，解得， 所以． （2）因为， 设， 又三点共线，所以，解得，所以， 所以， 又，即， 即，解得或（舍去）． 18．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 【解析】（1）因为， 所以， ； （2）因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$