第7章 专题2 与复数有关的创新题型专练-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

又∵A(-1,0),B(0,1), .|Z?Al2=(2+1)2+(-2-0)2=2+√2. IZ?BI2=(2-0)2+(-2-1)2=2+√2. 又|AB|2=(-1-0)2+(0-1)2=2, ∴|Z?A|=|Z?B|,且|Z?A|2+|Z?B|2≠|AB|2, ∴该图形为等腰三角形.故选 D. 专题2 与复数有关的创新题型专练 1.C i2020=(i?)505=1,∴Z=1+2i,∴Z=1-2i. 2.C 设z=a+bi,a2+b2=1①,(a+bi)(1+i)=(a—b)十 (a+b)i>0,得a+b=0,且 a—b>0②,由①②解得 a=g,b=-,所以x=2-2 (-2+3.B 因为-2+3i是方程 f(x)=0的根，即 -1-(-+)-- (-1-5:)2=(-2+臣；)(-2-i)=-2+ >(-2-5)“=(-1+i)(-2-i)=1, 所以-1-i是方程 f(x)=0的根. 4.A 由题意得k?·(1+2i)+k?·(1-i)+k?·(-2)= {2k+-k-=0.=0因为k?=2,k?=4,kg=3为方0,所以 程组的一组解，所以k?:k?:k?可以为2:4:3. 5.A 首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互 (1+3i)+1=为共轭复数，因此排除CD. A 选项， 1+3·J3i+3·(3)3+(3)°+1=-8+313i-3i +1=0,因此选项A正确，则选项 B错误[因为3次方 程只有3个根(包括重根)]. 6.A 依题意，z?=(1-i)2=-2i,z?=(-2i)2=-4,≈g= (-4)2=2?,则当n≥3时，z>0.当n≥3时，由≈a+1= 10gt1=2.又 log?z?=4,故z,得log?≈a+1=2log?≈,则 当n≥4时，0og,2。=logzx·ogog.og 108g2=4×2?3=2.又 log?a=4也满足上·⋯·i 式，所以当n≥3时，log?z=2”-1,即z=22. 7.AB 对于 A,∵复数z?=2i,z?=1+i,∴z?·z?=2i(1 +i)=-2+2i,∴z1·z?=-2-2i.又冠·z=-2i(1- i)=-2-2i,∴z?·z?=z·z,A 正确；对于 B,设z=a +bi, a∈R,b∈R,则|z—z|=|a+(b-2)i|= √a2+(b-2)2=1,即a2+(b-2)2=1,即1≤b≤3, ∴|z|=√a2+b2= √1-(b-2)2+b2= √4b-3≤ √4×3-3=3,即|z|的最大值为3,B正确；对于C, 4=(12+i(1-;=1+i&R,故C错误；对于 D, z?≈2-2=2i(1+i)-2=-4+2i,z?≈2-2不是纯虚数，D 错误。故选AB. 8.AC 对于 A.e=cos1+isin1,因为0<1<2,所以cos 1 >0,sinl>0,即复数e 对应的点(cos 1,sinl)位于第一象 限，A正确；对于 B,e?=cos π+isin π=-1,e“为实数，B 3+i= 3+i=错 误； 对 于 C, ss+3(s--)=3csa+sma+3mas, 序+的模长为则复数 √(3csa+sina)+(3sma-Cosa) =√3cosa+sn2a+63sin2za+cosx=2,C正确；对于D, -1i,eti=cos6+isin 否=3+2i,共轭复数为 D错误。 x3-3x2-9.ABC 8x3-12x2-42x+55=0可变形为： 24x+5=0,,所以a?=-2,A正确；第一步，把方程x3 -3x2-2x+5=0中的x用xx+2来替换，得 (x+2)-3(x+2)-21(x+2)+55=x3-6x +4=0;第二步，对比x3—6x+4=0与x3+y3+z3一 {-3x&=46.3xyz=0,可得 又 y=—1+i,得yz=2,z= ;x?=-g-ay-a2×=2--1+3(-1-1-i,B正确； +i)+(=1+3i)(1+i)=-2+J3,C正确； x?=-3-a3y-a2=-(=1+√3i)(-1+i)+ -1+3(1+i)=-2-√3,D错误。 10.解析 a2-b2=(a+b)(a-b)=(5+3i+4+3i)(5+3i —4—3i)=9+6i. 答案 9+6i [r(cos4+isin4)]=11.解析 根据棣莫佛公式，由 -16→r'[cos(4·4)+isin(4·4)]=-16→- =—16.因为r>0,所以r=2. 答案 2 12.解(1)有关转置复数的运算性质：①z=iz;②Z+ (z)=0.(答案不唯一) (2)由运算“*”的定义得z*z=z·Z十z·(z)'= 泛·(iz)+z·z=-i2·z·z十z·z=2z·z=8,得|z| =2,所以M所围成区域的面积S=4π. 章末优化提升 【考点聚焦】--[跟踪训练] 1.解 存在，理由如下： 设虚数 z=x+yi(x,y∈R,且y≠0), z+5=x+pi+z5则 =x+2+y+(y-2+)i,z+3=(x+3)+yi. +-90二g,由题意得 19 ?高中数学·必修 第二册 专题 2 与复数有关的创新题型专练 一、单选题 1.数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克 罗内克(Kronecker,1823-1891)说“上帝创造了 整数，其它一切都是人造的”.设i为虚数单位， 复数Z满足Z=i2020(1+2i),则Z的共轭复数是 ( ) A.2+i B.2-i C.1-2i D.1+2i 2.“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家 笛卡尔(Rene Descartes)创制的，直到19世纪虚 数才真正闯入数的领域，虚数不能像实数一样比 较大小.已知复数z,|z|=1且z·(1+i)>0(其 ( )中i是虚数单位),则复数 z= A.√2-√2i B.√2+√2i c.e- D.g+ 3.在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定 理之一，它说的是：任何一元 n次复系数多项式 f(x)在复数集中有 n个复数根(重根按重数计) 那么f(x)=x3—1在复平面内使f(x)=0除了 1和一2+i这两个根外，还有一个复数根为 ( ) B.-1-A.1- c.1+ D.-1-5 4.对于 n个复数z1,z2,⋯,zn,如果存在 n个不全 为零的实数k?,k?,⋯,k,使得k?z?+k?z2+⋯十 k,≈n=0,就称z1,≈2,⋯,z,线性相关，若复数z1 =1+2i,z?=1-i,z?=-2线性相关，则k?:k?: k?可以为 ( ) A.2:4:3 B.1:3:2 C.1:2:3 D.3:4:2 5.2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖 云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证 了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚 数i的重要性.对于方程x3+1=0,它的两个虚 数根分别为 ( ) A.1±J3 B.-1±3i D.±1-3ic.±1+√3i 6.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数， f(z)=z2,z∈C就是一个多项式复变函数.给定 f(z)之后，对任意一个复数≈,通过计算公式 ≈n+1=f(zm),n∈N,可以得到一列值z,21,≈2, ⋯,≈,⋯.若f(z)=z2,z∈C,z=1-i,则当 n≥ 3时，≈n= ( ) A.22 B.22 C.22m+1D.4"-1 二、多选题 7.(湖南岳阳期末)已知复数z?=2i,z2=1+i,则 ( ) A.z?·z2=Z?·z2 B.若|z-z1l=1,则|z|的最大值为3 c.∈R D.z1z2-2是纯虚数 8.欧拉公式 e?=cos x+isin x(其中i为虚数单位， x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式 将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函 数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非 常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉 公式，下列选项正确的是 ( ) A.复数e3对应的点位于第一象限 B.e为纯虚数 序+ 12C.复数 的模长等于 D.ei的共轭复数为 9.意大利数学家卡尔达诺推导出了三次代数方程 的解法.人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四 个步骤： 第一步，把方程x3+a?x2+a?x+a?=0中的x 用x-g来替换，得到方程x3+px+q=0; 第二步，利用公式 x3+y3+z3—3xyz=(x+y+ z)(x+wy+w2≈)(x+w2y+wz)(其中w= -1+√3i,i为虚数单位)将 x3+ px+q因式 分解； 第三步，求得y,z的一组值，得到方程x3+px+ 48 第七章 复 数 q=0的三个根：-y-≈,-wy-w2≈,-w2y-w≈; 第四步，写出方程x3+a?x2+a?x+a?=0的根： x?=-3-y-x,x?=-3-wy-w3x,x?=-3 一w2y—wz. 某同学利用上述方法解方程 8x3-12x2—42x+55 =0时，得到y的一个值为一1+i,则下列说法正 确的是 ( ) A.a?=-2 B.yz=2 C.x?=-2+√3 D.x?=-1-√3 三、填空题 10.中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差 公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数 差的积，等于这两个数的平方差.若复数 a=5 +3i,b=4+3i(i为虚数单位),则 a2—b2= 11.著名数学家棣莫佛(De moivre,1667～1754)出 生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表 了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式： [r(cos θ+isin)θ]”=r"(cos nθ+isin nθ),其中r [r(cos4+isinT)]=>0,n∈ N*.已知 -16,根据这个公式可知 r= 四、解答题 12.定义：复数b+ai是z=a+bi(a,b∈R)的转置 复数，记为z=b+ai,则有(z)′=z,即z与z 互为转置复数. (1)结合共轭复数的一些运算性质，如z?±z?= z1士z2等，还有一些常用结论，如z=z?z∈R 等，尝试发现两个有关转置复数的运算性质 (如：(z?+z?)′=z1+z2)或其他结论； (2)对任意的两个复数≈,≈2,定义运算“*”:≈1 *z?=z1·z?十z?·z2,设z=x+yi(x,y∈R), 求复平面上的点集M={(x,y)|z*z′=8}所围 成区域的面积. 章末优化提升 网络构建 复数的概念 复数与复数的分类 复数相等 复数的几何意义 复数的模 共轭复数 复数 复数的运算 复平面上两点间的距离 复数的加法法则 复数代数形式的运算 复数的减法法则 复数的乘法法则 复数的除法法则 复数三角形式的运算 复数的三角表示式 复数三角形式的乘除运算 49