7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·必修 第二册 7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 [学习任务] 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的 关系. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 自主学习探新知 知识点一 复数的三角形式 1.定义：任何一个复数z=a+bi都可以表示成___ _的形式.其中，r是复数z的模；0是 以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射 线 OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的 叫做复数z=a+bi 的三角表示式，简称三角形式. 2.辐角的主值：规定在0≤0<2π范围内的辐角θ 的值为辐角的主值.通常记作 arg z,即 O≤arg z <2π. 知识点二 复数三角形式乘、除运算 1.乘法运算法则 设z?=r?(cos O?+isin θ?),z2=r?(cos O?十 isin θ?),则z?≈2= 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的 模的 ,积的辐角等于各复数的辐角的___ 2.除法运算法则 设z=r?(cos θ?+isin θ?),zz=r?(cos ?+ 1 isin θ?),且z?≠0,则 _· 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的 模除以除数的模所得的 ,商的辐角等于 被除数的辐角减去除数的辐角所得的 . 互动探究解疑难 要点归纳 重难实破 探究一 复数的代数形式与三角形式的互化 角度1 复数的代数形式化为三角形式 [例1] 将下列复数的代数形式化成三角形式： (1)√3+i; (2)1—i. 角度2 复数的三角形式化为代数形式 z=√3(sin23+icos2T)化为代数形[例 2] 复数 式为 ( ) A.3+ B.-2+ Ⅱ规律方法|l⋯ 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模； (2)决定辐角所在的象限； (3)根据象限求出辐角； (4)求出复数的三角形式. D.2-c.-3- Ⅱ规律方法|l 将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数 的三角形式为z=r(cos 0+isin 0),代数形式为z=x+ yi(x,y∈R),对应实部等于实部，虚部等于虚部，即 x=rcos θ,y=rsin 0. 46 第七章 复 数 跟踪训练 1.(1)复数 z=√3-i的三角形式为 ( ) A.2(cos2s+isin23) B.2(cos 57-isin5) C.2(cos?6-isin?6) D.2(cos16"+isin16) x=√2[cos(-4)+isin(-4)]化为(2)将复数 代数形式为 探究二 复数三角形式的乘法、除法运算 [例3](链接教材第 87 页例3、88 页例5)计算： (1)2(cos2s+ising)×√3(cos?6+isin5); (2)6(cos 160°+isin 160°)÷[√2(cos 25°十 isin 25°)]. Ⅱ规律方法I- 在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先 将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把 计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示。 跟踪训练 2.计算：(1)3(cos 18°+isin 18°)×2(cos 54°+ isin 54°)×5(cos 108°+isin 108°); (2)12(cos 4+isin4)÷6(cosg+isin3). 探究三 复数三角形式乘、除运算的几何意义 [例4](链接教材第 88 页例4)在复平面内，把复 数3—√3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方 3,向旋转 ,求所得向量对应的复数。 规律方法|l------------ 两个复数≈,z2相乘时，先分别画出与≈,≈2对应 的向量OZ,,oZ?,然后把向量OZ,绕点 O按逆时针方 向旋转角0?(如果0?<0,就要把OZ?绕点O按顺时针 方向旋转角|0?I),再把它的模变为原来的 r2倍，得到 向量oz,oZ表示的复数就是积2?x?. 跟踪训练 3.如图，若OZ与OZ?分别表示 复数z?=1+2√3i,z?=7+ √3 i,求∠Z?OZ?,并 判 断 y Z? Z? o △OZ?Z?的形状. 教材 与复数有关的欧拉定理 拓展 欧拉公式e2=cos x+isin x(x∈R,i为虚数单 位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函 数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函 数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地 位，被誉为“数学中的天桥”. □问题探究 [例1] 复数 e*的虚部是多少? [提示] 复数e?=cos(-否)+isin(-6)=3 一i,所以复数e*的虚部为一. [例2] 求复数 e?+e的模. [提示] 复数e?+e??=cos 6+isin 6+cos3 +ising=3+1+3+1i, √(3±)2+(B+1)∴e+e表示的复数的模为 =G+√2. □牛刀小试 复数 z=e?(θ∈R),z的共轭复数是三，在复平面 内，复数z对应的点为Z。,A(—1,0)与 B(0,1) 为定点，则函数 f(z)=|(z+1)(z—i)|取最大值 时，在复平面上以Z。,A,B三点为顶点的图形是 ( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形 提示、请完成《素能提升训练》训练十八 47 [跟踪训练] 3.解 设x=x。是方程的实根，代入方程并整理得(x3+ k.x?+2)+(2x?+k)i=0. 由复数相等的条件得x3+kx,+2=2x?+k=0, k=-2,2(k-222解得 ∴方程的实根为x=√2或一√2, 相应的k的值为k=-2√2或2√2. 7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 【自主学习探新知】 知识点一 1.r(cos 0+isinθ) 辐角 r(cos 0+isin θ) 知识点二 1.r?r?[cos(?+0?)+isin(θ?+0?)] 积 和 2.1[cos(0?-O?)+isin(θ-θ?)] 商 差 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)r=√W3)2+12=2, 所以 cos o=3 对应的点在第一象限，所以arg(√3+i)=6, 所以3+i=2(cos 6+isin 6). (2)r=√12+(-1)2=√2, 所以cos0=2, arg(1-i)=4,对应的点在第四象限，所以 所以1-i=√2(cos4+isin). [例2] [解析] z=√3(sin23+icos) =√3sin3+√3icos23 =√3×3+i√3×(-1)=3- [答案] D [跟踪训练] cos θ=3,与z=√3-i对应1.解析 (1)因为r=2,所以 的点在第四象限，所以arg(3-i)=16~, 所以z=√3-i=2(cos16"+isin16m). (2)z=√2(cos4-isin4) =√2×cos 4-i√2×sin 4=1-i. 答案(1)D(2)1-i 探究二 [例3] [解](1)2(cos2s+isinr)×√3(cos56+ isin5)=2√3(cos3z+isin)=-2√3i. (2)原式=3√2[cos(160°-25°)+isin(160°-25°)] =3√2(cos 135°+isin 135°) =3√2(一+2;) =-3+3i. [跟踪训练] 2.解(1)原式=30[cos(18°+54°+108°)+isin(18°+ 54°+108°)]=30(cos 180°+isin 180°)=—30. (2)原式=2[cos(4-3)+isin(4-3)] =2(cos32+isin13)=-2(cos z+isin查). 探究三 [例4] [解] 因为3-√3i=2√3(3-1) =2√3(cos m+isinπ), 所以2√3(cos6π+isin6π)×(cos3+isin3) =2√3[cos(m+g)+isin(m+3)] =2√3(cos 6π+isin6π) =2√3(cos 6+isin6)=3+√3i, 2√3(cos m+isin1π)×[cos(-弯)+isin(-g)] =2√3[cos(”-g)+isin(”-g)] =2√3(cos2m+isin3m)=-2√3i. 故把复数3-√3i对应的向量按逆时针旋转3得到的复 数为 3+√3i,按顺时针旋转得到的复数为-2√3i. [跟踪训练] 17+233.解 =(7+23)(7-13)=1+43=2(osg+ism号), 02-2,∴∠Z?OZ=3且 设|OZ?I=k,|0Z?I=2k(k>0), 由余弦定理得|Z?Z?I2=k2+(2k)2-2k·2k·cos3=3k2, ∴|Z?Z?I=√3k.又k2+(√3k)2=(2k)2, 3∴△OZ?Z?为有一锐角为 的直角三角形. [牛刀小试] D ∵z=e=cos 0+isinθ,∴(z+1)(z-i)=(cos θ+ 1+isin O)(cos 0- isin 0—i)= cos20— isin 0cos 0— icos θ+cos θ—isin θ-i+ isin θcos θ+sin20+sin θ= (cos θ+sin 0+1)-i(cos θ+sin θ+1).∵f(z)=|(z十 1)(z—i)|, ∴f(z)=√(cos 0+sinθ+1)2+[-(cos 0+sinθ+1)]2 =√2Ccos0+sin o+12=√2[zsin(0+4)+1], 当sin(o+4)=1时，f(z)取得最大值， 即当θ+4=2+2kπ,k∈Z,即θ=4+2kπ,k∈Z时， f(z)取最大值， z=2+i,z=2-2i此时 18 又∵A(-1,0),B(0,1), .|Z?Al2=(2+1)2+(-2-0)2=2+√2. IZ?BI2=(2-0)2+(-2-1)2=2+√2. 又|AB|2=(-1-0)2+(0-1)2=2, ∴|Z?A|=|Z?B|,且|Z?A|2+|Z?B|2≠|AB|2, ∴该图形为等腰三角形.故选 D. 专题2 与复数有关的创新题型专练 1.C i2020=(i?)505=1,∴Z=1+2i,∴Z=1-2i. 2.C 设z=a+bi,a2+b2=1①,(a+bi)(1+i)=(a—b)十 (a+b)i>0,得a+b=0,且 a—b>0②,由①②解得 a=g,b=-,所以x=2-2 (-2+3.B 因为-2+3i是方程 f(x)=0的根，即 -1-(-+)-- (-1-5:)2=(-2+臣；)(-2-i)=-2+ >(-2-5)“=(-1+i)(-2-i)=1, 所以-1-i是方程 f(x)=0的根. 4.A 由题意得k?·(1+2i)+k?·(1-i)+k?·(-2)= {2k+-k-=0.=0因为k?=2,k?=4,kg=3为方0,所以 程组的一组解，所以k?:k?:k?可以为2:4:3. 5.A 首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互 (1+3i)+1=为共轭复数，因此排除CD. A 选项， 1+3·J3i+3·(3)3+(3)°+1=-8+313i-3i +1=0,因此选项A正确，则选项 B错误[因为3次方 程只有3个根(包括重根)]. 6.A 依题意，z?=(1-i)2=-2i,z?=(-2i)2=-4,≈g= (-4)2=2?,则当n≥3时，z>0.当n≥3时，由≈a+1= 10gt1=2.又 log?z?=4,故z,得log?≈a+1=2log?≈,则 当n≥4时，0og,2。=logzx·ogog.og 108g2=4×2?3=2.又 log?a=4也满足上·⋯·i 式，所以当n≥3时，log?z=2”-1,即z=22. 7.AB 对于 A,∵复数z?=2i,z?=1+i,∴z?·z?=2i(1 +i)=-2+2i,∴z1·z?=-2-2i.又冠·z=-2i(1- i)=-2-2i,∴z?·z?=z·z,A 正确；对于 B,设z=a +bi, a∈R,b∈R,则|z—z|=|a+(b-2)i|= √a2+(b-2)2=1,即a2+(b-2)2=1,即1≤b≤3, ∴|z|=√a2+b2= √1-(b-2)2+b2= √4b-3≤ √4×3-3=3,即|z|的最大值为3,B正确；对于C, 4=(12+i(1-;=1+i&R,故C错误；对于 D, z?≈2-2=2i(1+i)-2=-4+2i,z?≈2-2不是纯虚数，D 错误。故选AB. 8.AC 对于 A.e=cos1+isin1,因为0<1<2,所以cos 1 >0,sinl>0,即复数e 对应的点(cos 1,sinl)位于第一象 限，A正确；对于 B,e?=cos π+isin π=-1,e“为实数，B 3+i= 3+i=错 误； 对 于 C, ss+3(s--)=3csa+sma+3mas, 序+的模长为则复数 √(3csa+sina)+(3sma-Cosa) =√3cosa+sn2a+63sin2za+cosx=2,C正确；对于D, -1i,eti=cos6+isin 否=3+2i,共轭复数为 D错误。 x3-3x2-9.ABC 8x3-12x2-42x+55=0可变形为： 24x+5=0,,所以a?=-2,A正确；第一步，把方程x3 -3x2-2x+5=0中的x用xx+2来替换，得 (x+2)-3(x+2)-21(x+2)+55=x3-6x +4=0;第二步，对比x3—6x+4=0与x3+y3+z3一 {-3x&=46.3xyz=0,可得 又 y=—1+i,得yz=2,z= ;x?=-g-ay-a2×=2--1+3(-1-1-i,B正确； +i)+(=1+3i)(1+i)=-2+J3,C正确； x?=-3-a3y-a2=-(=1+√3i)(-1+i)+ -1+3(1+i)=-2-√3,D错误。 10.解析 a2-b2=(a+b)(a-b)=(5+3i+4+3i)(5+3i —4—3i)=9+6i. 答案 9+6i [r(cos4+isin4)]=11.解析 根据棣莫佛公式，由 -16→r'[cos(4·4)+isin(4·4)]=-16→- =—16.因为r>0,所以r=2. 答案 2 12.解(1)有关转置复数的运算性质：①z=iz;②Z+ (z)=0.(答案不唯一) (2)由运算“*”的定义得z*z=z·Z十z·(z)'= 泛·(iz)+z·z=-i2·z·z十z·z=2z·z=8,得|z| =2,所以M所围成区域的面积S=4π. 章末优化提升 【考点聚焦】--[跟踪训练] 1.解 存在，理由如下： 设虚数 z=x+yi(x,y∈R,且y≠0), z+5=x+pi+z5则 =x+2+y+(y-2+)i,z+3=(x+3)+yi. +-90二g,由题意得 19